重庆市第一中学校2026-2027学年九年级上学期 开学考试数学试题

数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．调查某条河流水质污染情况 B．调查某市居民的消费水平 C．则查一批手机电池的耐用性 D．调查全班同学的视力情况 3．若，则下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题是（ ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 7．若点是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 8．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 9．如图，在菱形内有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接、、、、、取、，分别为、、的中点，连接、、、令为，则的角度为（ ） A． B． C． D． 10．若代数式与的差为常数，且常数为正数，则称是的“式数”，这个差值称为式与的“值”，设，，，…，是从，，这三个数中任意取值的一列数．下列说法： ①若，则，，可以组成组“式数”； ②若，则和的“值”是； ③若，，则，，…，可以组成组“式数”．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11．因式分解：_______． 12．若分式的值为零，则_______． 13．从一个正多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是条，则该正多边形的每一个外角为_______． 14．若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 15．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点、若，，，则_______． 16．若关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和为_______． 17．对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是_______，规定，若、均为整数，则满足条件的的最大值是_______． 18．如图，在正方形中，，分别为，边上的点，，连接，交于点，作交于点，设，则_______（用含的式子表示）；若，则_______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19．解下列方程： （1）； （2）． 20．化简：；其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 21．学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形，他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论． 请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点，连接、、（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点，平分，交于点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形 ， ① ． 平分，平分 ， ② ， ③ ， 四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所 ④ ． 22．某校分别从七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们一周的运动时间．运动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（组：，组：，组：，组：，组：）；将数据进行分析，得到如下统计： ①八年组学生上周运动时间从高到低排列、排在最后的个数据分别是，，，，，，，，， 八年题100名学生一周运动时间频数分布统计表 分组 频数 14 27 13 6 七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计表 七、八年级各100名学生一周运动时间的统计表 年级 平均数 中位数 众数 九年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 84 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析、你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七八年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校八、九年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 23．如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动（点不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． （1）圆直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 24．某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃、商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每月脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃，据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元，每天可多售出5斤，且降价幅度不低于10%，商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和脆桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于分别交于点和点，直线经过点，与轴交于点，点在直线上，且， （1）如图1，求直线和直线的解析式； （2）如图2，直线交轴于点，点是线段上一点，连接，当，点为直线上一动点，连接、、，求点坐标和周长的最小值； （3）如图3，连接，将直线、沿射线方向平移个单位得到直线，点的对应点为，点是平移后直线上一点，直线交直线于点，且，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 26．如图，在中，，，点是线段上一点，以为腰在上方作等腰三角形． （1）如图1，若点是的中点，，，求的长； （2）如图2，连接，当，在线段上取点，连接，使得，求证：； （3）如图3，若，为线段上一点，连接，，为线段上一点，，平分，在射线上取一点，使得，为上一点，，连接、，当取得最大值时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $