专题3.1 幂与指数（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

本讲义聚焦幂与指数的核心知识体系，从整数指数幂出发，逐步过渡到根式概念、分数指数幂的定义与运算，最终延伸至有理数和无理数指数幂的应用，形成由具体到抽象、由特殊到一般的完整学习支架。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。例如通过根式符号辨析题强化学生对奇偶次方根本质差异的理解，体现数学眼光中的抽象能力；在条件求值题中引导学生逻辑推理，展现数学思维的严谨性；借助代数式化简与实际问题建模，提升学生用数学语言表达现实关系的能力。课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，是提升学生运算素养与逻辑推理能力的优质教学资源。

专题3.1 幂与指数 教学目标 1.借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 教学重难点 教学重点： ①理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化 ②能利用根式的性质对根式进行运算． 教学难点：掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值． 知识点01整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练】.( ) 知识点02根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么 ，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示 ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写 成 (). ③负数 偶次方根； ④的任何次方根都是 ，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意 ③当为偶数时，只有当 才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时， （） ②当为偶数时， （） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练】计算：（   ） A． B． C． D． 知识点03分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是 （，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， （，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂 . 【即学即练】将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点04有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练】（    ） A． B． C． D． 题型01根式的概念 【典例1】，则实数a的取值范围 【变式1】若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，则实数的不可取到的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式4】若，则实数的取值范围为 ． 题型02根式的化简求值 【典例1】若，则 . 【变式1】当时，化简 . 【变式2】若，，则的值为 . 【变式3】计算：______. 【变式4】化简= . 1.次方根的个数及符号的确定 1的奇偶性决定了次方根的个数； 2为奇数时，的正负决定着次方根的符号 2.正确区分与 (1)中的可以是全体实数，的值取决于的奇偶性． (2)已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知的范围． 题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】将写成分数指数幂的形式为 ． 【变式1】化简： . 【变式2】 ． 【变式3】的值为 . 【变式4】化简 . 题型04条件求值 【典例1】若，则 ． 【变式1】若，则 ． 【变式2】已知实数满足，则 . 【变式3】已知，则 . 【变式4】已知，则 ． 1．若，则实数的取值范围是 ． 2．计算 . 3．计算： . 4． 5．已知方程，则= . 6．已知，计算： . 7．已知，化简式子： . 8．计算 . 9．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．计算下列各式： (1)； (2)． 13．已知 ，求： (1)； (2)． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 幂与指数 教学目标 1.借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 教学重难点 教学重点： ①理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化 ②能利用根式的性质对根式进行运算． 教学难点：掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值． 知识点01整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练】.( ) 【答案】错误 【分析】根据指数的运算性质即可得到答案. 【详解】. 故答案为：错误. 知识点02根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 知识点03分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练】将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式指数幂与根式关系即可得结果. 【详解】. 故选：C 知识点04有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 题型01根式的概念 【典例1】，则实数a的取值范围 【答案】 【分析】由二次根式的化简求解 【详解】由题设得， ， 所以 所以，． 故答案为： 【变式1】若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【详解】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 【变式2】若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的性质化简得解. 【详解】，. 因为，故，所以. 故选：C 【变式3】若，则实数的不可取到的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】应用根式的运算即可. 【详解】，则，解得． 故选：D 【变式4】若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质即可判断. 【详解】因为，即，所以， 解得. 故答案为： 题型02根式的化简求值 【典例1】若，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 【变式1】当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【变式2】若，，则的值为 . 【答案】1 【分析】利用根式的性质进行求解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：1. 【变式3】计算：______. 【答案】/ 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】 故答案为： 【变式4】化简= . 【答案】 【分析】利用完全平方公式及幂的性质计算可得； 【详解】解： = 因为，所以.所以原式 故答案为： 1.次方根的个数及符号的确定 1的奇偶性决定了次方根的个数； 2为奇数时，的正负决定着次方根的符号 2.正确区分与 (1)中的可以是全体实数，的值取决于的奇偶性． (2)已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知的范围． 题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】将写成分数指数幂的形式为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则求解即可. 【详解】解：原式 . 故答案为： 【变式1】化简： . 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算化简可得. 【详解】  . 故答案为：. 【变式2】 ． 【答案】110 【分析】根据根式与分数指数幂化简运算可得结果. 【详解】易知原式 . 故答案为：110 【变式3】的值为 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 【变式4】化简 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式 故答案为：. 题型04条件求值 【典例1】若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即， 两边平方得：，即， 而，所以， 则， 故答案为：. 【变式1】若，则 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算律结合立方和公式计算即可. 【详解】若，则． 故答案为：. 【变式2】已知实数满足，则 . 【答案】 【分析】根据可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故答案为：. 【变式3】已知，则 . 【答案】/ 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式4】已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用平方关系，变形求值即可. 【详解】由，两边同时平方，得，所以， 对两边同时平方，得，即， 则． 故答案为：. 1．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合根式的性质化简求解即可. 【详解】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 2．计算 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 【详解】 . 故答案为：8 3．计算： . 【答案】 【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值. 【详解】. 故答案为： 4． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．已知方程，则= . 【答案】 【分析】由已知可得，利用可求值. 【详解】因为，所以，显然，所以，即. 因为，所以， 所以. 故答案为：. 6．已知，计算： . 【答案】/2.5 【分析】平方得到，再运用完全平方公式、立方差公式变形代入即可. 【详解】平方得，即， . 故答案为：. 7．已知，化简式子： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 8．计算 . 【答案】 【分析】根据分数指数幂和指数运算可得. 【详解】 故答案为： 9．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定定义，利用根式的性质求解即得. 【详解】由，得；由，得，则； 由，得，则；由，得，则， 而，， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用合并同类项、指数幂的运算性质化简判断各项正误. 【详解】由，，，，显然B正确. 故选：B 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 12．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 13．已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $