专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线四类综合题型，以解题通法为纲，题型归纳为目，通过“性质-判定-综合应用”递进逻辑，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|垂直平分线连两端点构造等腰，角平分线作双垂线证等距，明确判定逆用条件|从性质到判定，区分“到两端点等距”与“到两边等距”本质差异| |题型归纳|4题型（每题型1典例+3变式）|性质求解列方程，性质判定综合证全等，角平分线性质作垂线求距离|按“单一性质应用→性质与判定综合”分层，结合全等、对称知识链| |压轴挑战|14题（选择3+填空3+解答8）|综合运用性质判定解决周长、面积及动态最值问题|从基础应用到复杂情境，提升空间观念与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 题型三、根据角平分线的性质定理求解 题型四、角平分线的性质和判定综合 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结 合全等、对称或求周长角度。 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等 或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 -易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象：角平分线作 垂线时误作斜线：角平分线判定中未说明点在角的内部：作图题遗漏作图痕迹说明。 同题型归纳一精讲夹型题法，奔失解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 典例1(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线EF分别交边AC,BC 于点E,F,AD是线段BF的垂直平分线，若△ABC的周长为38，AE=7,则CD的长为 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式1-1(25-26七年级下河北张家口期末)如图，△ABC的边BC的长为3cm,面积为l2cm2,AB边的 垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一个动点，则BM+DM的最小值 为 cm E B D 变式1-2(25-26七年级下辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC,1是AC边的中垂线，点E是 直线I上动点.点F是直线AB上动点，当AB=5,AD=3,BC=I1时，则AE+EF的最小值为 B 变式1-3(25-26七年级下四川达州期末)如图，在△ABC中，D为AB中点， E+∠BCE=180°，EF⊥BCBC。AC=3.2.l BF ,则的长为一· 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例2(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB 交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (I)证明：AD垂直平分EF: (②)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式2-1(25-26八年级下广东佛山期中)如图，射线OC在∠AOB内，点P为射线OC上一点，过点P作 PE⊥OA,PF⊥OB,且OE=OF (I)求证：OC是∠AOB的平分线： 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接EF,求证：EF⊥OC, 变式2-2(25-26八年级下·广东佛山阶段检测)如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC 于点D,E,连接BD. (1I)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为 (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平 分线上，并说明理由. 变式2-3(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨期中)定义：如图1，四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC, ∠B=∠D=90°，则称四边形ABCD为直角筝形. 图1 图2 备用图 (1)连接对角线AC、BD交于点O,得到图2，请证明：AC垂直平分BD: (2)在图2中，若∠BCD=70°，点E在射线CB上（不与点B重合），点F是平面内一点，以C、D、E、 F为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的∠ECF的度数. 题型三、根据角平分线的性质定理求解 典例3 (25-26七年级下·辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分 别交AC、AB于点MN,再分别以MN为圆心，以大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 AP交边BC于点D,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AB=8,△ABC的面积为13，则AC的长为 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式 求解。 变式3-1(25-26八年级下广东佛山期末)如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于 点F.若AB=6,BC=4,△ABC的面积为8，则△ABF的面积为 D 变式3-2(25-26七年级下·甘肃酒泉·期末)如图，在△ABC中，AC=6,△ABC的面积为12，AD平分 ∠BAC交BC于D,M,N分别是AD和AB上的动点，连接MN,BM,则BM+MN的最小值为 D 变式3-3(25-26七年级下陕西汉中·期末)如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是 △ABD的中线，动点G在BC边上，连接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 5/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F G 题型四、角平分线的性质和判定综合 典例4(25-26八年级下·山西运城期末)如图，已知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP 于点O,OB垂直平分PN,交MN于点F,交PN于点R,连接OP N R B (I)连接PE,PF,若MN=12,求△PEF的周长； (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上)进行证明。 2方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式41(25-26八年级下山东青岛期中)已知，如图所示，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, BE=CF.BD=CD D B (I)求证：DE=DF: (2)求证：AD平分∠BAC 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式42(25-26八年级下·陕西渭南阶段检测)如图，在△ADF中，∠F=90°，点B、C分别在边AF、 DF上，连接AC、BC,CB=CD,∠D+∠ABC=18O°，在边AD上截取DE=BF,连接CE. (1)求证：AC平分∠DAB: (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. 变式43(2425八年级上江西吉安期中)解答下列各题 ()【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,求证： 点P在∠AOB的平分线上： E 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F, BE=FC 图2 ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. ◆◆ 同夙压轴桃战一支克离障压轴，突破思维上保 一、单选题 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上吉林长春期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AD是△ABC的角平分线， DE1AB于点E,若BD=6,则DE的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26八年级上湖北黄石期末)如图，△ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于 点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为() D A.10 B.11 C.12 D.13 3.(25-26八年级上：山东德州月考)如图，△ABC的外角∠ACN,∠MAC的平分线CD、AD交于点 D,DE L AB于E,DF⊥BC于F,点P在BN上，∠ADP+∠ABC=18O°，则下列结论中错误的是() M D A. BD平分∠ABC B S.DAB S.DBC AB:BC C.若∠BDC=31°，则∠DAM=49° D.BP-2AE=AB 二、填空题 4.(25-26八年级上·重庆江津期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长度为半 径画弧，分别交4C,AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧交 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点p,作射线P交边BC于点D,若CD=,4B=1O,则AMBD的面积 5.(25-26八年级上福建厦门期末)如图，在△ABC中，AB=BC,4C=4cm,S4c=8cm,边BC 的垂直平分线为I,点D是边AC的中点，点P是I上的动点，则△PCD的周长的最小值是 6.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BE平分∠ABC」 AE=3,CD⊥BE,与BE的延长线交于点D,连接AD,F为BC边上一点，连接EF,则以下结论： ①∠ACD=∠CBD;②∠ADC+∠ADE=180°；③EF的最小值为3；④BE=2CD,其中所有正确结论的序号 是： 三、解答题 7.(25-26八年级上全国期末)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线EF交BC于点E,交AC于点F, AD L BC于点D,连接AE,且AB=CE. D (I)求证：DE=DB; 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠BAD=18°，求∠C的度数. 8.(25-26八年级上·重庆万州期末)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于 点D,射线BD交AC的延长线于点N,连接CD, B (1)若AB=14,BC=8,CN=12,△BCN的面积为20，求△ABD的面积： (2)若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数. 9.(25-26八年级上云南昆明期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD,EF垂直 平分AC交AB于点E,交AD于点O,交AC于点F,连接OB,OC. (I)若∠CAD=20°，求LBEF的度数； (2)求证：△AOB是等腰三角形. 10.(25-26八年级上·河北衡水期中)如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于点 D,E,连接BD (I)若BD⊥AC,求∠DBC的度数： (2)若△ABD的周长是19，AC=10,求AB的长： (3)在线段DE上有一点P,其恰好也在边AC的垂直平分线上，求证：点P在边AB的垂直平分线上. 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26八年级上：福建厦门期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D在AC的右侧且满足 BC=BD,∠DBC=B,连接AD,CD,其中2a+B=180°. 备用图 (1)求证：∠BAC=∠BDC: (②)如备用图，延长CD至点M,使得CM=BC. 求证：①AD平分∠BDM: ②点M在线段BA的延长线上. 12.(24-25八年级上：河北邯郸期末)(1)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC于F.求证：AE=AF: (2)如图2，在(I)的情况下，如果∠MDN=∠EDF,∠MDN的两边分别与AB,AC相交于M,N两点， 其他条件不变，请探究AM,AW,AF三条线段的等量关系.并加以证明： (3)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,∠MDN=-120°， ND∥AB,求四边形AMDN的周长. E E M B B B D D D 图1 图2 图3 13.(25-26八年级上：广西南宁月考)如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB, BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF与直线MN交于点P,已知 △AFN的周长为l3cm 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M B N P (I)求线段BC的长： (2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上： (3)①已知∠FAW=52°，则∠FPN的度数为： ②若∠FAN=&,则∠FPN=. (用含a的式子表示) 14.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨月考)如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD. D 图1 图2 图3 (I)求证：AC平分∠BAD: (2)E在AB边上，连接DE,若∠AED=2∠ACD,求证：BE=DE: 3)在(2)的条件下，∠BAD=60°；DF L AC交CE于F,G在AD边上，DG=DF,GK∥BC交AC 于K,过F作FH⊥BC于H,若CF-KG=6,BH=9,求线段CH的长 12/12 专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 题型三、根据角平分线的性质定理求解 题型四、角平分线的性质和判定综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结合全等、对称或求周长/角度。 - 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 - 易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象；角平分线作垂线时误作斜线；角平分线判定中未说明点在角的内部；作图题遗漏作图痕迹说明。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 典例1 （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2.方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式1-1（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 变式1-2（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 变式1-3（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例2 （25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2.方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式2-1（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 变式2-2（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）略 变式2-3（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如图1，四边形中，，，，则称四边形为直角筝形． (1)连接对角线、交于点，得到图2，请证明：垂直平分； (2)在图2中，若，点在射线上（不与点重合），点是平面内一点，以、、、为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的的度数． 【答案】(1)证明：， ∴点在的垂直平分线上； ， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． (2)，，， 【分析】（1）考查中垂线的定义；（2）关键点在于对点位置的分类讨论，分四种情况选取不同的直角顶点：①点在线段的延长线上，是直角顶点；②点在线段的延长线上，是直角顶点；③点在线段上，是直角顶点；④点在线段上，是直角顶点. 【详解】（1）略 （2）共有四种可能的情形， ①当点在线段的延长线上，如图， 此时 ， 故 ； ②当点在线段的延长线上，如图， 此时 ③当点在线段上，如图， 此时 ,平分， ④当点在线段上，如图， 此时 ， 故. 题型三、根据角平分线的性质定理求解 典例3 （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2.方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式求解。 变式3-1（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 变式3-2（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 变式3-3（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 题型四、角平分线的性质和判定综合 典例4 （25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上）进行证明。 2.方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式4-1（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 变式4-2（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． (2) 【分析】（1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：在和中，，， ． ． ． 变式4-3（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； (2) ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 先利用角平分线的性质确定，再通过线段长度计算，进而得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，（），， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，进而等量代换求解的周长即可． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为 ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C．若，则 D． 【答案】C 【分析】过点作于，由角平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可得到平分，进而判断A；由结合三角形面积即可判断B；由角平分线的定义得到，，然后结合三角形外角的性质得到，然后由平分即可得到，即可判断C；证明出，得到，证明出，得到，然后等量代换即可判断D． 【详解】解：A．过点作于， ∵平分，， ∴， 又平分，，， ∴， ∴， 又，， ∴平分，故A正确； B．由①知， ，故B正确； C．∵平分平分， ∴，， ∴ ∴ ∵平分， ∴，故C错误； D．∵， ∴ ， ， 又∵，， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为，点是边的中点，点是上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接、，由线段垂直平分线的性质可得，则的周长，故当、、在同一直线上时，的周长最小，为，由等腰三角形的性质可得，，再根据三角形面积公式求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵边的垂直平分线为，点是上的动点， ∴， ∴的周长， ∴当、、在同一直线上时，的周长最小，为， ∵，点是边的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是： ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质等知识． 延长、交于点，可证明，得，推导出，则，；根据垂线段最短结合角平分线的性质求得的最小值为3；作于点，于点，利用全等三角形的性质求得，推出平分，即可判断②说法正确． 【详解】（1）解：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，①说法正确； ，④说法正确； 当时，有最小值， ∵，平分，， ∴， ∴的最小值为3，③说法正确； 作于点，于点， ∵， ∴， ∴平分， ∴，②说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 三、解答题 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，于点D，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质得到，得出，根据三线合一可知； （2）由（1）可知，，，根据等边对等角得到，，求出，根据三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ， 又∵， ； （2）解：由（1）可知，，， ，， ，， ， ， ． 8．（25-26八年级上·重庆万州·期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）过D作于E，过D作于F，过D作于G，由角平分线的性质定理得出，再结合计算得出，即可得出结果； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：过D作于E，过D作于F，过D作于G， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D为中点，连接，垂直平分交于点E，交于点O，交于点F，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)； (2)见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； （2）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，D为中点，， ∴平分， ∴， ∴； （2）证明∵，D为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴是等腰三角形 10．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)9 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为19，即，进而求得的长； （3）由线段垂直平分线的性质得、，即，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中,，点D在的右侧且满足，连接，其中． (1)求证：； (2)如备用图，延长至点M，使得． 求证：①平分； ②点M在线段的延长线上． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明，解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量关系证明共线． （1）利用等腰的内角和求出，结合已知，证得； （2）①作角两边的垂线，证得到距离相等，判定平分； ②证，结合角的和为，证明点M在的延长线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图1，过点A作，垂足分别为H，K， ∴， 在中，， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； ②如图2，连接，设与交于点G， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由（1）知，且平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴A，M，B三点共线． ∴点M在线段的延长线上． 12．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在中，平分交于，于，于．求证：； （2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与相交于两点，其他条件不变，请探究三条线段的等量关系．并加以证明； （3）如图3，在中，，平分交于，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）由角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由（1）可知，，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，利用等角对等角，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，从而求出，，同（1）理可证，，同（2）理可证明，得到，，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 同（1）理可证，， ，， ， 同（2）理可证明， ，， ， 四边形的周长． 13．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点，已知的周长为． (1)求线段的长； (2)求证：点在线段的垂直平分线上； (3)①已知，则的度数为______； ②若，则______．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． （1）先根据相等垂直平分线的性质得，，再根据即可得出答案； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （3）①先根据相等垂直平分线的性质证明，，，进而得，．由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解； ②用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴； （2）证明：如图，连接，，． ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （3）解：①∵ ，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长，过点C作，，证，得到，即可得到平分． （2）延长至点N，连接，通过角度转化，得到，由得到，则，得到． （3）连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，，先证是等边三角形，得到，证，得到，，再证，得到，再证，得到 ，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，过点C作，， ， ， 又， ， ， 平分． （2）如图，延长至点N，连接， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图，连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，， 由（1）可知，由（2）可知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，解得， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $