第2章等式与不等式章节复习提升同步培优讲义-2025-2026学年高一数学上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式章节复习提升 知识点1、一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； ①()． ②(同号)； ③()． 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 考点01：等式的性质 【例1】（2024-25奉贤中学高一上期中）已知恒成立，则______． 【例2】 （2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）已知等式恒成立，则______． 考点02：一元二次方程的根与系数的关系 【例3】（2024-25大同中学高一上期中）若是一元二次方程的两个实数根，则__________.． 【例4】 （2024-25金山中学高一上期中）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 【例5】（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）已知方程的两个实根为，，将与表示为的代数式，并比较与的大小． 考点03：不等式的性质 【例6】（2023·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例7】（2024-25上海师大二附中高一上考试）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 【例8】（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于实数，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【例9】 （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）已知，，则的取值范围为________． 【例10】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【例11】（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【例12】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 考点04：一元二次不等式的求解 【例13】不等式的解集为 ．的解集为________ 【例14】解关于的不等式. 【例15】解关于的不等式； 【例16】设，解关于的不等式. 【例17】 （2024-25高一上嘉定高级中学期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集______． 【例18】 （2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 【例19】（24-25高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【例20】已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 考点05：分式不等式的求解 【例21】不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【例22】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例23】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例24】（2024-25大同中学高一上期中）不等式解集用区间表示是________． 【例25】（2024-25高一上嘉定高级中学期中）不等式的解集为____________. 【例26】已知不等式的解集为或，则________. 【例27】已知关于的不等式的解集是； （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 考点06：绝对值不等式的求解 【例28】不等式的解集为 .不等式 的解集为 【例29】不等式的解集为 . 【例30】不等式的解集为 ；的解集为 ． 【例31】解关于的不等式. 【例32】不等式的解集为 ． 【例33】已知，解关于的不等式：； 考点07：基本不等式 【例34】（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例35】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 考点08：基本不等式的应用（比较大小与证明） 【例36】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【例37】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例38】（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【例39】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【例40】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 考点09：基本不等式的应用（求最值） 【例41】若，则的最大值为 ． 【例42】（2024-25奉贤中学高一上期中）若，则的最小值是__________. 【例43】 （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）若正实数满足，则的最小值为__________. 【例44】函数的最小值为 . 【例45】（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）已知正实数满足，则的最大值为__________． 【例46】（2024-25金山中学高一上期中）已知正实数，满足，则的最小值为______. 【例47】（2024学年闵行中学高一上期中）设，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 考点10：基本不等式的实际应用 【例48】（2024学年闵行中学高一上期中）某校决定投资建一个形状为长方体的体育器材室，高度为3米，底面面积为36平方米，它的后墙利用旧围墙改造（面积足够用），改造费用为每平方米4百元，正面用防火板建造，防火板每平方米造价为8百元，两侧墙用砖建造，每平方米造价为6百元，顶部每平方米造价为3百元，下底费用不计． （1）求器材室总造价（百元）关于器材室的正面长（米）的函数关系式； （2）应怎样设计才能使器材室总造价最低，并求出总造价的最小值． 【例49】（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值. 【例50】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 考点11：三角不等式 【例51】（2024-25金山中学高一上期中） 对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（ ）成立． A. B. C. D. 【例5】（2025复兴高级中学高三模拟）ab<0,则有① ② ③ ④四个式中正确的是（ ） A.①② B. ②③ C. ①④ D.②④ 考点12：不等式恒成立（能成立）问题 【例53】（2024-25高一上嘉定高级中学期中）关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 【例54】（20247. （2024学年闵行中学高一上期中）若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【例55】若不等式对一切实数恒成立，则实数的范围是 【例56】（2024-25高一上嘉定高级中学期中） x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是________________. 【例57】（2024-25上海复旦大学附属中学高一上期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 考点13：综合素养提升 【例58】 （2024-25奉贤中学高一上期中）设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与大小，并求M的最大值． 【例59】（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中） 问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： （1）已知a、b是正实数，且，求的最小值． （2）①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式章节复习提升 知识点1、一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 知识点2、一元二次方程的根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 知识点3、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点4、分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 知识点5、简单的绝对值不等式 ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点6、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 知识点7、几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 知识点8、三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 考点01：等式的性质 【例1】（2024-25奉贤中学高一上期中）已知恒成立，则______． 【答案】7 【分析】先将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果. 【详解】由恒成立， 即恒成立， 则，解得， 所以. 故答案为：7. 【例2】 （2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 考点02：一元二次方程的根与系数的关系 【例3】（2024-25大同中学高一上期中）若是一元二次方程的两个实数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】解：依题意得，， 则． 故答案为： 【例4】 （2024-25金山中学高一上期中）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 【例5】（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）已知方程的两个实根为，，将与表示为的代数式，并比较与的大小． 【答案】见解析 【解析】 分析】根据韦达定理得，由作差法即可比较大小. 【详解】由题意得，且， 所以，， 所以， 当时，， 故， 当时， 当时， 考点03：不等式的性质 【例6】（2023·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D. 【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，则， 当时，，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在R上单调递增，则成立， 故选：C 【例7】（2024-25上海师大二附中高一上考试）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 【答案】D 【解析】 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 【例8】（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于实数，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【答案】C 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：C 【例9】 （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以 又，两式相加可得 故答案为： 【例10】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则， 则， 又， 所以， 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 【例11】（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小； （2）利用作差法，即可证明． 【详解】（1） ； 因为，所以，， 所以， 所以； （2）证明：， 因为且，， 所以； 又因为，所以，则， 又， 所以，即． 【例12】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【证明】， ， ， . 考点04：一元二次不等式的求解 【例13】不等式的解集为 ．的解集为________ 【详解】(1)由，得，即， 所以不等式的解集为R. 故答案为：R. (2)， 故答案为：. 【例14】解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 【例15】解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集． 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【例16】设，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】讨论、时，不等式的解集情况，再比较和的大小关系，从而再次细分讨论即可. 【详解】①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式为，令，解得或， （i）当时，，解不等式可得或； （ii）当时，原不等式即为，解得； （iii）当时，，解不等式可得或； 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为或. 【例17】 （2024-25高一上嘉定高级中学期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例18】 （2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 【答案】． 【解析】 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 【例19】（24-25高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 【例20】已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 考点05：分式不等式的求解 【例21】不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 【例22】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C 【例23】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 【例24】（2024-25大同中学高一上期中）不等式解集用区间表示是________． 【答案】； 【解析】 【分析】移项整理，可得，根据分式不等式的解法，即可求得答案. 【详解】原式，可化为，即， 所以，等价于，所以， 即不等式解集为. 故答案为：. 【例25】（2024-25高一上嘉定高级中学期中）不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解， 【详解】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 【例26】已知不等式的解集为或，则________. 【答案】 【解析】先化简分式不等式，再等价于一元二次不等式，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，转化为对应方程的根，即可求出的值. 【详解】由，得， 等价于， 不等式的解集为或， 和为方程的两个实数根， ， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题. 【例27】已知关于的不等式的解集是； （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）略（2）∵,则5不满足不等式， 若，则，解得，因此时，， 又∵，同上解得. ∴综上可知实数a的取值范围是. 考点06：绝对值不等式的求解 【例28】不等式的解集为 .不等式 的解集为 【答案】 【例29】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】不等式等价于，求解即可. 【详解】不等式， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例30】不等式的解集为 ；的解集为 ． 【答案】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，得，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，两边平方得，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 对于，对应方程的根的判别式， 对应函数的图象开口向上，所以解集为． 对于，因式分解得，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）由，得到，所以， 所以，即， 解得．即不等式的解集为, 故答案为：；. 【例31】解关于的不等式. 【答案】 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 【例32】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用零点分段法分解成三个不等式组，求解后再求并集． 【详解】∵， ∴不等式可化为： ①，或②，或③， ①无解，解②得，解③得， 所以， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 【例33】已知，解关于的不等式：； 【分析】讨论和，由绝对值的几何意义去绝对值即可求解； 【详解】（1）当时，无解，此时解集为， 当时，由可得：， 所以，可得， 综上所述：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 考点07：基本不等式 【例34】（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据重要不等式和基本不等式可选出答案. 【解答过程】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立 当时不成立， 故选：D. 【例35】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 考点08：基本不等式的应用（比较大小与证明） 【例36】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【例37】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【解答过程】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 【例38】（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可. 【详解】由题意，所以， 由基本不等式可得，同时注意到，所以， ， 而、都是正数，所以. 故选：D. 【例39】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【解题思路】对分别应用基本不等式求解即可. 【解答过程】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 【例40】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 考点09：基本不等式的应用（求最值） 【例41】若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 故，当且仅当， 即时取等号，所以的最大值为． 【例42】（2024-25奉贤中学高一上期中）若，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是. 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 【例43】 （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）若正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由题意可得，， 当且仅当时，取到最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 【例44】函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 【例45】（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）已知正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简所求表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值. 【详解】由于，所以， 所以， 所以当即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 【例46】（2024-25金山中学高一上期中）已知正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 【例47】（2024学年闵行中学高一上期中）设，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 考点10：基本不等式的实际应用 【例48】（2024学年闵行中学高一上期中）某校决定投资建一个形状为长方体的体育器材室，高度为3米，底面面积为36平方米，它的后墙利用旧围墙改造（面积足够用），改造费用为每平方米4百元，正面用防火板建造，防火板每平方米造价为8百元，两侧墙用砖建造，每平方米造价为6百元，顶部每平方米造价为3百元，下底费用不计． （1）求器材室总造价（百元）关于器材室的正面长（米）的函数关系式； （2）应怎样设计才能使器材室总造价最低，并求出总造价的最小值． 【答案】（1） （2）正面长为米时，总造价最小为百元 【解析】 【分析】（1）由底面面积为36平方米得，底面宽为，根据面积及造假求出（百元）与（米）的函数关系式； （2）利用基本不等式可求得最小造价. 【小问1详解】 由底面面积为36平方米得，底面宽为， 则， 整理得 【小问2详解】 对于， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以当器材室正面长为米时，总造价最小，最小为百元 【例49】（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值. 【答案】（1） （2），44 【解析】 【分析】（1）根据题意分、讨论，运算求解； （2）根据题意整理求解，结合单调性求最值. 【小问1详解】 当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间； 当时，若，即，解得（舍）或； 所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 【小问2详解】 设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为. 因此人均通勤时间， 整理得：， 因为在和为减函数，在为增函数， ，， 所以的最小值为44. 【例50】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 考点11：三角不等式 【例51】（2024-25金山中学高一上期中） 对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（ ）成立． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【详解】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 【例5】（2025复兴高级中学高三模拟）ab<0,则有① ② ③ ④四个式中正确的是（ ） A.①② B. ②③ C. ①④ D.②④ 【答案】C. 【解析】对于①，因为ab<0,即a、b同号且都不为0，则，故①成立； 对于②，因为ab<0,即a、b同号且都不为0，则，故②不成立； 对于③，因为绝对值不等式,故③不成立； 对于④，因为绝对值不等式,故④成立.故选C. 考点12：不等式恒成立（能成立）问题 【例53】（2024-25高一上嘉定高级中学期中）关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，则有，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例54】（20247. （2024学年闵行中学高一上期中）若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的最小值，求解即可. 【详解】因为关于的不等式恒成立，所以， 记， 当时，，当时，有最小值为2； 当时，，为常数函数2； 当时，，当时，有最小值为2； 综上所述：的最小值为2，所以. 故答案：. 【例55】若不等式对一切实数恒成立，则实数的范围是 【答案】 【解析】， 所以恒成立等价于恒成立， 即不等式恒成立， 所以，解得. 所以实数的范围是. 【例56】（2024-25高一上嘉定高级中学期中） x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意. 【详解】利用三角不等式，有，当时等号成立 因为有解，只需即可, 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【例57】（2024-25上海复旦大学附属中学高一上期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 考点13：综合素养提升 【例58】 （2024-25奉贤中学高一上期中）设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与大小，并求M的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3），，M的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. 【小问2详解】 ①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. 【小问3详解】 由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 【例59】（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中） 问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： （1）已知a、b是正实数，且，求的最小值． （2）①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②时，取最小值. 【解析】 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 ①因，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $