第二十五章一元二次方程单元练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级一元二次方程单元卷，覆盖方程解法、根与系数关系、实际应用等核心知识，通过基础题与综合题结合，考查运算能力、模型意识及创新应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方程解法、根与系数关系、判别式、实际应用（矩形窗框、新能源汽车降价）|基础巩固，情境贴近生活| |填空题|6/24|直接开平方法、方程的根、增长率、判别式、代数式求值、函数零点|知识细节考查，梯度合理| |解答题|9/86|解方程、根与系数关系应用、几何运动问题（矩形截正方形、动点面积）、利润问题、跨学科任务驱动（自行车销售方案设计）|综合应用，体现数学建模与创新意识，契合核心素养中运算能力与模型观念|

人教版九年级第二十五章一元二次方程单元检测二 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解是  (    ) A. B. C. ， D. ， 2.若一元二次方程的两个根是，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 3.方程的两根和是，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 6.关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是  (    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7.用米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为平方米．若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为(    ) A. B. C. D. 8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份的售价为万元，月份的售价为万元．设该款汽车从月份到月份售价的月均下降率是，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，，求的长．设的长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．设道路的宽为，根据题意，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一元二次方程的根是          ． 12.若是一元二次方程的一个根，则的值为      ． 13.某企业五月份的利润是万元，预计七月份利润将增加万元，则六、七月份的平均增长率是          ． 14.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 15.已知，则的值是        ． 16.根据下表对应值，判断方程的一个解为          ． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分用适当的方法解下列方程： ． ．   18.本小题分 已知关于的方程的一个根为，求它的另一个根及的值． 19.本小题分 已知关于的方程有两实数根． 求的取值范围； 设方程两实数根分别为、，且，求实数的值． 20.本小题分 在长为、宽为的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形图中阴影部分面积是原矩形面积的，求所截去小正方形的边长． 21.本小题分 将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． 要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 22.本小题分 某商店销售一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为元，求每天的销售利润； 如果每天销售这款工艺品盈利元，那么每件工艺品的售价为多少元？ 23.本小题分 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材一 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是元辆，网上和实体店售价均为元辆． 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价元辆与销售量辆之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月辆，销售价每降低元，网上销售量平均每月多售出辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少辆． 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求实体店销售该品牌自行车的月销售量辆关于销售单价元辆的函数解析式； 任务二 计算所获利润 当该品牌自行车的网上售价为元辆时，求小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别是多少？ 任务三 拟定价格方案 若使小明在实体店销售该品牌自行车获得万元的销售利润且让利于顾客，则该自行车的销售单价应定为多少元？ 24.本小题分 已知：如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速运动，同时点从点开始沿边向点以的速度匀速运动当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为           后，的面积为； 几秒后，的长度为？ 的面积能否为？请说明理由． 25.本小题分 阅读材料： 材料：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 应用：一元二次方程的两个实数根为，，则           ，           ； 类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； 提升：已知实数，满足，且，求的值． 人教版九年级第二十五章一元二次方程单元检测二参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解是  (    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  【解析】略 2.若一元二次方程的两个根是，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 3.方程的两根和是，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，则求解可得到． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：． 4.用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：原方程移项得， 配方：， 即，故． 故选：． 通过移项、配方将方程化为完全平方式． 本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且． 故选：． 根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 6.关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是  (    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C  【解析】略 7.用米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为平方米．若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】一边长为米，则另外一边长为：，根据它的面积为平方米，即可列出方程式． 【详解】解：一边长为米，则另外一边长为：， 由题意得：， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式． 8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份的售价为万元，月份的售价为万元．设该款汽车从月份到月份售价的月均下降率是，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 9.如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，，求的长．设的长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 10.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．设道路的宽为，根据题意，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一元二次方程的根是          ． 【答案】，  【解析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： ，， 故答案为：，． 12.若是一元二次方程的一个根，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：若是一元二次方程的一个根， 则， 解得：， 故答案为：． 将已知解代入一元二次方程中解得的值即可． 本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 13.某企业五月份的利润是万元，预计七月份利润将增加万元，则六、七月份的平均增长率是          ． 【答案】  【解析】【分析】一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设这个增长率为，根据“五月份的利润是万元，预计七月份的利润将达到万元”，即可得出方程． 【详解】设这个增长率为， 根据题意可得：， 解得：，不合题意舍去 故答案为 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 14.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】略 15.已知，则的值是        ． 【答案】  【解析】解：根据题意可知，， 原式 ． 故答案为：． 由条件可得，把化为，再代入计算即可． 本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 16.根据下表对应值，判断方程的一个解为          ． 【答案】  【解析】略 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分用适当的方法解下列方程： ． ． 【答案】(1)解：(x+5)2＝121，∴x+5＝11或x+5＝-11．∴x1＝6，x2＝-16．  (2)(3x+1)(3x+1+1)＝0．∴3x+1＝0或3x+2＝0．∴，．  【解析】 略 略 18.本小题分 已知关于的方程的一个根为，求它的另一个根及的值． 【答案】解：根据题意，得， 解得， 设另一个根为， 则， 解得， 另一个根为， 它的另一个根为，．  【解析】将代入方程，即可求出的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个根． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19.本小题分 已知关于的方程有两实数根． 求的取值范围； 设方程两实数根分别为、，且，求实数的值． 【答案】(1)解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． (2)由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【解析】 根据方程有两个实数根得出，解之可得．  利用根与系数的关系可用表示出和的值，根据条件可得到关于的方程，可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍． 20.本小题分 在长为、宽为的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形图中阴影部分面积是原矩形面积的，求所截去小正方形的边长． 【答案】解：设截去小正方形的边长为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：截去小正方形的边长为．  【解析】设截去小正方形的边长为，根据正方形的面积公式及截去个正方形的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.本小题分 将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． 要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 【答案】解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得， 整理得：， ， 解方程得，， ，； 或，． 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是、； 两个正方形的面积之和不可能等于理由： 设两个正方形的面积和为，则 ， ， 当时，的最小值， 两个正方形的面积之和不可能等于； 另解：由可知， 化简后得， ， 方程无实数解； 所以两个正方形的面积之和不可能等于．  【解析】这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据“两个正方形的面积之和等于”作为相等关系列方程，解方程即可求解； 设两个正方形的面积和为，可得二次函数，利用二次函数的最值的求法可求得的最小值是，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于． 此题考查了一元二次方程的应用，等量关系是：两个正方形的面积之和或读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 22.本小题分 某商店销售一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为元，求每天的销售利润； 如果每天销售这款工艺品盈利元，那么每件工艺品的售价为多少元？ 【答案】(1)解：（元）. 答：每天的销售利润为1050元. (2)设每件工艺品的售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意，得， 整理，得，解得，（不合题意，舍去）. 答：每件工艺品的售价为50元. 【解析】 略 略 23.本小题分 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材一 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是元辆，网上和实体店售价均为元辆． 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价元辆与销售量辆之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月辆，销售价每降低元，网上销售量平均每月多售出辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少辆． 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求实体店销售该品牌自行车的月销售量辆关于销售单价元辆的函数解析式； 任务二 计算所获利润 当该品牌自行车的网上售价为元辆时，求小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别是多少？ 任务三 拟定价格方案 若使小明在实体店销售该品牌自行车获得万元的销售利润且让利于顾客，则该自行车的销售单价应定为多少元？ 【答案】解：任务一：设关于的函数表达式为，  将点，代入中，得，解得关于的函数表达式为；  任务二：网上销售该品牌自行车的利润为：元万元；  实体店销售该品牌自行车的利润为：元万元；  答：小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别为万元和万元；  任务三：由题意，得，整理，得，  解得，要让利于顾客，  答：该自行车的销售单价应定为元辆．   【解析】略 24.本小题分 已知：如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速运动，同时点从点开始沿边向点以的速度匀速运动当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为           后，的面积为； 几秒后，的长度为？ 的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)1  (2)在中，由勾股定理，得， 即.整理，得， 解得（不合题意，舍去），. 答：2s后，PQ的长度为5cm. (3)不能. 理由：假设的面积为，则由题意，得. 整理，得. ∵， ∴此方程无实数根，∴的面积不能为. 【解析】 解：由题意，得，，． 由，得． 整理，得，解得，． 当时，， 说明此时点越过点，不符合题意，舍去． 后，的面积为故答案为．  略  略 25.本小题分 阅读材料： 材料：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 应用：一元二次方程的两个实数根为，，则           ，           ； 类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； 提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) ;  (2)一元二次方程的两根分别为，，，，  (3)实数，满足，，且，，是一元二次方程的两个实数根，，，  【解析】 略 略 略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $