27-2 反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图形和性质及应用，通过回顾一次函数、二次函数图象特征和描点法步骤导入，以列表、描点、连线为学习支架，引导学生从旧知自然过渡到反比例函数的探究。 其亮点在于采用从特殊到一般的探究模式，通过对比y=6/x与y=-6/x的图象，培养学生几何直观和推理意识，结合k的几何性质及对称性应用强化模型意识。实例剖析与分层训练帮助学生深化理解，教师可依托此资料提升教学效率。

反比例函数的图形和性质 模块一： 反比例函数的图形和性质 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是_________，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是___________. 2.用描点法画函数图象的步骤简单说是 、 、 . 一条直线 一条抛物线 列表 描点 连线 x 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -6 -5 5 6 x y -1 -6 x -2 -3 -3 -1.5 -2 -4 -5 -1.2 -6 -1 … … 1 6 2 3 3 2 4 1.5 5 1.2 … 1 6 … 列表 描点 连线 注意：列表时自变 量取值要均匀和 对称 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 -1 x x -2 -3 -4 -5 -6 … 1 -6 2 -3 3 -2 4 -1.5 5 -1.2 … -1 6 … 6 3 1.5 2 1.2 1 … 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -6 -5 5 6 y x 函数图象在第一、三象限内 函数图象在第二、四象限内 当k＞0时 当k＜0时 反比例函数图象的特点： 例1 画出反比例函数 与 的图象. 提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 －12 12 O －2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 　与 的图象． x 增大 O －2 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 观察这两个函 数图象，回答问题： 思考： (1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？ y 减 小 (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？ O x y ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 例2 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞x2，则 y1与y2的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系. 观察与思考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？ y x O y x O y x O 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交； ●在每个象限内，y随x的增大而增大. 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 例3 已知反比例函数 ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 B 1.5＞0，图象在第一、三象限 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的 图象大致是 ( ) O x y A O x y B O x y C O x y D D 2＞0，正比例函数图象经过第一、三象限，-1＜0，反比例函数在第二、四象限 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1)(3) m ＞ 2 图象在第一、三象限，则m-2＞0 都满足解析式，符合题意 -12＜0，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，（2）不对，（3）对 5. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1 > x2 > 0，则 y1－y2 0. ＜ k=-2×（-3）=6 6＞0，图象在第一象限，y随x的增大而减小，因此y1＜y2 6. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 7.已知 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1． 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 模块二： 反比例函数的图形和性质的应用 1 知识点 反比例函数中k 的几何性质 双曲线的几何特性：过双曲线 上的任意一点 向两坐标轴作垂线，与两坐 标轴围成的矩形面积等于 |k|，连接该点与原点，还 可得出两个直角三角形， 这两个直角三角形的面积 都等于 . 例1 如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P 在C1 上，PA⊥x 轴于点A，交C2于点B，则△POB 的面积为________． 导引：根据反比例函数中 k 的几何意义，得△POA 和△BOA 的面积分别为2 和1，于是阴影部分的面 积为1. 1 如图，点A 为反比例函数 图象上一点， 过A 作AB⊥x 轴于点B，连接OA，则△ABO 的面积为(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 D 如图，在平面直角坐标系中，点P 是反比例函数 (x＞0) 图象上的一点，分别过点P 作PA⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B. 若四边形OAPB 的面积为3，则k 的值为(　　) A．3 B．－3 C. D． A 一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象经过A (－1，－4)， B (2，2)两点，P 为反比例函数 图象上一动点， O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C，则△PCO 的面积为(　　) A．2 B．4 C．8 D．不确定 A 2 知识点 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象关于原点成中心对称，也就是把它的图象旋转180°与原图形重合，这是反比例函数的一个重要性质，就常用来求点的坐标和图形的面积等 例2 如图，在直角坐标系xOy 中，直线y＝mx 与双曲线 相交于A(－1，a )，B 两点，BC⊥x 轴，垂足为C，△AOC 的面积是1. (1)求m，n 的值； (2)求直线AC 对应的函数解析式． 导引：(1)由题意，根据对称性得到点B 的横坐标为1，确定 出点C 的坐标，根据△AOC 的面积求出点A 的纵坐标， 确定出点A 的坐标，将点A 的坐标代入正比例函数与 反比例函数解析式，即可求出m 与n 的值； (2)设直线AC 对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A，C 两点坐标分别代入求出k 与b 的值，即可确定出直线 AC 对应的函数解析式． 解：(1)∵直线 y＝mx 与双曲线 相交于A (－1，a )， B 两点， ∴B 点横坐标为1. ∴C (1，0)． ∵△AOC 的面积为1， ∴ ×a×1＝1，∴a＝2， ∴A (－1，2)． 将A(－1，2)的坐标代入y＝mx， 可得m＝－2，n＝－2. (2)设直线AC 对应的函数解析式为y＝kx＋b， ∵直线 y＝kx＋b 经过点A (－1，2)，C (1，0)， ∴ 解得 ∴直线AC 对应的函数解析式为y＝－x＋1. 下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是(　　) ①函数 y＝x；②函数 y＝x 2；③函数 A．①② B．②③ C．①③ D．都不是 C 2 已知P 为函数 的图象上一点，且点P 到原点 的距离为2，则符合条件的点P 有(　　) A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 B 3 对于函数 ，下列说法错误的是 (　　) A．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称 图形 C．当x >0时，y 随x 的增大而增大 D．当x <0时，y 随x 的增大而减小 C 如图，点A(3，5)关于原点O 的对称点为点C，分别过点A，C 作y 轴的平行线，与反比例函数y＝ (0＜k＜15)的图象交于 点B，D，连接AD，BC，AD与x 轴交于点E (－2，0)． (1)求k 的值； (2)直接写出阴影部分面积之和． 解： (1)设直线AD 对应的函数解析式为y＝ax＋b. ∵直线AD 过点A(3，5)，E (－2，0)， ∴ 解得 ∴直线AD 对应的函数解析式为y＝x＋2. ∵点C 与点A(3，5)关于原点对称， ∴点C 的坐标为(－3，－5)． ∵CD∥y 轴，∴点D 的横坐标为－3， 把x＝－3代入y＝x＋2得y＝－1. ∴点D 的坐标为(－3，－1)． ∵点D 在函数 y＝ 的图象上， ∴k＝(－3)×(－1)＝3. (2)12. 如图，△ABC 的顶点坐标为A (－2，3)，B (－3，1)， C (－1，2)，以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°， 得到△A′B′C ′，点B′，C′ 分别是点B，C 的对应点． (1)求过点B′ 的反比例函数的 解析式； (2)求线段CC′ 的长． 解： (1)B点的坐标为(－3，1)，以O 为旋转中心将点B 顺时针旋转90°得到点B ′， ∴点B′ 的坐标为(1，3)． 设过点B′ 的反比例函数的解析式为y＝ ， ∴3＝ ，解得k＝3. ∴过点B′ 的反比例函数的解析 式为y＝ . (2)接OC，OC ′.∵C (－1，2)， ∴OC＝ ∵点C′ 是点C 以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°后得到的对应点， ∴OC ′＝OC＝ ， ∴CC ′＝ 将直线y＝3x＋1向下平移1个单位长度，得到直线y＝3x＋m. 若反比例函数y＝ 的图象与直线 y＝3x＋m 相交于点A，且 点A 的纵坐标是3. (1)求m 和k 的值； (2)结合图象求不等式3x＋m＞ 的解集． (1)由平移得：y＝3x＋1－1＝3x，∴m＝0. 当 y＝3时，3x＝3，x＝1，∴A (1，3)． ∴k＝1×3＝3. 解： (2)画出正比例函数 y＝3x 和反比例函数y＝ 的图象，如图所示． 由图象得：不等式3x＋m＞ 的解集 为－1＜x＜0或x＞1. 1.反比例函数中k的几何性质：过双曲线 (k≠0) 上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k |； 向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等 于 |k |. 2.双曲线关于直线 y＝x 和直线 y＝－x 成轴对称． $