30.1 直线与圆 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直线与圆的位置关系、切线性质与判定及切线长定理，通过海上日出、悠悠球转动等生活实例导入，结合旧知回顾，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于以生活情境培养数学眼光，如海上日出抽象位置关系，悠悠球转动引出切线长。通过动手操作（移动硬币、折叠图形）和推理证明（切线性质、切线长定理）发展数学思维，符号与图形语言结合强化数学表达，助力学生提升探究与逻辑能力，为教师提供结构化互动教学方案。

30.1 直线与圆 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 课题 直线与圆相离、相切、相交 课型 新授课 教学内容 教材第148-150页的内容 教学目标 1. 使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义. 2. 让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系. 3. 通过“类比转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想. 教学重难点 教学重点：直线和圆的三种位置关系. 教学难点：直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，导入新课 海上日出是非常壮美的景象，再配以巴金的《海上日出》中那优美的语句。播放一轮红日从海平面升起的照片抽象出直线与圆都有哪几种位置关系，引入新知. 2.探究互动，获得新知 【思考】准确地观察出圆相对于直线运动的过程中，有几种位置关系？ 【追问1】如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 【追问2】请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ 【追问3】根据上面你的观察发现结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？ 你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来。 填一填：请自学课本P148页上半部分，并完成下表。 【归纳】（1）直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离. （2）直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条 直线叫作圆的切线，这个点叫作切点. （3）直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线. 判一判：（1）直线与圆最多有两个公共点. （2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切. （4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离. （5）直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交. 教师强调：根据直线与圆的位置关系的定义，可以从公共点的个数来判断，但这不常用。 我们知道，平面内一点P与⊙O的位置关系，可以根据点到圆心的距离OP与⊙O的半径r的大小关系来确定，类似地，如何确定直线与⊙O的位置关系呢？ 【思考2】类比点与圆的位置关系探究直线与圆的位置关系的性质与判定方法. 问题1： 刚才同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 问题2：怎样用量d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？ 归纳：通过上面问题我们容易得到： （1）直线和⊙O相离d>r; （2）直线和⊙O相切d=r; （3）直线和⊙O相交d<r. 教师总结：直线与圆的位置关系的性质与判定的区别：位置关系数量关系. 3.学以致用，应用新知 【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D.若r=2.5，分别判断AC，BC与⊙D的位置关系. 解：如图，过圆心D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E， F，则DE，DF的长分别为圆心D到AC，BC的距离. 连接CD，由D为AB的重点，得CD=AD=BD， 因而E，F分别为AC，BC的中点. 所以DE=BC，DF=AC. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵BC=12，AC=5，r=2.5， ∴DE＞r，DE=r， ∴AC与⊙D相离，BC与⊙D相切. 4.随堂训练，巩固新知 （1）若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 答案：A （2）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA=3 cm，OB=2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为 （ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 答案：D （3）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为8，则r的取值范围是________． 答案：r＞8 （4）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与AB的位置关系． （1）r＝3cm； （2）r＝4.5cm； （3）r＝6cm． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵等边△ABC的边长为6cm，AD是高， ∴∠BAD＝30°，∴BD=AB=3cm，AD＝＝9cm， ∴DE＝4.5cm， 故当（1）r＝3cm时，⊙D与AB相离， （2）r＝4.5cm时，⊙D与AB相切； （3）r＝6cm时，⊙D与AB相交． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 本节课学习了哪些主要内容？ （2）本节课学习了直线与圆的哪几种位置关系？判断这三种位置关系的关键是什么？ （3）如果直线向圆心方向移动，直线与圆的位置关系会怎样变化？ 6.布置作业 教材P150练习第1-2题，P154习题30.1第1题. 多媒体出示图片，告诉学生观察任务，引出课题。 教师用多媒体演示问题1。 学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况。 让学生先自主探索，再小组合作，分析、总结、交流。 判一判第（5）小题学生容易误判，还有一种相切的情形。 多媒体动画演示便于学生观察圆与直线的距离d与圆的半径r 的数量关系。 直线与圆的关系的判定方法有定义和性质两种，应提醒学生在实际应用中通常选用第二种。 判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离。 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括分式的判断、分式有意义的条件. 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 直线与圆相离、相切、相交 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质与判定 课题 切线的性质与判定 课型 新授课 教学内容 教材第150-152页的内容 教学目标 1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明，训练学生的推理判断能力． 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明． 3．会过圆上一点画圆的切线，能运用直线与圆的位置关系解决实际问题． 教学重难点 教学重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用。 教学难点：探索圆的切线的判定方法。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【教师活动】教师带领学生回顾直线和圆的几种位置关系，重点强调本节课要讲解的是直线和圆相切的问题.然后回顾切线的定义，并追问切线有哪些性质呢？引出本节课要讲解的内容. 【问题】你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？ 【问题】切线的定义是什么？ 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点. 【追问】切线又有什么性质呢？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l有什么位置关系呢？ 解：OA⊥l．证明如下： 在直线l上任取一个不同于点A的点P， 连接OP， 因为点P在⊙O外， 所以OP＞OA. 这就是说，OA是点O到直线l上任一点的连线中最短的，故OA⊥l． 小结：圆的切线垂直于经过切点的半径. 【归纳】 切线性质定理 文字语言：圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言：∵直线l 是⊙O的切线，且A是切点， ∴ l⊥OA. 【思考】 如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP，则直线l即为所作. 【追问】为什么直线l即为所作呢？ 分析：由图可知，直线l与⊙O有一个公共点P，若取直线l上除点P之外任一点Q，连接OQ ，则OQ＞OP(斜线大于垂线)，所以点Q在圆外.因此，直线l与⊙O只有一个公共点，故直线l为⊙O的切线. 小结：由垂线的唯一性可知，过点P作OP的垂线有且只有一条.所以，过圆上的点作已知圆的切线有且只有一条. 【追问】如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ (画出切线即可) 过圆外一点作已知圆的切线有两条. 【归纳】 切线判定定理 文字语言：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言：∵OA是⊙O的半径， 且l⊥OA于A， ∴ l是⊙O的切线. 【思考】 这个定理中包含了哪些要素？ ①经过半径的外端 ②垂直于这条半径 两个条件缺一不可 【归纳】 圆的切线的判定方法 ①定义法：直线和圆只有一个公共点. ②数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r. ③判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【做一做】 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1)不是，因为没有与半径垂直. (2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点. 【延伸】 切线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？ 联系：交换切线的性质定理的条件和结论，可得到切线的判定定理. 区别：切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用；切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用. 3.学以致用，应用新知 【典型例题】 【例】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E， 连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB， ⊙O的直径为8 cm，AB=6 cm，求OA的长. 解： 连接OC. ∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ OC⊥AB. 又∵ OA=OB ，AB=6 cm， ∴ AC=CB=3 cm. 又∵ ⊙O的直径为8 cm，即OC=4 cm， ∴ 在Rt△ACO中，OA==5 (cm). （2）已知：如图，直线AB过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：如图，连接OC. ∵ OA=OB， CA=CB， ∴ OC⊥AB. 又 点C在⊙O上， ∴ AB是⊙O的切线. （3）已知：如图，点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB，垂足为D. 求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. 证明：如图，过点P作PE⊥AC，垂足为E. ∵ 点P在∠BAC的平分线上，且PD⊥AB， ∴ PD=PE，即PD、PE为⊙P的半径. ∴以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. （4）如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC ． 求证：AC是⊙O的切线. 证明：∵ AB=AC，∠ABC=45°， ∴ ∠ACB=∠ABC=45°. ∴ ∠BAC=180°∠ABC∠ACB=90°. ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AC是⊙O的切线. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）切线的性质定理与判定定理是什么？它们有怎样的联系？ （3）在应用切线的性质定理与判定定理时，需要注意什么？ 6.布置作业 教材P152练习第1-3题. 通过回顾旧知帮助学生复习直线和圆的位置关系，以及切线的定义，同时引出下面要学习的切线的性质. 通过分组探究的形式，让学生去证明过切点的半径与切线的位置关系，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性. 通过归纳让学生明确切线的性质定理，同时熟悉文字语言、图形语言和符号语言的相互转化. 通过“过圆上一点作圆的切线”让学生根据切线的性质定理来思考切线的作法，同时为后面推出切线的判定定理作铺垫. 通过追问进一步明确切线的作法，以及过圆上一点作已知圆的切线有且只有一条. 通过“过圆外一点作切线”，进一步巩固切线的作法，同时为后面要学习的内容作准备. 通过归纳让学生明确切线的判定定理，同时熟悉文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.并强调判定定理中两个条件缺一不可. 根据前面的学习、探究总结出圆的切线的判定方法，体会前后知识的延续性和关联性. 通过练习进一步巩固切线的判定定理.以抢答的形式提高学生的学习积极性. 让学生明确切线的性质定理和判定定理之间的联系和区别.感受数学的严谨性. 通过例题让学生熟悉利用切线的判定定理解决相关证明题的过程，培养应用意识. 通过随堂训练及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.同时学会常用的添加辅助线的方法. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 切线的性质与判定 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 切线长定理 课题 切线长定理 课型 新授课 教学内容 教材第37-39页的内容 教学目标 1.理解切线长的定义及切线长定理； 2.学会运用切线长定理进行计算与证明； 3.在运用切线长定理解题的过程中渗透转化、分类讨论的数学思想； 4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲. 教学重难点 教学重点：会运用切线长定理进行简单的计算与证明. 教学难点：切线长定理的推理与证明过程. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【观察思考】 【师生活动】教师引导学生观看动图，找出其中蕴含的数学图形以及图形之间的位置关系，引出相切的位置关系，接着回顾过圆上一点如何作圆的切线，为后面过圆外一点作圆的切线作准备. 【问题】你还记得童年时玩的悠悠球吗？在玩悠悠球时是否想过它的转动过程中还包含着数学知识？ 【问题】观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？ 球的整体和中心轴可分别抽象成圆形； 被拉直的线绳可抽象成线段. 【追问】这些图形有怎样的位置关系？ 线绳所在的直线和中心轴所在的圆相切. 【复习回顾】 还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP， 则直线l即为所作. 【追问】如何过圆外一点如何作已知圆的切线呢？ 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 【师生活动】先让学生分组探究，交流思路，然后教师找学生说出作图步骤及原理，最后教师给出完整过程. 【问题】如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切? 小组合作： （1）独立思考，完成作图； （2）两人一组，交流思路，写出作法. 关键：找出以OP为斜边的直角三角形，并且让其直角顶点在⊙O上. 作法： (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. 小结：过圆外一点能够作圆的两条切线. 【归纳】 切线长的定义： 把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 思考：切线长和切线有什么区别？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量． 【探究】 【师生活动】先让学生自己动手画图并折叠，通过观察思考给出猜想，过程中教师可适当引导，然后让学生分组探究交流结果，并证明猜想，最后教师给出结论和证明过程. 【问题】在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？ 小组合作： （1）独立操作、思考，猜想结论； （2）两人一组，交流探究，证明猜想. 猜想：PA=PB ∠APO=∠BPO 你能证明你的结论吗？ 证明：如图，连接OA，OB. ∵PA和PB是⊙O 的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO. 【归纳】 切线长定理： 文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B， ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 3.学以致用，应用新知 【例】如图，PA，PB是OO的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图，连接 OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴ ∠APB=60°， ∴ △PAB是等边三角形.∴ AB=PA=PB. 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2, ∴ OA=1，PA==. ∴ △PAB的周长为3. 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心的距离是60 cm，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，求∠APB的大小与PA的长. 解：如图，连接OP，OA. ∵ PA、PB是⊙O的切线， ∴ PA⊥OA，∠OPA=∠OPB， 又 OA=30 cm， OP=60 cm， ∴ 在Rt△ OAP中，∠OAP=90°， OP=2OA ， ∴ ∠OPA=30°， ∠APB=60°， PA= (cm). （2）如图， PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C. (1) 写出图中所有的垂直关系； (2) 写出图中所有的全等三角形. 解：(1) OA⊥PA， OB⊥PB， AB⊥OP； (2) △OPA≌△OPB， △AOC≌△BOC ， △APC≌△BPC . （3）已知：PA、PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小. 解：①如图(1) ，连接 OA， OB. 在四边形PAOB中，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°， 由四边形的内角和定理知 ∠APB+∠AOB=180°. 又 ∠APB=60°，∴ ∠AOB=120°. 又 ∠ACB=∠AOB ， ∴ ∠ACB=60°. ②如图(2) ，连接 OA、 OB， 作圆周角∠ADB， 由①知：∠AOB=120°， ∴ ∠ADB=∠AOB=60°， ∴ ∠ACB=180°–∠ADB=120°. （4）已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和☉O分别相切于点E，F，G，H. 求证：AB+CD=DA+BC. 证明：∵ AB、BC、CD、DA都与☉O相切，E，F，G，H是切点， ∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即 AB+CD=DA+BC. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）应用切线长定理时，常作的辅助线是什么？？ （3）从圆外一点引两条切线，除了切线长相等，图中还有哪些相等的量或全等的三角形？？ 6.布置作业 教材P154练习第1-2题. 通过熟悉的童年玩具引入新课，提高学生的学习兴趣，并激发对数学知识的探索和求知欲.同时让学生感受到数学和生活的紧密联系. 通过回顾旧知，感知新的知识，体会新旧知识之间的联系. 通过探究、画图等过程，让学生发现：过圆外的一点画圆的切线有两条，培养学生运用已学知识解决问题的能力，同时为后面引出切线长的定义作铺垫. 通过归纳加深学生对切线长的理解，并能区分切线长和切线. 通过操作培养学生的动手能力和观察能力，通过动画演示，让学生形象直观的感受数学的对称美，并通过探究、猜想得出结论，激发学生的求知欲. 通过猜想、证明的过程，发展学生的推理能力，并引出后面的切线长定理. 以填空的形式归纳总结，让学生熟悉切线长定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化. 让学生在应用过程中进一步加深对切线长定理的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力. 并在应用过程中渗透转化的数学思想. 通过随堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.在练习3中让学生感受分类讨论的数学思想. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 切线长定理 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $