27-3 实际问题与反比例函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为实际问题与反比例函数，通过拉面制作、列车行驶等生活实例导入，结合旧知总结的解题步骤作为学习支架，帮助学生衔接已有知识与新内容。 其亮点是融合生活与物理实例，如圆柱形储存室、杠杆原理等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过实例推理和运算训练数学思维，建立函数模型提升数学语言表达能力。学生能联系实际理解知识，教师可获得丰富教学素材和结构化思路。

实际问题与反比例函数 你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？ （1）体积为20cm³的面团做成拉面，面条的总长度y 与面条粗细（横截面积）s 有怎样的函数关系？ （2）某家面馆的师傅技艺精湛， 他拉的面条粗1mm2 面条总长是多少？ S=1mm² =0.01cm² y=2000cm=20m 1 知识点 实际问题中的反比例函数关系式 下列问题中，如何利用函数来解答，请列出关系式： (1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t （单位:h）随该列车平 均速度v（单位：km/h）的变化而变化； (2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草 坪的长为y 随宽x 的变化； 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤： (1)审题，确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函数解析式； (2)建立适当的平面直角坐标系； (3)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (4)用待定系数法求出函数的解析式； (5)利用反比例函数的图象及其性质去分析解决问题． 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t ＞0). 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C xy=2，xy=4，且x，y均大于0 2. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高度 y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使做出来的圆柱体粗 1 cm2， 则圆柱的高度是 cm. 20 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240千米/时 4. 某户现在有若干度电，现在知道：按每天用6度电计算，五个月(按15天计算) 刚好用完. 若每天的耗电量为 x 度，那么这些电能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：电的总量为：6×15=90 (度)， 根据题意有 (x＞0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1 x y O 3 (3) 若每天节约 1 度，则这些电能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 1 度电， ∴ 每天的用电量为 6－1=5 (度)， ∴ 这些电能维持 18 天． 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 米？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 2 知识点 物理力学、热学中的反比例函数 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现.若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为 “杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂(如图). 例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时， 撬动石头至少需要多大的力？ (2) 若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l 至少 要加长多少？ 解：(1)根据“杠杆原理”，得 Fl = 1 200×0.5, 所以F 关于l 的函数解析式为 当 l = 1. 5 m 时， 对于函数 当l = 1.5m时，F = 400 N，此时杠杆 平衡.因此，撬动石头至少需要400 N的力. (2)对于函数 F 随l 的增大而减小.因此，只要求出 F = 200 N时对应的l 的值，就能确定动力臂l 至少应加长的量. 当F = 400× = 200时，由 200 = 得 对于函数 当l >0时，l 越大，F 越小.因此， 若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1. 5 m. 3 知识点 物理电学中的反比例函数 用电器的输出功率P (瓦)、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PR＝U２．这个关系也可写为 ，或 例2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围 为110〜220Ω.已知电压为 220 V，这个用电器的 电路图如图所示. (1)功率P 与电阻R 有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？ 解：(1)根据电学知识，当U=220时，得 (2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越 小. 把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率的 最大值 把电阻的最大值R= 220代人①式，得到功率的最 小值 因此用电器功率的范围为220〜440 W. 在一个可以改变体积的密闭容器内有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变，密度ρ (单位：kg/m3)与体积V (单位：m3)满足函数关系式ρ＝(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为(　　) A．9 B．－9 C．4 D．－4 1 A 已知压强的计算公式是 我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是(　　) A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大 B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小 C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小 D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大 2 D 已知电流I (安培)、电压U (伏特)、电阻R (欧姆)之间的关系为 ，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是(　　) C 某蓄电池的电压U (V)为定值，使用此电源时，电流I (A)和电阻R (Ω) 成反比例函数关系，且当I＝4 A时，R＝5 Ω. (1)此蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的解析式． (2)当电流为5 A时，电阻是多少？ (3)当电阻是10 Ω时，电流是多少？ (4)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10 A，那么用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？ 解： U＝IR＝4×5＝20(V)．函数解析式是I＝ (1)此蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的解析式． 当I＝5 A时，R＝4 Ω. (2)当电流为5 A时，电阻是多少？ 解： (3)当电阻是10 Ω时，电流是多少？ 当R＝10 Ω时，I＝2 A. (4)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10 A，那么用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？ 解： 解： 因为电流不超过10 A，由I＝ ，可得 ≤10，解得R ≥2，则可变电阻应该大于或等于2 Ω. 如图①，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的试验：在一根匀质 的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A，在中点O 右侧用一 个弹簧秤向下拉直到木杆平衡，改变弹簧秤与点O 的距离x (cm)， 观察弹簧秤的示数y (N)的变化情况．试验数据记录如下： x/cm … 4 6 8 10 12 … y/N … 12 8 6 4.8 4 … (1)把上表中x，y 的各组对应值作为点的坐标，在如图②所示的坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y (N)与x (cm)之间的函数关系，并求出函数关系式(不用写出x 的取值范围)． 画图略．由图象猜测y 与x 之间的函数关系为反比例函数，所以设y＝ (k≠0)． 把x＝4，y＝12代入，得k＝48，所以y＝ 将其余各点的坐标代入验证，均适合， 所以y 与x 之间的函数关系式为y＝ 解： (2)当弹簧秤的示数为5 N时，弹簧秤与点O 的距离是多少？随着弹簧秤与点O 的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 把y＝5代入y＝ ，得x＝9.6. 所以当弹簧秤的示数为5 N时，弹簧秤与点O 的距离是9.6 cm.随着弹簧秤与点O 的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大． 解： $