27.3 课时1 实际问题中的反比例函数 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过回顾反比例函数图象性质及计算巩固旧知，搭建学习支架，为分析港口卸货、杠杆原理等实际问题奠定基础。 其亮点是以典型实例为载体，渗透模型意识与推理意识，引导学生用数学思维建立函数关系，通过归纳步骤、探究杠杆省力原理培养数学眼光，助力学生提升应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

27.3 实际问题与反比例函数 课时1 实际问题中的反比例函数 1 1.会利用反比例函数的知识分析、解决实际问题. 2.在运用反比例函数解决实际问题时,体会数学建模的思想和数学的实用性. 学习目标 1.反比例函数 的图象是什么样的？它有什么性质？ 反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大． 2.已知函数 ，当x=2时，求y的值；当y=2时，求x的值. 当x=2时， ；当y=2时， ，所以x=4. 新知导入 探究一 运用反比例函数解决实际问题 例1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速 度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位:h)之间有 怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载 完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 分析:根据“平均装载速度x装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量;再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式. 典型例题 解：轮船上的货物总量为 700×9=6300(t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为. 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ 典型例题 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 解：把t=6代入，得 （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 典型例题 通过以上问题的分析，你能总结一下利用反比例函数知识解决实际问题的一般步骤吗？ 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ⑴根据题意找出数量关系； ⑵分清变量和常量； ⑶确定函数关系； ⑷根据确定的变量的值，求另一个变量. 归纳 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系? d 解： (2)如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式， 得S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. 巩固练习 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? d 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式， 得d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 巩固练习 古希腊科学家阿基米德(公元前287-前212)发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为: 阻力×阻力臂=动力×动力臂. 探究学习 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m. （1）动力 F （单位：N）与动力臂l （单位：m）有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力? 对于函数 ，当 l = 1.5m 时，F = 400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400N 的力. 解：根据“杠杆原理”阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂，得 Fl = 1200×0.5， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 当 l = 1.5m 时， 典型例题 （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 将 F = 400× = 200 代入 F = ，得 分析：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 典型例题 想一想：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力? 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 探究学习 2.假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 变形得： 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 巩固练习 1.正在建设中的临滕高速是重点建设项目，一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足（ ） A.反比例函数关系 B.无函数关系 C.一次函数关系 D.二次函数关系 A 基础 随堂小练 2.某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出a=　　.  每天运输的吨数 250 100 50 运输的天数 2 a 10 5 基础 随堂小练 3.小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N 和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省 　　　N的力.  解析　设动力为F(单位：N)，动力臂为l(单位：m)，根据“杠杆原理”有Fl=1 000×0.6， ∴F关于l的函数解析式为F=，当l=1.5 m时，F==400(N)，当l=2 m时，F==300(N)， ∴撬动这块石头可以节省400-300=100(N)的力. 100 基础 随堂小练 实际问题中的反比例函数 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 课堂小结 $