第一章三角形第四节线段垂直平分线与角平分线（一）提优特训A·B卷数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学线段垂直平分线提优特训A·B卷，分层设计基础与强化内容，通过定义辨析、尺规作图、综合推理及生活应用（如选址问题），培养几何直观与推理意识，适配新授课巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|20题/60分|垂直平分线性质（如A卷1题）、尺规作图判断（A卷2题）|结合图形辨析概念，强化几何直观| |填空|20题/60分|三角形外心性质（B卷15题）、动态点距离（A卷20题）|渗透数形结合，提升抽象能力| |解答|12题/120分|性质判定综合证明（A卷25题）、实际选址作图（B卷21题）|设计分层任务，培养推理与应用意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第四节线段垂直平分线与角平分线（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解线段垂直平分线的定义，区分性质定理与判定定理，能准确写出几何符号语言；理解线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合，建立几何概念抽象思维。 2.会利用全等三角形证明线段垂直平分线性质与判定；能综合运用定理完成几何推理证明，会解决三角形三边垂直平分线交点相关推理问题，提升演绎推理能力。 3.借助线段垂直平分线性质求解线段长度、三角形周长，结合图形进行线段等量代换，熟练完成几何计算。 4.掌握尺规作线段垂直平分线的操作；能解决生活中选址、找等距点的实际问题；体会轴对称思想，养成数形结合、严谨书写推理步骤的习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.线段垂直平分线的定义、尺规作图方法。 2.线段垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；会用符号语言书写，用于证明线段相等。 3.线段垂直平分线判定定理（逆定理）：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，用于判定点在垂直平分线上。 4.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点距离相等。 5.利用性质定理求三角形周长、线段长度的题型。 （二）难点 1.分清性质定理和判定定理的条件与结论，避免用反；区分 “ 点在垂直平分线上 ” 和 “ 点到两端距离相等 ” 的逻辑关系。 2.综合题中辅助线添加：遇到垂直平分线，连接点到线段两个端点构造相等线段。 3.证明一条直线是线段的垂直平分线：需要证明两个点都满足到线段两端距离相等，不能只证明一个点。 4.三角形垂直平分线交点的综合计算（角度、周长）。 )三．知识清单 ( （一）线段垂直平分线定义 1.定义： 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。例如，对于线段AB，直线 l 过AB中点 O ，且 l ⊥ AB ，那么直线 l 就是线段AB的垂直平分线。 2.   几何语言表述 若l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，则有：AO= OB，且l ⊥ AB 。 3.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （二）线段垂直平分线的性质定理 【 探究 】 在一张纸片上画线段AB,折叠纸片,使两个端点A与B重合,展开纸片. (1)指出折痕与线段AB的关系; ) ( (2)结合(1)回答下列问题:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 【解析】 (1)折痕所在的直线垂直平分线段AB,也就是线段AB的垂直平分线. (2)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. 已知:如图所示,l是线段AB的垂直平分线,垂足为D,P为直线l上一点. 求证:PA=PB. 证明:由题意,得PD ⊥ AB,AD=BD. ∴∠ PDA= ∠ PDB=90 ° . ∵ PD=PD, ∴△ PDA ≌△ PDB （SAS） , ∴ PA=PB. 1.内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 2.几何符号语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线l上， ∴ PA=PB。 3. 用途：证明两条线段相等；遇到垂直平分线，优先连接点到线段两端，得到相等线段。 4.拓展： 线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离还相等吗?为什么? 解:线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等. 理由如下:如图,l为线段AB的垂直平分线,当点P在l右侧时,设PA交l于点Q,连接QB,PB.因为点Q在AB的垂直平分线上,所以QA=QB.于是PA=PQ+QA=PQ+QB>PB.当点P在l左侧时,同理可得PB>PA.综上所述,线段垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等. （三） 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 如果把 “ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ” 的条件与结论互换,我们得到: “ 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ” .请分析这个结论是否正确.(画出图形,写出已知、求证和证明) 解:分两种情况证明 (1)如图,若点Q在线段AB上,且QA=QB,求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明:因为QA=QB,则Q是线段AB的中点,则点Q在线段AB的垂直平分线上. ) ( (2)若点Q在线段AB外,且QA=QB.求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明:如图,过点Q作QM ⊥ AB,垂足为M,则 ∠ QMA= ∠ QMB=90 ° . 在Rt △ QMA和Rt △ QMB中, ∴ Rt △ QMA ≌ Rt △ QMB(HL), ∴ AM=BM, ∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上,即到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 1.内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.几何符号语言： ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 3.重要提醒： （1）判定一条直线是线段的垂直平分线：只一个点满足PA=PB不够，需要找到两个不同的点都满足到线段两端距离相等，两点确定一条直线，才能说明这条直线是垂直平分线。 （2）线段垂直平分线可以看作是所有到线段两端距离相等的点的集合。 （四） 线段垂直平分线的 画法 ： 1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2. 尺规作线段的垂直平分线 (1)分别以点 A,B 为圆心, 大于 AB 为半径画弧,两弧相交于点C,D;   (2)过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. （五）三角形三边垂直平分线性质 1. 三角形三条边的垂直平分线相交于同一个点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。 锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. ) ( 2.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。 ABC中，AB、BC、AC三边垂直平分线交于点O，则OA=OB=OC。 （六）高频题型模型 1.周长模型：垂直平分线交三角形一边，得到相等线段，实现线段代换求周长。 如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,若AC=9 cm,△ABE的周长为16 cm,求AB的长. 解 ： ∵ED是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴BE+AE=CE+AE=AC=9 cm.∵△ABE的周长为16 cm,∴AB=16-(BE+AE)=16-9=7 cm. 2.选址模型：找一点到两个定点距离相等，该点在两点连线的垂直平分线上。 如图所示 ，A，B，C 是新建的三个居民小区 . 现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校 ， 试确定学校的位置 . 解：① 连接 AB，BC， 如图所示 ； ② 作 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P， 点 P 就是学校的位置 . （七）易错分析 易错点1：混淆性质定理和判定定理，条件结论颠倒 错误：看到PA=PB，直接写 “ 点P在垂直平分线上，所以PA=PB ” 。 纠正： 性质：点在垂直平分线上 → PA=PB（已知垂直平分线，推线段相等） 判定：PA=PB → 点在垂直平分线上（已知线段相等，推点的位置）。 易错点2：证明直线是线段垂直平分线，只找一个满足条件的点 错误：PA=PB，就得出直线PC是AB垂直平分线。 纠正：两点确定一条直线，必须找到两个不同的点都满足到线段两端距离相等，才能判定直线为垂直平分线。 易错点3：把垂直平分线当成线段 错误： “ 线段MN是AB的垂直平分线 ” 。 纠正：垂直平分线是直线，不是线段。 易错点4：使用性质定理忽略前提条件 错误：只要点P在直线上，就直接得到PA=PB。 纠正：必须确认这条直线是线段的垂直平分线（既垂直、又平分线段），才可以得到PA=PB。 易错点5：三角形垂直平分线交点理解错误 错误：三角形三边垂直平分线交点到三边距离相等。 纠正：到三个顶点距离相等；到三边距离相等的是角平分线交点（内心），注意区分。 易错点6：尺规作图半径错误 错误：画弧半径小于等于 AB。 纠正：半径必须大于 AB，保证两弧相交得到两个交点。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1. 如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若线段，则线段的长为（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，∴PA+PB+3，故选：A。 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ）。 A.中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 【答案】A 【解析】由作图可知点D是AB边的中点，故线段CD是△ABC的中线，故选：A。 3.如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　）。 A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解析】∵，∴点P在线段的垂直平分线上，又∵，∴垂直平分，∴，故选：A。 4.在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么此锐角等于（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，。求的值。解：延长到D，使得，∵，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴是等边三角形，∴，平分，∴，故选A。 5.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 【答案】D　 【解析】因为直线DE是AB的垂直平分线,所以AE=BE, AD=BD=2,所以△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC,AB=AD+BD=2+2=4,所以4-2<AC<4+2,即2<AC<6,所以△BCE的周长C的取值范围是4<C<8.故选D. 6.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　） A．40° B．44° C．48° D．52° 【答案】C 【解析】在△ABC中，∠BAC＝114°，则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°， ∵EG是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故选：C． 7.如图，在△ABC中，AB=8,BC=7,AC=4，直线m是△ABC中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则△APC周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】∵直线m垂直平分AB，∴B、A关于直线m对称，令直线m交BC于D，连接AD，如图所示：∴当P和D重合时，AP+CP=BC的值最小，最小值等于BC的长，∵C△APC=AP+PC+AC 且AP+CP的最小值等于BC，∴△APC周长的最小值为BC+AC=7+4=11故答案为：B． 8.如图，△ABC中，AC=8,BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　） A．13 B．14 C．18 D．21 【答案】A 【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=5+8=13,故答案为：A . 9．如图，已知 △ABC(AC<BC)用尺规在 BC 上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是(　　) A． B． C．D． 【答案】B 【解析】根据题意，PA+PC=BC，由图可知，PB+PC=BC,∴PA+PB故符合要求的作图是作线段AB的垂直平分线，由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．故答案为：B . 10．如图，直线l 是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A 在直线l的同一侧，连结 BC，交直线l于点 D，点 P是直线 l上的一个点(不与点 D 重合)，连结AP，CP.记BC=m，AP+PC=n，则m与n的大小关系判断正确的是(　　) A．m>n B．m=n C．m<n D．无法比较 【答案】C 【解析】如图，连结 BP.因为直线l是线段 AB 的垂直平分线，所以 AP = BP，所以 AP+CP =BP+CP. 因为BP+CP>BC，BC=m，AP+PC =n，所以n>m，即m<n，故答案为： C. 二．填空题（共30分） 11.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是　　　　.  【答案】 12 【解析】∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=12. 12.如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  【答案】 3 【解析】　∵AB=AD,CB=CD,∴AC所在直线是线段BD的垂直平分线,∴OD=BD=×6=3 cm. 13.如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为________. 【答案】20° 【解析】∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是________. 【答案】4对 【解析】△ODC≌△ODB，△AOC≌△AOB，△ADC≌△ADB，△AOE≌△COE，共4对． 15.如图,在△ABE中,AD⊥BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若△ABC的周长为22,DE=_____. 【答案】11 【解析】　∵BD=DC,AD⊥BE,∴AD所在直线是BC的垂直平分线,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∵△ABC的周长是22,∴AC+AB+BD+CD=22,∴AC+CD=11, ∴DE=CD+CE=CD+AC=11. 16. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为________. 【答案】5 【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5∴PA=PB， 即PB=5. 17．如图已知，的垂直平分线交于点D，则 度． 【答案】30 【解析】∵，∴．∵是的垂直平分线， ∴，∴，∴．故答案为：30 18．已知△ABC中，，的垂直平分线交于E，交所在直线于P，若，则 ． 【答案】或 【解析】①如图1∵是的垂直平分线，∴，∴，，∴，∵，∴ ②如图2，∵是的垂直平分线，∴，∴，，∴，∴，∵，∴故答案为：或 19．如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 【答案】4 【解析】∵垂直平分，∴，∵，∴，故答案为：4 20．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】11 【解析】连接，，∵△ABC是等腰三角形，点D是边的中点，∴，∴，解得，∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，，∴，∴的长为的最小值，∴△CDF的周长最小值． 故答案为：11 三．解答题（共60分） 21.（2025八上·滨海期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段AB的垂直平分线，并简要说明作图方法（不要求证明） 解：如图，连接格点EF，交AB于点D，则点D为AB的中点，再找到格点C，使得AC=BC，然后作直线CD，则CD即为所求作， 22．（2026八上·惠州期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（只保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，若△ABC的周长为24cm，BD=5cm，则△AEC的周长为_______ cm． 解：（1）如图，直线DE即为所求： （2）连接CE，∵DE是边BC的垂直平分线，BD=5cm，∴BE=CE，CD=BD=5cm，∵△ABC的周长为24cm，∴AC+AB=24-2×5=14cm，∴△AEC的周长为AC+AE+CE=AC+AB=14cm故答案为：14． 23.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G. (1)设△AEG的周长为X,当X=12时,求BC的长. (2)若∠BAC=125°,求∠EAG的度数. 【解析】(1)∵DE是AB的垂直平分线,GF是AC的垂直平分线,∴EB=EA,GA=GC. ∵BC=BE+EG+GC,∴BC=AE+EG+AG=X=12. (2)∵∠BAC=125°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-125°=55°.∵EA=EB,DE=DE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE(HL),∴∠BAE=∠B.∵AG=CG,GF=GF,∴Rt△AGF≌Rt△CGF(HL),∴∠GAC=∠C,∴∠EAG=∠BAC-∠BAE-∠GAC=∠BAC-(∠B+∠C)=125°-55°=70°. 24.如图，在中，，的平分线交于点，过点B作的垂线交于点，交于点。 （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的长。 解：（1）证明：，，又平分，，又在和中，，，，为等腰三角形； （2）如图，连接，平分，垂直平分，，，，，又，，又中，，，，，。 25.如图,BD是△ABC的角平分线. (1)如图1,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,求证:BD所在直线是EF的垂直平分线. (2)如图2,当有一点G从点D向点B运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F,此时(1)中的结论是否成立?请证明. (3)如图3,当点G沿BD方向从点D沿BD的延长线运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC(或其延长线)于点F,此时(1)中的结论是否成立?不需证明. 【解析】(1)证明:∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,∴点D在EF的垂直平分线上. 在Rt△BDE和Rt△BDF中,∵DE=DF,BD=BD,∴Rt△BDE≌Rt△BDF,∴BE=BF,∴点B在EF的垂直平分线上,∴BD所在直线是EF的垂直平分线. (2)成立.证明如下:同(1)可证GE=GF,BE=BF,∴点G,B在EF的垂直平分线上,∴BG所在直线是EF的垂直平分线,即BD所在直线是EF的垂直平分线. (3)成立. 26．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC， BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm； （2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm； （3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线,若AB,AC两边的垂直平分线相交于点O,当顶点A的位置移动时,点O在 (　　) A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧 【答案】A 【解析】 由题意可知,点O为△ABC各边垂直平分线的交点,因为MN为△ABC的边BC的垂直平分线,所以无论点A如何移动,点O一定在直线MN上.故选A. 2.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,可知超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处.故选D. 3.如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，则∠ADC的度数为(　　) A．45° B．60° C．80° D．100° 【答案】B 【解析】在四边形AECF中，∠ECF＝360°－∠AFC－∠AEC－∠EAF.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝80°，∴∠ECF＝100°.在△BCD中，∠CDB＝180°－∠CBD－∠BCD＝50°.如图，连接AC，则AD＝AC＝AB，∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝2∠CAF＋2∠CAE＝2∠EAF＝160°. ∴∠ADB＝10°.∴∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝50°＋10°＝60°. 4. 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　 ） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=CE．故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD． 因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°．故选：D． 5. 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】D 【解析】甲：虽然CP=AP，但∠A≠∠ACP，即∠A≠∠ACD．甲不正确；乙∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．乙正确，故选D． 6.如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（     ）。 A. B． C． D． 【答案】C 【解析】∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，∴直线垂直平分线段AB，∴，∵，，∴，∴，∴，故选：C。 7.如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（    ）。 A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小。 【答案】A 【解析】如图：连接，∵的垂直平分线交于点，∴，∵的周长为，为定值，∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可，∵，∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小，故选A。 8.如图，中，点在上，点在上，为的中垂线。若，且，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】为的中垂线，，，，，，，，，，，，故选：B。 9.如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，。若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（  ）。 A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【解析】作于点，连接，如图所示：垂直平分，，，点、分别为线段、线段上的动点，，则的最小值为，等腰三角形的底边长为2，面积为5，，，的最小值为5，故选：C。 10.如图，中，，点D为中点，且的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则=（   ）。 A．108° B．126° C．144° D．无法确定 【答案】A 【解析】如图，连接、，∵，为的平分线，∴ 又∵，∴ ， ∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∵为的平分线，，∴，∴，∴点O在的垂直平分线上，又∵是的垂直平分线，∴点O是的外心，∴，∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，∴，∴，在中，，故答案为：A。 二．填空题（共30分） 11.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是________. 【答案】6　　 【解析】∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴EB=EA=4,∴BC=EB+EC=4+2=6.故选C. 12.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_________. 【答案】10 【解析】∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C． 13.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 【答案】6 【解析】如图，连接BE．∵AC=9，AE：EC=2：1，∴AE=×9=6，EC=9×=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6．故答案为：6． 14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为___________． 【答案】40° 【解析】∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠BEA=80°．∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC．∵∠BEA=∠C+∠EAC，∴∠C=40°．故答案为：40°． 15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=_______． 【答案】48° 【解析】∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣60°﹣48°=72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC=24°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，故答案为：48°． 16．如图，在△ABC中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则△ABC的周长为 （用、表示）． 【答案】 【解析】∵的垂直平分线交边于点，交边于点∴，∴，∴，∵，， ∴，∴，∴，∴，∴△ABC的周长为故答案为： 17．在△ABC中，，的中垂线与所在直线相交所得的锐角为，则底角等于 ． 【答案】或 【解析】如图1，∵是的中垂线，∴，∵，∵，∵，∴，∴； 如图2，∵是的中垂线，，∴，∵， ，∴等于或．故答案为：或 18．如图，在△ABC中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为 ． 【答案】24 【解析】垂直平分，，，，，，，， 的周长故答案为：24 19．在△ABC中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则 ． 【答案】50或 【解析】如图1，，垂直平分，，， ，，； 如图2，，垂直平分，，， ，，， 当垂直平分线与线段交于点，，垂直平分 ，， ， 中不符合三角形的内角和定理，不符合题意，∴当垂直平分线与线段交于点，此种情况不存在，综上，或。故答案为：50或 20．如图，在△ABC中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是 ． 【答案】 【解析】如图所示，连接，∵，∴， ，∵O是三边垂直平分线的交点，∴，，∴，，∵，，∴ ∴，即，∴， ∵在中，I是三角形三条角平分线的交点∴平分平分， ∴，∠，∴， ∴，故答案为： 三．解答题（共60分） 21.如图，计划在某小区道路上建一个智能垃圾分类投放点，使得道路附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点的距离相等。 （1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； （2）得到的依据：______________________________________。 解：（1）如图，点即为所求；    （2）垂直平分线段，（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）。 22．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． (1)求证：BE＝AC； (2)若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 解：(1)证明：连接AE，∵AD⊥BC，且D为CE的中点，∴AD垂直平分CE，∴AC＝AE.又∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC (2)∵AE＝BE，∠B＝35°，∴∠BAE＝∠B＝35°.又∵AC＝AE，∴∠C＝∠AEC＝∠B＋∠BAE＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75° 23.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M. （1）若∠A＝40°，则∠NMB为　 　. （2）若将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，则∠NMB的度数为　°　. （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由. 解：（1）20°（2）35 （3）规律：∠NMB＝∠A. 理由：因为在△ABC中，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠A）.因为AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，所以MN⊥AB，所以∠NMB＝90°－∠ABC＝∠A. 24. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D. （1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数； （2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数； （3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数. 解：（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，∴∠ADC=70°，∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，答：∠B的度数是35°； （2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，∴∠B=40°，∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=40°，∴∠CAD=10°； （3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，则x+2x+2x=90°，解得x=18，则∠CAB=54°． 25. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. 解：（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4； （2）∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B， ∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°； （3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B， ∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案：2α-180°． 26.如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点。 （1）当时， ①若，则点到的距离是多少； ②若，，求的周长； （2）若，且的面积为40，求周长的最小值。 解：（1）①∵，是的中点，∴处垂直平分，连接，∵，∴，，三点共线，即平分，∵，∴到的距离为1；②由题可知，∵，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∴周长为18； （2） ∵，∴，∵垂直平分，连接，∴，即，∵，∴，即只需求出长可，∵，∴=10，∴周长的最小值为。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第四节线段垂直平分线与角平分线（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解线段垂直平分线的定义，区分性质定理与判定定理，能准确写出几何符号语言；理解线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合，建立几何概念抽象思维。 2.会利用全等三角形证明线段垂直平分线性质与判定；能综合运用定理完成几何推理证明，会解决三角形三边垂直平分线交点相关推理问题，提升演绎推理能力。 3.借助线段垂直平分线性质求解线段长度、三角形周长，结合图形进行线段等量代换，熟练完成几何计算。 4.掌握尺规作线段垂直平分线的操作；能解决生活中选址、找等距点的实际问题；体会轴对称思想，养成数形结合、严谨书写推理步骤的习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.线段垂直平分线的定义、尺规作图方法。 2.线段垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；会用符号语言书写，用于证明线段相等。 3.线段垂直平分线判定定理（逆定理）：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，用于判定点在垂直平分线上。 4.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点距离相等。 5.利用性质定理求三角形周长、线段长度的题型。 （二）难点 1.分清性质定理和判定定理的条件与结论，避免用反；区分 “ 点在垂直平分线上 ” 和 “ 点到两端距离相等 ” 的逻辑关系。 2.综合题中辅助线添加：遇到垂直平分线，连接点到线段两个端点构造相等线段。 3.证明一条直线是线段的垂直平分线：需要证明两个点都满足到线段两端距离相等，不能只证明一个点。 4.三角形垂直平分线交点的综合计算（角度、周长）。 )三．知识清单 ( （一）线段垂直平分线定义 1.定义： 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。例如，对于线段AB，直线 l 过AB中点 O ，且 l ⊥ AB ，那么直线 l 就是线段AB的垂直平分线。 2.   几何语言表述 若l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，则有：AO= OB，且l ⊥ AB 。 3.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （二）线段垂直平分线的性质定理 【 探究 】 在一张纸片上画线段AB,折叠纸片,使两个端点A与B重合,展开纸片. (1)指出折痕与线段AB的关系; ) ( (2)结合(1)回答下列问题:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 已知:如图所示,l是线段AB的垂直平分线,垂足为D,P为直线l上一点. 求证:PA=PB. 1.内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 2.几何符号语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线l上， ∴ PA=PB。 3. 用途：证明两条线段相等；遇到垂直平分线，优先连接点到线段两端，得到相等线段。 4.拓展： 线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离还相等吗?为什么? （三） 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 如果把 “ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ” 的条件与结论互换,我们得到: “ 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ” .请分析这个结论是否正确.(画出图形,写出已知、求证和证明) ) ( 1.内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.几何符号语言： ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 3.重要提醒： （1）判定一条直线是线段的垂直平分线：只一个点满足PA=PB不够，需要找到两个不同的点都满足到线段两端距离相等，两点确定一条直线，才能说明这条直线是垂直平分线。 （2）线段垂直平分线可以看作是所有到线段两端距离相等的点的集合。 （四） 线段垂直平分线的 画法 ： 1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2. 尺规作线段的垂直平分线 (1)分别以点 A,B 为圆心, 大于 AB 为半径画弧,两弧相交于点C,D;   (2)过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. （五）三角形三边垂直平分线性质 1. 三角形三条边的垂直平分线相交于同一个点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。 锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 2.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。 ABC中，AB、BC、AC三边垂直平分线交于点O，则OA=OB=OC。 ) ( （六）高频题型模型 1.周长模型：垂直平分线交三角形一边，得到相等线段，实现线段代换求周长。 如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,若AC=9 cm,△ABE的周长为16 cm,求AB的长. 2.选址模型：找一点到两个定点距离相等，该点在两点连线的垂直平分线上。 如图所示 ，A，B，C 是新建的三个居民小区 . 现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校 ， 试确定学校的位置 . （七）易错分析 易错点1：混淆性质定理和判定定理，条件结论颠倒 错误：看到PA=PB，直接写 “ 点P在垂直平分线上，所以PA=PB ” 。 纠正： 性质：点在垂直平分线上 → PA=PB（已知垂直平分线，推线段相等） 判定：PA=PB → 点在垂直平分线上（已知线段相等，推点的位置）。 易错点2：证明直线是线段垂直平分线，只找一个满足条件的点 错误：PA=PB，就得出直线PC是AB垂直平分线。 纠正：两点确定一条直线，必须找到两个不同的点都满足到线段两端距离相等，才能判定直线为垂直平分线。 易错点3：把垂直平分线当成线段 错误： “ 线段MN是AB的垂直平分线 ” 。 纠正：垂直平分线是直线，不是线段。 易错点4：使用性质定理忽略前提条件 错误：只要点P在直线上，就直接得到PA=PB。 纠正：必须确认这条直线是线段的垂直平分线（既垂直、又平分线段），才可以得到PA=PB。 易错点5：三角形垂直平分线交点理解错误 错误：三角形三边垂直平分线交点到三边距离相等。 纠正：到三个顶点距离相等；到三边距离相等的是角平分线交点（内心），注意区分。 易错点6：尺规作图半径错误 错误：画弧半径小于等于 AB。 纠正：半径必须大于 AB，保证两弧相交得到两个交点。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1. 如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若线段，则线段的长为（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．2 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ）。 A.中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 3.如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　）。 A．11 B．10 C．9 D．8 4.在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么此锐角等于（   ）。 A． B． C． D． 5.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 6.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　） A．40° B．44° C．48° D．52° 7.如图，在△ABC中，AB=8,BC=7,AC=4，直线m是△ABC中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则△APC周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 8.如图，△ABC中，AC=8,BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　） A．13 B．14 C．18 D．21 9．如图，已知 △ABC(AC<BC)用尺规在 BC 上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是(　　) A． B． C．D． 10．如图，直线l 是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A 在直线l的同一侧，连结 BC，交直线l于点 D，点 P是直线 l上的一个点(不与点 D 重合)，连结AP，CP.记BC=m，AP+PC=n，则m与n的大小关系判断正确的是(　　) A.m>n B．m=n C．m<n D．无法比较 二．填空题（共30分） 11.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是　　　　.  12.如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  13.如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为________. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是________. 15.如图,在△ABE中,AD⊥BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若△ABC的周长为22,DE=_____. 16. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为________. 17．如图已知，的垂直平分线交于点D，则 度． 18．已知△ABC中，，的垂直平分线交于E，交所在直线于P，若，则 ． 19．如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 20．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 三．解答题（共60分） 21.（2025八上·滨海期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段AB的垂直平分线，并简要说明作图方法（不要求证明） 22．（2026八上·惠州期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（只保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，若△ABC的周长为24cm，BD=5cm，则△AEC的周长为_______ cm． 23.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G. (1)设△AEG的周长为X,当X=12时,求BC的长. (2)若∠BAC=125°,求∠EAG的度数. 24.如图，在中，，的平分线交于点，过点B作的垂线交于点，交于点。 （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的长。 25.如图,BD是△ABC的角平分线. (1)如图1,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,求证:BD所在直线是EF的垂直平分线. (2)如图2,当有一点G从点D向点B运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F,此时(1)中的结论是否成立?请证明. (3)如图3,当点G沿BD方向从点D沿BD的延长线运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC(或其延长线)于点F,此时(1)中的结论是否成立?不需证明. 26．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线,若AB,AC两边的垂直平分线相交于点O,当顶点A的位置移动时,点O在 (　　) A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧 2.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 3.如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，则∠ADC的度数为(　　) A．45° B．60° C．80° D．100° 4. 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　 ） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 5. 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 6.如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（     ）。 A. B． C． D． 7.如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（    ）。 A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小。 8.如图，中，点在上，点在上，为的中垂线。若，且，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　）。 A．， B．， C．， D．， 9.如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，。若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（  ）。 A．2 B．3 C．5 D．10 10.如图，中，，点D为中点，且的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则=（   ）。 A．108° B．126° C．144° D．无法确定 二．填空题（共30分） 11.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是________. 12.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_________. 13.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为___________． 15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=_______． 16．如图，在△ABC中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则△ABC的周长为 （用、表示）． 17．在△ABC中，，的中垂线与所在直线相交所得的锐角为，则底角等于 ． 18．如图，在△ABC中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为 ． 19．在△ABC中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则 ． 20．如图，在△ABC中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是 ． 三．解答题（共60分） 21.如图，计划在某小区道路上建一个智能垃圾分类投放点，使得道路附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点的距离相等。 （1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； （2）得到的依据：______________________________________。 22．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． (1)求证：BE＝AC； (2)若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 23.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M. （1）若∠A＝40°，则∠NMB为　 　. （2）若将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，则∠NMB的度数为　°　. （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由. 24. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D. （1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数； （2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数； （3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数. 25. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. 26.如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点。 （1）当时， ①若，则点到的距离是多少； ②若，，求的周长； （2）若，且的面积为40，求周长的最小值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $