30.1圆的切线（第4课时）教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“切线长定理”核心知识点，通过圆形纸片作切线、放风筝等生活情境导入，结合互动提问回顾上节课切线性质，引导学生经历作图测量、定理证明、归纳应用的学习支架，构建“观察—猜想—证明—应用”的探究脉络。 资料以逻辑推理、数学运算、几何直观为核心素养导向，采用操作探究法让学生测量猜想，通过HL全等证明定理，结合勾股定理、30°直角三角形等实例强化应用，帮助学生培养探究精神和综合运用能力，为教师提供清晰教学流程与难点突破策略。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 30.1 切线长定理（第4课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 2.能运用切线长定理进行线段计算和角度计算，解决与切线长相关的几何问题。 3.经历切线长定理的探究和证明过程，体会对称思想和转化思想，培养综合运用切线知识解决问题的能力。 ★核心素养：逻辑推理（定理证明）、数学运算（线段和角度计算）、几何直观（切线长图形分析） 重点 切线长定理及其应用，包括切线长相等和夹角平分线两个结论。 ★关键：切线长定理包含两个结论——①PA=PB；②PO平分∠APB，二者常常结合使用 难点 切线长定理与切线性质、直角三角形、等腰三角形等知识的综合运用，以及复杂图形中基本图形的识别。 ★突破策略：①从圆外一点引两条切线时，立即想到切线长定理；②连接圆心和圆外点得角平分线，连接圆心和切点得直角；③利用Rt△OAP（OA⊥PA）进行勾股计算；④注意图形的轴对称性（直线PO是对称轴） 教学 方法 操作探究法、定理证明法、综合应用法、对称分析法 ★学法指导：见圆外点引两切线→连OA、OB、OP→得PA=PB、PO平分角、两个直角三角形→计算 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①从圆外一点P出发，用直尺向圆形纸片作切线，可以作几条？量一量这两条切线的长度，你发现了什么？ ②放风筝时，从手中的线轴（圆外点）到风筝飞行轨迹（圆）的两条切线，它们的长度有什么关系？ 2.互动提问：上节课我们学习了切线的性质，知道过圆上一点有且只有一条切线。那么过圆外一点可以作几条切线？这些切线之间有什么关系？ 3.揭示课题：今天我们来学习切线长定理，研究从圆外一点引圆的两条切线的性质。 任务驱学 任务1：作图测量——画⊙O，取圆外一点P，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，测量PA和PB的长度，测量∠APO和∠BPO的大小，记录结果。 任务2：定理证明——连接OA、OB、OP，利用切线性质（OA⊥PA，OB⊥PB）和HL全等证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而得到PA=PB，∠APO=∠BPO。 任务3：归纳应用——总结切线长定理，思考：除了PA=PB和PO平分∠APB外，图中还有哪些相等的线段和角？ 【设计意图】通过测量猜想和证明验证，让学生经历"观察—猜想—证明—应用"的数学探究过程，培养科学探究精神。 二次备课 二、合作探究 探究1 切线长的概念 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 注意：切线是直线，不可度量；切线长是线段的长度，可以度量。 探究2 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB，∠APO=∠BPO。 ★深度剖析： ①定理包含两个结论：切线长相等（PA=PB）和连线平分夹角（PO平分∠APB）； ②证明依据：切线性质得OA⊥PA、OB⊥PB，再由HL证Rt△OAP≌Rt△OBP； ③图形关于直线OP对称，OP是整个图形的对称轴； ④由全等还可得到：∠AOP=∠BOP，OA=OB（已知），OP公共。 ★易错点提示： ①切线长是线段长度，不是切线本身； ②定理的前提是"从圆外一点引圆的两条切线"，从圆上或圆内不能引两条切线； ③PO平分的是∠APB，不是∠AOB（虽然也平分，但要注意表述）。 探究3 切线长定理的拓展 ①连接AB，则OP垂直平分AB（等腰三角形三线合一）； ②四边形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB+∠APB=180°； ③若已知⊙O半径r和OP=d，则切线长PA=√d²-r²。 ★数学思想渗透：对称思想——图形关于OP对称，利用对称性可以快速找到相等关系。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，PA、PB分别切⊙O于点A、B，求证：PA=PB，PO平分∠APB。 证明：连接OA、OB。 ∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°。 在Rt△OAP和Rt△OBP中： OA=OB（都是半径），OP=OP（公共边）， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO， 即PO平分∠APB。 【方法总结】切线长定理的标准证明：连两条半径→得两个直角→HL全等→得结论。 例2 如图2，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，已知⊙O半径r=3，切线长PA=4，求PO和PB的长。 图2 解：∵PA切⊙O于A，∴OA⊥PA，∴△OAP是直角三角形。 在Rt△OAP中，OA=3，PA=4， 由勾股定理：PO=√OA²+PA²=√3²+4²=5。 ∵OB是半径，OB=3， ∴PB=PO-OB=5-3=2。 【方法总结】已知切线长和半径，利用切线性质得直角三角形，用勾股定理求PO，再减去半径得PB。 例3 已知：PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=60°，⊙O半径为3，求切线长PA和PO的长。 解：∵PA、PB是切线，∴PA=PB，PO平分∠APB， ∴∠APO=1/2∠APB=30°。 ∵OA⊥PA，在Rt△OAP中，∠APO=30°，OA=3， ∴PO=2OA=6（30°角对的直角边是斜边的一半）， PA=√PO²-OA²=√36-9=√27=3√3。 【方法总结】切线长定理得角平分线，结合30°直角三角形性质和勾股定理计算。 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生板演例1的证明过程，重点检查全等条件的书写和结论的完整性，小组互评。 2.讨论问题： ①在例1的图中，连接AB，AB与OP有什么关系？（OP垂直平分AB）为什么？ ②切线长定理中，为什么PO平分∠APB？这个结论在解题中有什么用？ ③从圆外一点P引两条切线，切点为A、B，若∠APB=60°，则△PAB是什么三角形？（等边三角形，因为PA=PB且夹角60°） 3.教师强调： ①切线长定理的两个结论要同时记住，常常配合使用； ②见到圆外一点引两条切线的图形，要立即联想到：两个直角三角形全等、图形关于OP对称、OP垂直平分公共弦AB； ③计算时优先利用直角三角形（勾股定理、30°角、三角函数）。 ★拓展思考：若PA、PB切⊙O于A、B，点C是优弧AB上一点，已知∠APB=80°，求∠ACB的度数。（∠AOB=180°-80°=100°，∠ACB=∠AOB=50°） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角。 2.填空：如图1，PA、PB切⊙O于A、B，若PA=5，则PB=____。 3.选择：如图2，PA切⊙O于A，OA=3，PA=4，则PO=（　） A.5 B.6 C.7 D.8 4.解答：PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=40°，求∠AOB的度数。 5.拓展：如图1，PA、PB切⊙O于A、B，⊙O半径为5，PO=13，求切线长PA和△PAB的周长。 【参考答案】1.相等，平分；2.5；3.A（PO=√3²+4²=5）；4.∠AOB=180°-40°=140°（四边形OAPB内角和360°，两个直角）；5.PA=√13²-5²=12，△PAB周长=PA+PB+AB=12+12+AB，AB=2×(PA×)=2×(12×)=，周长=24+ 反馈订正：第4题利用四边形OAPB中∠OAP=∠OBP=90°，所以∠AOB+∠APB=180°，∠AOB=140°。 二次备课 课 堂 小 结 1.切线长概念：圆外点到切点的线段长度（可度量，区别于切线直线）。 2.切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，连线平分夹角。 3.几何语言：PA、PB切⊙O于A、B ⇒ PA=PB，∠APO=∠BPO。 4.基本图形：Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），图形关于OP对称。 5.拓展结论：OP垂直平分AB；∠AOB+∠APB=180°；PA=√OP²-r²。 6.常见计算：勾股定理、30°直角三角形、三角函数。 ★知识网络：圆外点→两条切线→切线长定理→全等、对称→线段角度计算 课后 作业 1.必做：课本30.1练习第5题；习题30.1第8、9题。 2.选做： ①PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，交PA于C、交PB于D，若PA=10，求△PCD的周长；（提示：CA=CE，DB=DE，周长=PA+PB=20） ②已知⊙O半径为5，圆外一点P到圆心距离为13，过P作⊙O的两条切线，求两条切线的夹角。 3.预习：阅读课本30.2三角形的内切圆部分，思考：什么是三角形的内切圆？如何确定内切圆的圆心和半径？ 板 书 设 计 30.1 切线长定理 一、切线长：圆外点到切点的线段长 二、切线长定理 PA=PB，PO平分∠APB 三、证明：连OA、OB，HL证全等 四、基本图形性质 ①Rt△OAP≌Rt△OBP ②OP垂直平分AB ③∠AOB+∠APB=180° ④PA=√OP²-r² 五、典型例题 例2 PO=5，PB=2 例3 PA=3√3，PO=6 课 后 反 思 教学反思 1.通过作图测量引入，学生直观发现切线长相等和角平分线关系，学习兴趣高。 2.切线长定理的证明（HL全等）学生容易理解，但对定理包含的两个结论（等长和平分角）有时只记住一个，需强化。 3.例3中30°直角三角形的应用学生掌握较好，但拓展结论（OP垂直平分AB等）的主动运用不够。 4.课堂检测第5题涉及AB长度计算，部分学生不知道用面积法或相似三角形求，需补充方法指导。 5.切线长定理与切线性质的综合运用是重点，后续需增加综合题型训练。 6.改进方向：利用几何画板展示图形的对称性，帮助学生理解拓展结论；增加"切线长+弦"的综合题型；归纳切线相关的基本图形模型。 学科网（北京）股份有限公司 $