第2章 等式与不等式（复习讲义）高一数学沪教版必修第一册

该高中数学单元复习讲义以“等式与不等式”为核心，通过表格对比、知识框架图系统梳理知识体系，涵盖等式性质、不等式求解、基本不等式等内容，清晰呈现重难点分布及二次函数、方程、不等式的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“要点速测”夯实基础，“迁移练”深化题型应用，结合实际问题（如仓库建造费用优化）培养数学思维与应用意识。针对含参数不等式、多绝对值不等式等难点提供解题策略，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第2章 等式与不等式 复习要点 1.熟练掌握等式的基本性质，理解恒等式含义；掌握一元二次方程判别式、韦达定理，能用于方程相关计算。 2.牢记不等式的全部基本性质，尤其注意负数乘除时不等号方向改变，能够正确进行不等式变形推导。 3.会解一元二次、分式、绝对值不等式；掌握等价转化思想，能正确书写解集，注意分母、绝对值带来的限制条件。 4.理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，会借助函数图像分析不等式问题。 5.掌握基本不等式与三角不等式，牢记 “一正二定三相等”，能利用基本不等式求解简单最值问题，并检验等号成立条件。 复习重难点 重点： 1.不等式的基本性质与一元二次不等式求解。能够正确进行不等式变形；掌握因式分解、配方法解一元二次不等式，会利用二次函数图像确定解集。 2.分式、绝对值不等式的等价转化求解。分式不等式注意分母不为零；绝对值不等式会使用零点分段、几何意义进行求解，规范写出集合形式的解集。 3.基本不等式求最值。理解重要不等式、基本不等式，把握 “一正二定三相等”，可以通过配凑构造定值，求解简单的和、积最值。 难点： 1.含参数的一元二次不等式。参数会影响二次项符号、判别式正负，需要分类讨论；学生容易漏掉部分分类情况，导致解集不全。 2.多个绝对值组合不等式。零点划分区间容易出错；分段去绝对值时符号容易写错；求解后要做交、并集运算，集合运算极易混淆。 3.基本不等式综合求最值。需要对代数式拆项、配凑构造定值；容易忽略正数条件以及等号能否取到，出现伪最值；多次连用不等式，难以保证等号同时成立。 知识点 等式与不等式的性质 一、等式的性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，则 推论： 推论1：若，则 推论2：若且，则 推论3：若，，则 二、恒等式 含有字母的等式，字母取全体实数等式均成立，该等式为恒等式，等式左右两边恒等。 三、方程的解集 1.定义：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程的解（根）：能让方程左右两边相等的未知数取值。 3.解集：把方程全部解作为元素构成的集合，称作方程的解集。 四、一元二次方程的解集 设一元二次方程，判别式 1.，方程有两个不相等实数根，解集含两个元素； 2.，方程有两个相等实数根，解集只有一个元素； 3.，方程无实数根，解集为空集。 五、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若是两根，方程可写成，展开对比系数得： ， 六、不等式的基本性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，，则；若，，则 4.移项法则：若，则 5.同向可加性： 6.正数同向可乘： 7.乘方性质： 8.开方性质： 9.倒数性质： 要点速测 1．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 2．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 知识点 不等式的求解 一、一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式，标准形式：、、、（）。 2.因式分解法解一元二次不等式（优先解法） 若二次三项式可分解为： ，解集为； ，解集为。 补充：若二次项系数，先两边同乘，同时改变不等号方向再求解。 3.配方法解一元二次不等式 对配方，化为的形式； 结合完全平方式恒非负的性质，分判断取值范围，直接写出不等式解集。 二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 三、分式不等式 1.定义 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式，标准形式：，其中为整式，。 2.标准解题步骤 ①移项化零：所有项移到左边，统一化为（代表不等号）； ②等价转化： ； ； ； ； ③因式分解，求出零点； ④利用穿根法快速写出解集，分母零点永远取不到。 四、简单绝对值不等式 1.基础概念 （1）绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式。 （2）数轴距离公式：实数对应数轴点，；中点对应数：。 2.去绝对值三种通用方法 ①几何法：利用代表数轴上到的距离，数形结合求解； ②平方法：不等式两侧均非负时，两边同时平方消去绝对值； ③分段讨论法：令绝对值内式子为0求出零点，划分区间分段去掉绝对值计算。 3.基础绝对值不等式固定结论（） (1) (2) (3) (4) 4.常见拓展类型 （1）：转化为解一次不等式； （2）：拆成或分别求解； （3）多绝对值不等式（如）：零点分段法，按绝对值零点划分区间逐段去绝对值。 要点速测 3．不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 4．不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】因为， 等价于，即，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 知识点 基本不等式及其应用 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 三、三角不等式 对任意实数，有；当且仅当（同号或其中一数为0）时，等号成立。 要点速测 5．若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 6．若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 题型1 一元二次方程的根与系数的关系 ▌例1 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． ▌迁移练1-1已知方程的两个根为，，则________ 【答案】 【详解】由题设，则. ▌迁移练1-2若方程的解集为，则________． 【答案】 【详解】可化为， 因为方程的解集为，所以方程的两根为，2， 由，解得，检验符合． ▌迁移练1-3已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【答案】B 【详解】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以. 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 题型2 作差法比较大小 ▌例2 若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 ▌迁移练2-1比较与的大小. 【答案】 【详解】 ▌迁移练2-2已知，求证：. 【答案】证明：因为，所以， 所以. 【详解】略 ▌迁移练2-3比较与的大小． 【答案】 【详解】由于， 当且仅当时取等号，所以. 题型3 不等式性质比较式子的大小 ▌例3 设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． ▌迁移练3-1已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. ▌迁移练3-2已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. ▌迁移练3-3已知，，则下列不等式一定成立的是_____ ①；②；③；④ 【答案】④ 【详解】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 题型4 利用不等式求取值范围 ▌例4 已知，，则的取值范围为______________，的取值范围为______________. 【答案】 【详解】由，得. 因为，所以. 所以的取值范围为. 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：；. ▌迁移练4-1已知，求的取值范围． 【答案】 【详解】令，，则. 解方程组可得 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为． 故答案为： ▌迁移练4-2已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C ▌迁移练4-3已知，求的取值范围. 【答案】 【详解】设，则，解得， 故. 由，， 得，， 两式相加得，即的取值范围为. 题型5 解不含参数的一元二次不等式 ▌例5 已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 ▌迁移练5-1设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. ▌迁移练5-2不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. ▌迁移练5-3已知，则“”是“”的______条件. 【答案】 必要不充分 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，解得或； 充分性判断：若成立，的取值可能为，无法推出，因此充分性不成立； 必要性判断：若成立，对不等式两边同时平方可得，因此必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 题型6 由一元二次不等式的解求参数 ▌例6 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. ▌迁移练6-1已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． ▌迁移练6-2若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． ▌迁移练6-3关于的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】1 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以． 题型7 分式不等式 ▌例7 解不等式________. 【答案】 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. ▌迁移练7-1不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，，，， 等价于，解得， 原不等式的解集为 ▌迁移练7-2不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 解得． ▌迁移练7-3解不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，即 等价于或，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）因为，可得，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 题型8 含一个绝对值的不等式 ▌例8 不等式的解集为________． 【答案】 【详解】或， 解得或， 所以不等式的解集为. ▌迁移练8-1不等式的解集为________． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 则此不等式的解集为. ▌迁移练8-2不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】由可得或， 解，整理为，因式分解得，解得或， 解，整理为，二次函数开口向上， 判别式，故无解， 综上，不等式的解集为． 故答案为：． ▌迁移练8-3不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式，知且. 当，即且时， 因为，所以不等式恒成立； 当，即时， ，， 即，， 所以或（与矛盾，舍去）. 综上所述，不等式的解集为. 题型9 均值不等式求积的最大值 ▌例9 若，则的最大值为________． 【答案】 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. ▌迁移练9-1已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. ▌迁移练9-2已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. ▌迁移练9-3已知正数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为正数满足， 且，可得，即， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型10 均值不等式求和的最小值 ▌例10 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. ▌迁移练10-1函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. ▌迁移练10-2已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. ▌迁移练10-3已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 题型11 基本不等式中“1”的妙用 ▌例11 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. ▌迁移练11-1已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. ▌迁移练11-2已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ▌迁移练11-3已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 题型12均值不等式在实际问题中的应用 ▌例12 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. ▌迁移练12-1某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. ▌迁移练12-2某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. ▌迁移练12-3随着工业的高速发展，能源紧缺导致能源价格上涨，某地去年油价为7元/升，年消耗量为m万升，本年度计划将油价调整到7.5元/升至8元/升之间，而用户期望油价为7.2元/升，经测算，上涨后新增油耗量和实际油价与用户期望油价的差成反比（比例系数为k），该地区的油价成本为6.5元/升． (1)当时，本年度实际油价为多少时，本年度收益最低（收益实际耗油量（实际油价成本价））； (2)当时，油价最低定多少时，可保证收益比上年至少增长188%． 【答案】(1)元/升 (2)元/升 【分析】 【详解】（1）设本年度实际油价为x元/升，由题意得新增耗油量为，故实际耗油量为， 所以本年度收益， 令，，可得， 故. 因为，当且仅当即时等号成立， 所以时，本年度收益y取得最小，即本年度实际油价为元/升时，本年度收益最低； （2）上年实际收益为：，故本年度收益. 设本年度实际油价为x元/升，实际耗油量为， 所以本年度收益， 所以，即， 令，因为，所以， 故得，化简得，即， 解得或，因，故， 即，所以. 即油价最低定元/升时，可保证收益比上年至少增长188%. 题型13 不等式恒成立问题 例13．已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为. 故选：C ▌迁移练13-1若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． ▌迁移练13-2已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D ▌迁移练13-3已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 难点一 含多个绝对值的不等式求解 难点分析： 1.学生很难找准所有绝对值内部等于0的零点，容易漏零点或者零点划分区间出错。 2.分段去掉绝对值符号时，不会根据所在区间判断绝对值内代数式正负，去绝对值符号容易出现符号错误。 3.每一段求出解集后，容易忘记和本段区间取交集；最后还要把各段有效解集取并集，交并集运算极易混淆。 处理方法： 1.第一步先找全部零点：令每一个绝对值内部表达式等于0，解出零点，零点把数轴分成若干区间。 2.在每一个区间内，判断绝对值内式子正负，直接去掉绝对值符号，转化为普通一元一次不等式。 3.每一段解出来的结果必须和本区间范围取交集，得到本段有效解。 4.把每一段得到的有效解集做并集，得到最终解集。 难点精练 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，不等式为，解得：且，即为空集， 当时，不等式为，解得：， 当时，不等式为，解得， 综上不等式的解集为， 故选：C 2．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以不等式在上恒成立，即小于等于的最小值. 令，当时，， 此时为增函数，所以，此时； 当时，， 此时为减函数，所以，此时； 当时，，此时； 综上的最小值为4，所以要满足题意，那么. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 3．不等式的解集为________. 【答案】 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 难点二 利用基本不等式求最值 难点分析： 1.忽略使用基本不等式的三大前提条件：一正、二定、三相等。经常直接套用公式，不检验变量是否为正数。 2.“定值”识别困难：题目不会直接给出积为定值或者和为定值，需要变形、拆项、配凑，学生不会代数式配凑。 3.忽略等号成立条件，求出最值之后，不去检验等号能不能取到；若等号取不到，则该最值是伪最值，不能使用。 4.部分题目不能一次使用基本不等式，需要多次连用，多次连用的时候，每一步的等号成立条件很难同时满足，容易出错。 处理方法： 1.使用公式前，先检查变量是否为正数，不满足正数条件要做变形或者换元。 2.观察式子，通过拆项、凑项、同乘除常数，构造出“和为定值”或者“积为定值”的结构。 3.算出最值后，一定要写出等号成立条件，检验等号对应的自变量取值是否在题目允许取值范围内。 4.如果等号无法取到，则不能用基本不等式，改用函数单调性求最值。 5.多次连用基本不等式时，保证每一处等号成立条件可以同时成立。 难点精练 4．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 5．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 6．已知正数，满足，求的最大值． 【答案】 【详解】，且， ，即． 代入所求代数式： 令，原式． 由基本不等式：， ，当且仅当时取等． 二次函数，开口向下，对称轴 ，在上单调递增， 故当时取得最大值． 此时，解得：，． 代入： 的最大值为． 基础达标 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 不等式的解集为. 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 即，即， 即，且， 解得. 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 5．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为； 且； 因为，故． 6．已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 二、填空题 7．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【详解】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 8．已知关于的不等式，若不等式的解集为或，则实数的值为______． 【答案】 【详解】不等式的解集为或， 和是方程的两个根，且， 由韦达定理得，即，解得． 故答案为：． 9．函数的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为： 三、解答题 10．命题：实数满足集合，：实数满足集合. (1)若，为真命题，求集合； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】 【详解】（1）由，， ， 故， （2）因为是成立的充分不必要条件，所以， 即，解得，检验当时，满足， 又因为，所以 所以实数的取值范围是. 11．已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）不等式的解集， 和3是方程的两根， 解得. （2）等价于，即， 即，等价于， 则该不等式解集为. 12．某工厂要建一个长方体无盖蓄水池，其底面积为100平方米，深5米，如图设底边一边长为（）米.现有甲、乙两工程队竞标，甲工程队报价：池底每平米的造价为180元，池壁每平米的造价为150元；乙工程队报价：整体报价为（）.    (1)如果按甲工程队报价，求建造蓄水池的最低总造价； (2)如果蓄水池无论如何设计，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 【答案】(1)48000元 (2) 【分析】 【详解】（1）记总造价为元，由题意 当且仅当米时等号成立 所以按甲工程队报价，最低总造价为48000元. （2）依题意可知，恒成立 即恒成立，令，， 即在上恒成立 即，当，米时不等式等号成立 因为，所以 能力进阶 1．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 2．已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 3．已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】/ 【详解】因为，故，故， 而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故，故实数的最大值是. 4．设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是________． 【答案】 【详解】由题意可知，矩形（）的周长为， 设，则，， 设，则，,故， 而为直角三角形，所以， 所以，所以 所以 ， .当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大面积为.    5．已知，且，则的最小值为__________. 【答案】2 【详解】，因为，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 结合可得或， 此时取得最小值2. 6．已知不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，，． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． 7．命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式 复习要点 1.熟练掌握等式的基本性质，理解恒等式含义；掌握一元二次方程判别式、韦达定理，能用于方程相关计算。 2.牢记不等式的全部基本性质，尤其注意负数乘除时不等号方向改变，能够正确进行不等式变形推导。 3.会解一元二次、分式、绝对值不等式；掌握等价转化思想，能正确书写解集，注意分母、绝对值带来的限制条件。 4.理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，会借助函数图像分析不等式问题。 5.掌握基本不等式与三角不等式，牢记 “一正二定三相等”，能利用基本不等式求解简单最值问题，并检验等号成立条件。 复习重难点 重点： 1.不等式的基本性质与一元二次不等式求解。能够正确进行不等式变形；掌握因式分解、配方法解一元二次不等式，会利用二次函数图像确定解集。 2.分式、绝对值不等式的等价转化求解。分式不等式注意分母不为零；绝对值不等式会使用零点分段、几何意义进行求解，规范写出集合形式的解集。 3.基本不等式求最值。理解重要不等式、基本不等式，把握 “一正二定三相等”，可以通过配凑构造定值，求解简单的和、积最值。 难点： 1.含参数的一元二次不等式。参数会影响二次项符号、判别式正负，需要分类讨论；学生容易漏掉部分分类情况，导致解集不全。 2.多个绝对值组合不等式。零点划分区间容易出错；分段去绝对值时符号容易写错；求解后要做交、并集运算，集合运算极易混淆。 3.基本不等式综合求最值。需要对代数式拆项、配凑构造定值；容易忽略正数条件以及等号能否取到，出现伪最值；多次连用不等式，难以保证等号同时成立。 知识点 等式与不等式的性质 一、等式的性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，则 推论： 推论1：若，则 推论2：若且，则 推论3：若，，则 二、恒等式 含有字母的等式，字母取全体实数等式均成立，该等式为恒等式，等式左右两边恒等。 三、方程的解集 1.定义：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程的解（根）：能让方程左右两边相等的未知数取值。 3.解集：把方程全部解作为元素构成的集合，称作方程的解集。 四、一元二次方程的解集 设一元二次方程，判别式 1.，方程有两个不相等实数根，解集含两个元素； 2.，方程有两个相等实数根，解集只有一个元素； 3.，方程无实数根，解集为空集。 五、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若是两根，方程可写成，展开对比系数得： ， 六、不等式的基本性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，，则；若，，则 4.移项法则：若，则 5.同向可加性： 6.正数同向可乘： 7.乘方性质： 8.开方性质： 9.倒数性质： 要点速测 1．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点 不等式的求解 一、一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式，标准形式：、、、（）。 2.因式分解法解一元二次不等式（优先解法） 若二次三项式可分解为： ，解集为； ，解集为。 补充：若二次项系数，先两边同乘，同时改变不等号方向再求解。 3.配方法解一元二次不等式 对配方，化为的形式； 结合完全平方式恒非负的性质，分判断取值范围，直接写出不等式解集。 二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 三、分式不等式 1.定义 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式，标准形式：，其中为整式，。 2.标准解题步骤 ①移项化零：所有项移到左边，统一化为（代表不等号）； ②等价转化： ； ； ； ； ③因式分解，求出零点； ④利用穿根法快速写出解集，分母零点永远取不到。 四、简单绝对值不等式 1.基础概念 （1）绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式。 （2）数轴距离公式：实数对应数轴点，；中点对应数：。 2.去绝对值三种通用方法 ①几何法：利用代表数轴上到的距离，数形结合求解； ②平方法：不等式两侧均非负时，两边同时平方消去绝对值； ③分段讨论法：令绝对值内式子为0求出零点，划分区间分段去掉绝对值计算。 3.基础绝对值不等式固定结论（） (1) (2) (3) (4) 4.常见拓展类型 （1）：转化为解一次不等式； （2）：拆成或分别求解； （3）多绝对值不等式（如）：零点分段法，按绝对值零点划分区间逐段去绝对值。 要点速测 3．不等式的解集是___________． 4．不等式的解集为__________. 知识点 基本不等式及其应用 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 三、三角不等式 对任意实数，有；当且仅当（同号或其中一数为0）时，等号成立。 要点速测 5．若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型1 一元二次方程的根与系数的关系 ▌例1 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． ▌迁移练1-1已知方程的两个根为，，则________ ▌迁移练1-2若方程的解集为，则________． ▌迁移练1-3已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 题型2 作差法比较大小 ▌例2 若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. ▌迁移练2-1比较与的大小. ▌迁移练2-2已知，求证：. ▌迁移练2-3比较与的大小． 题型3 不等式性质比较式子的大小 ▌例3 设，且，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练3-1已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． ▌迁移练3-3已知，，则下列不等式一定成立的是_____ ①；②；③；④ 题型4 利用不等式求取值范围 ▌例4 已知，，则的取值范围为______________，的取值范围为______________. ▌迁移练4-1已知，求的取值范围． ▌迁移练4-2已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-3已知，求的取值范围. 题型5 解不含参数的一元二次不等式 ▌例5 已知集合，，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-1设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． ▌迁移练5-3已知，则“”是“”的______条件. 题型6 由一元二次不等式的解求参数 ▌例6 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 ▌迁移练6-1已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． ▌迁移练6-2若关于的不等式的非空解集为，则________． ▌迁移练6-3关于的不等式的解集是，则实数__________. 题型7 分式不等式 ▌例7 解不等式________. ▌迁移练7-1不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3解不等式： (1)； (2). 题型8 含一个绝对值的不等式 ▌例8 不等式的解集为________． ▌迁移练8-1不等式的解集为________． ▌迁移练8-2不等式的解集是_____． ▌迁移练8-3不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型9 均值不等式求积的最大值 ▌例9 若，则的最大值为________． ▌迁移练9-1已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练9-2已知，且，则的最大值为________． ▌迁移练9-3已知正数满足，则的最大值为__________． 题型10 均值不等式求和的最小值 ▌例10 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 ▌迁移练10-1函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 ▌迁移练10-2已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． ▌迁移练10-3已知实数满足，则的最小值为______. 题型11 基本不等式中“1”的妙用 ▌例11 已知，，则的最小值为__________． ▌迁移练11-1已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 ▌迁移练11-2已知正实数，满足，则的最小值为__________． ▌迁移练11-3已知正实数，满足，则的最小值为__________. 题型12均值不等式在实际问题中的应用 ▌例12 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? ▌迁移练12-1某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． ▌迁移练12-2某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ ▌迁移练12-3随着工业的高速发展，能源紧缺导致能源价格上涨，某地去年油价为7元/升，年消耗量为m万升，本年度计划将油价调整到7.5元/升至8元/升之间，而用户期望油价为7.2元/升，经测算，上涨后新增油耗量和实际油价与用户期望油价的差成反比（比例系数为k），该地区的油价成本为6.5元/升． (1)当时，本年度实际油价为多少时，本年度收益最低（收益实际耗油量（实际油价成本价））； (2)当时，油价最低定多少时，可保证收益比上年至少增长188%． 题型13 不等式恒成立问题 例13．已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 ▌迁移练13-1若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． ▌迁移练13-2已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌迁移练13-3已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 难点一 含多个绝对值的不等式求解 难点分析： 1.学生很难找准所有绝对值内部等于0的零点，容易漏零点或者零点划分区间出错。 2.分段去掉绝对值符号时，不会根据所在区间判断绝对值内代数式正负，去绝对值符号容易出现符号错误。 3.每一段求出解集后，容易忘记和本段区间取交集；最后还要把各段有效解集取并集，交并集运算极易混淆。 处理方法： 1.第一步先找全部零点：令每一个绝对值内部表达式等于0，解出零点，零点把数轴分成若干区间。 2.在每一个区间内，判断绝对值内式子正负，直接去掉绝对值符号，转化为普通一元一次不等式。 3.每一段解出来的结果必须和本区间范围取交集，得到本段有效解。 4.把每一段得到的有效解集做并集，得到最终解集。 难点精练 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________． 3．不等式的解集为________. 难点二 利用基本不等式求最值 难点分析： 1.忽略使用基本不等式的三大前提条件：一正、二定、三相等。经常直接套用公式，不检验变量是否为正数。 2.“定值”识别困难：题目不会直接给出积为定值或者和为定值，需要变形、拆项、配凑，学生不会代数式配凑。 3.忽略等号成立条件，求出最值之后，不去检验等号能不能取到；若等号取不到，则该最值是伪最值，不能使用。 4.部分题目不能一次使用基本不等式，需要多次连用，多次连用的时候，每一步的等号成立条件很难同时满足，容易出错。 处理方法： 1.使用公式前，先检查变量是否为正数，不满足正数条件要做变形或者换元。 2.观察式子，通过拆项、凑项、同乘除常数，构造出“和为定值”或者“积为定值”的结构。 3.算出最值后，一定要写出等号成立条件，检验等号对应的自变量取值是否在题目允许取值范围内。 4.如果等号无法取到，则不能用基本不等式，改用函数单调性求最值。 5.多次连用基本不等式时，保证每一处等号成立条件可以同时成立。 难点精练 4．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正数，满足，求的最大值． 基础达标 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 6．已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 7．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 8．已知关于的不等式，若不等式的解集为或，则实数的值为______． 9．函数的最小值为__________. 三、解答题 10．命题：实数满足集合，：实数满足集合. (1)若，为真命题，求集合； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 11．已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 12．某工厂要建一个长方体无盖蓄水池，其底面积为100平方米，深5米，如图设底边一边长为（）米.现有甲、乙两工程队竞标，甲工程队报价：池底每平米的造价为180元，池壁每平米的造价为150元；乙工程队报价：整体报价为（）.    (1)如果按甲工程队报价，求建造蓄水池的最低总造价； (2)如果蓄水池无论如何设计，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 能力进阶 1．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的取值范围为_____________________． 3．已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 4．设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是________． 5．已知，且，则的最小值为__________. 6．已知不等式的解集为，求不等式的解集． 7．命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $