精品解析：重庆市第八中学校2026－2027学年度第一学期第1次定时作业九年级数学试题

重庆八中初2027届26—27学年度第一学期第1次定时作业 初三数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 6. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 8. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，…，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，…，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共个小题，每小题分，共分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 12. 一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 13. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 14. 已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 15. 如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为______． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．若将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，且． （1）若四位数为“美美数”，其中，则四位数________； （2）规定，若“美美数”满足为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为________． 三．解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）． 18. 化简求值：，其中． 四．解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 牡丹花是中国传统名花之一，以其华丽的姿态，鲜艳的色彩和深厚的文化内涵，被誉为花中之王．某校将牡丹花的种植纳入劳动实践课，学生们在科研人员的指导下参与种植牡丹花，既学习了牡丹花的知识，又锻炼了劳动技能．该校为了了解哪种品种的牡丹花长势更好，从同一期种植的A，B两种牡丹花中各随机测量了10株幼苗的高度x（单位：），并对数据进行整理、描述和分析（共分为四组：欠佳，中等，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10株A种牡丹花幼苗的高度：． 10株B种牡丹花幼苗的高度属于良好的数据是：． 两种牡丹花幼苗生长高度统计表 类型 平均数 中位数 众数 A种牡丹花 a B种牡丹花 8 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）一般情况下同一期种植的牡丹花幼苗高度越高，牡丹花的整体生长状况就越好，试判断A，B两种牡丹花哪一种整体生长状况更好一些，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）若该校这一期共种植了A种牡丹花200株、B种牡丹花300株，请估计在这些牡丹花中，生长高度为良好及以上的牡丹花共有多少株？ 20. 综合与实践 学习了平行四边形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形是平行四边形，是对角线，于点．用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为点，连接、． 【问题提出】 他们猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． （1）前3天应先安排多少多工人生产？ （2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 22. 如图，在矩形中，点E是上定点，连接、，，，，动点M从点D出发沿折线方向运动，动点N从点B同时出发沿方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接，．设运动的时间为x秒，记的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） （1）求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，若点P为第一象限内反比例函数图象上的一点，且满足，点Q为x轴上一动点，连接，当最小时，求出此时点Q的坐标． （3）在第（2）问的条件下，点M为反比例函数图象上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，D为平面内一点． （1）如图1，若，，求的值； （2）如图2，若，F为中点，将绕点F顺时针旋转得，G在上，，求证：； （3）如图3，若，，Q为上一点，，M为直线上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中初2027届26—27学年度第一学期第1次定时作业 初三数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 4. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：A．当时，，所以图象经过点，说法不正确，不合题意； B．反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，符合题意； C．，则图象位于第一、三象限，故说法不正确，不合题意； D．，则图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 7. 如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，由推导出，从而得到，由，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 【详解】解：点E为正方形的边上一点，且， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由可证，可得，列出方程可求解． 【详解】解：如图，连接，设， ， ， 四边形是菱形，的中垂线交对角线于点F， ，，． ， 垂直平分， ． ， . ，，， ． ． ． ． 故选：D． 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，…，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，…，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：当时，则有，然后可得，进而分类进行分析即可；对于②：由均为正整数，可知，然后问题可求解；对于③：设，奇次项系数和为，偶次项系数和为，然后利用特殊值代入进行求解即可． 【详解】解：对于①：当时，， ∴， ∵为正整数，为自然数， ∴， ∴， 当时，，正整数解仅，共1种，对应在时的值为； 当时，，正整数解有，共3种，对应在时的值均为； ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵均为正整数， ∴， 又∵， ∴，解得， ∵为正整数， ∴，共3种可能取值，故②错误； 对于③：设，奇次项系数和为，偶次项系数和为， 当时，， 当时，， 两式相减得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有1个． 二．填空题：（本大题共个小题，每小题分，共分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增长率问题列出一元二次方程即可． 【详解】由题意可得 12. 一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用摸到白球的等可能结果数除以所有等可能结果总数，计算即可． 【详解】解：∵盒子中所有球除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相等，总球数为个，其中白球有个， ∴摸到白球的概率为． 13. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：是方程 的根， ， 即 ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ． 故答案为：. 14. 已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的一般步骤． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作的平行线，交的延长线于点，设， 由平行可判定，则，从而可判断出．由等腰三角形的性质可得，，通过比值计算可得．在直角中，结合正弦函数的定义和勾股定理计算出．最后直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， 在直角中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形相关的计算，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加平行线构造相似三角形是解题关键． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．若将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，且． （1）若四位数为“美美数”，其中，则四位数________； （2）规定，若“美美数”满足为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“美美数”定义得到各数位数字的关系，结合和的定义计算，第一问求解得；第二问推导得为整数，分别找出满足条件的最大和最小，求和即可． 【详解】解：（1）由为“美美数”， 得， ， ， 对调后得，千位为，百位为，十位为，个位为， ， ， ， 解得， 则， ； （2） 对于“美美数”， 得， 即，其中都是到的整数，，， 计算得，， ， 由题意得是整数， 即是的倍数， 要使最大，可以假设最大， 当时，， 要最大，则最小， 当，时， ，不是的倍数，不满足条件， 当，时， ，是的倍数，满足条件， 此时， 最大， 要使最小，可以假设最小， 当时，可得， ，不是的倍数， 不满足； 当时， 要最小，则， ，取， ，是的倍数， 满足条件， 最小，因此最大值与最小值的和为． 三．解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据分式的混合运算法则化简分式，再结合负整数指数幂，零指数幂算出的值，将的值代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 四．解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 牡丹花是中国传统名花之一，以其华丽的姿态，鲜艳的色彩和深厚的文化内涵，被誉为花中之王．某校将牡丹花的种植纳入劳动实践课，学生们在科研人员的指导下参与种植牡丹花，既学习了牡丹花的知识，又锻炼了劳动技能．该校为了了解哪种品种的牡丹花长势更好，从同一期种植的A，B两种牡丹花中各随机测量了10株幼苗的高度x（单位：），并对数据进行整理、描述和分析（共分为四组：欠佳，中等，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10株A种牡丹花幼苗的高度：． 10株B种牡丹花幼苗的高度属于良好的数据是：． 两种牡丹花幼苗生长高度统计表 类型 平均数 中位数 众数 A种牡丹花 a B种牡丹花 8 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）一般情况下同一期种植的牡丹花幼苗高度越高，牡丹花的整体生长状况就越好，试判断A，B两种牡丹花哪一种整体生长状况更好一些，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）若该校这一期共种植了A种牡丹花200株、B种牡丹花300株，请估计在这些牡丹花中，生长高度为良好及以上的牡丹花共有多少株？ 【答案】（1）；；40 （2） B种牡丹花整体生长状况更好一些，理由如下： ∵B种牡丹花幼苗的高度的中位数高于A种牡丹花幼苗的高度， ∴B种牡丹花整体生长状况更好一些． （3）280株 【解析】 【分析】本题主要查了中位数，众数，样本估计总体： （1）根据中位数，众数的定义解答，即可； （2）根据B种牡丹花幼苗的高度的中位数高于A种牡丹花幼苗的高度，解答即可； （3）分别为用200和300乘以生长高度为良好及以上所占的百分比，即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：10株A种牡丹花幼苗的高度为出现的次数最多， ∴； 根据题意得： “欠佳”和“中等”的人数共有， ∵10株B种牡丹花幼苗的高度属于良好的数据是：， ∴中位数； ∵， ∴； 故答案为：；；40 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：株， 即生长高度为良好及以上的牡丹花共有280株． 20. 综合与实践 学习了平行四边形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形是平行四边形，是对角线，于点．用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为点，连接、． 【问题提出】 他们猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，过点作直线的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，， 得到， 再利用垂直的定义得到，接着证明， 所以， 然后根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． （1）前3天应先安排多少多工人生产？ （2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 【答案】（1）前3天应先安排名工人生产 （2）应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设前3天应先安排名工人生产，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，根据题意列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设前3天应先安排名工人生产， 根据题意得， 解得， 答：前3天应先安排名工人生产； 【小问2详解】 解：由题意，总共有名工人生产， 设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件， 根据题意得， 解得， ， 答：应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件． 22. 如图，在矩形中，点E是上定点，连接、，，，，动点M从点D出发沿折线方向运动，动点N从点B同时出发沿方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接，．设运动的时间为x秒，记的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） ：由（1）可得函数图象如图所示： 由图象可知：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小，（合理即可）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数、矩形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，，则有，然后可得函数解析式，进而可分当点M在线段上时，即，当点M在线段上时，即，最后分类求解即可； （2）根据（1）中函数解析式及描点法可得函数图象，进而根据函数图象可进行求解； （3）由（2）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴； 当点M在线段上时，即，此时， ∴； 当点M在线段上时，即，过点M作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，x的取值范围是． 23. 如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） （1）求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】（1） （2）不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【解析】 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； 【小问2详解】 略 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，若点P为第一象限内反比例函数图象上的一点，且满足，点Q为x轴上一动点，连接，当最小时，求出此时点Q的坐标． （3）在第（2）问的条件下，点M为反比例函数图象上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线，可得一次函数的解析式，再把点代入，可求出m的值，即可求解； （2）求出点，根据，可求出点P的纵坐标，即可求解； （3）分两种情况：当点M在第三象限时，当点M在第一象限时，结合等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴点， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为， 设点A关于x轴的对称点D，则点，， ∴， 即当点P，Q，D三点共线时，取得最小值， 设直线得解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线得解析式为， 当时，， 解得：， 即点Q的坐标为； 【小问3详解】 解：当点M在第三象限时，如图，过点C作，交于点E，轴于点C，过点分别作于点G，F，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∴， ∴， 设点E的坐标为， ∴，解得：或5（舍去）， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或； 此时点M的坐标为； 当点M在第一象限时，如图，过点C作交于点L，过点P作轴于点K，过点L作轴于点N，则， 同理， ∴， ∴，即点， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：涉及了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 25. 在中，，，D为平面内一点． （1）如图1，若，，求的值； （2）如图2，若，F为中点，将绕点F顺时针旋转得，G在上，，求证：； （3）如图3，若，，Q为上一点，，M为直线上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接，，过点F作交于点P， ∵F是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即G为的中点， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，由已知条件得出，为等腰直角三角形，设，则，利用含30度直角三角形的性质设，，，，最后利用正切的定义求得结果； （2）连接，，过点F作交于点P，先证明，再设，通过导角利用等腰三角形的性质和已知条件得出， ，利用三角形中位线定理得出，进而证得是等腰直角三角形，得出，，继续证明出，得到，从而最终证得结论； （3）延长至点T，使得，取的中点O，连接，先证明，得到，在上取点K，使得，证明，得出，由，得出当点B，Q，K三点共线时取等号，此时有最小值，继续根据题意确定出点N的运动轨迹，过点Q作交于点R，过点A作，延长交于点N，此时有最大值，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理求出相关线段的长度，最终可求出的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点H， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵，， ∴在中，，， ∴，， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点T，使得，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在上取点K，使得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当点B，Q，K三点共线时取等号，此时有最小值， ∵沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴点N的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆， 过点Q作交于点R，过点A作，延长交于点N，此时有最大值， ∵，， ∴， ∴，即， 设，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $