3.5 图形的位似 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础辨析、技能应用到综合探究的三层设计，实现位似概念理解→空间观念构建→创新意识培养的递进，适配新授课知识巩固与核心素养发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|位似识别、中心判断、简单相似比计算|以单选、填空题为主，如视力表“E”变换辨析，强化概念理解与抽象能力| |提升层|坐标变换、作图操作、网格位似|结合坐标系与网格情境，如位似图形坐标求解，发展几何直观与空间观念| |拓展层|位似与相似、旋转综合应用|通过阅读材料（内邻正方形）与探究任务，培养推理能力与创新意识|

3.5 图形的位似 同步练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 3．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（   ） A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 5．全国爱眼日是每年的6月6日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会导致眼部疾病，其中长期观看电子产品对眼睛的损害会造成不可逆的损伤．下图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换过程是（    ）    A．折叠 B．位似 C．对称 D．平移 6．以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将按相似比放大，则顶点在第三象限的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点D的坐标为，若与是位似图形，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 12．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心．相似比为，把线段缩短为，则的坐标为_____． 13．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为________． 14．如图，正方形的两边分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为位似中心的位似图形．已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的位似比是_____________． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 三、解答题 16．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，画出的位似图形，使与位于点的两侧，且与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知和是位似图形，位似中心是点，且，． (1)在网格中补全平面直角坐标系； (2)画出位似中心点的位置，并直接写出点的坐标； (3)在网格中将补充完整． 18．判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心． (1)如图（1）所示，，相交于点O，且，； (2)如图（2）所示，，相交于点O，且． 19．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 20．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图1，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称． (1)如图2，在中，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是____________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图3，已知经过自位似轴对称变换得到，若，，连接和，点是的中点，在变化过程中，试猜想和的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给出变化范围；如果不变，请写出和的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由； (3)在（2）的条件下，若，当时，请直接写出的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D B C A B C A 1．【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行， ∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 4．【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由和以点为位似中心的位似图形，得到，结合，进而由和的相似比为，再由相似三角形性质即可得到与的面积之比，熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解： 和以点为位似中心的位似图形， ， ， 和的相似比为， 与的面积之比是， 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】位似图形的识别、轴对称图形的识别、图形的平移、折叠问题 【分析】根据折叠、位似、对称、平移的相关概念进行判断即可． 【详解】解：开口向下的两个“E”方向相同、形状相似，但位置和大小不同， 而且每组对应点所在直线都经过同一个点，所以属于位似， 故选：B． 【点睛】本题考查位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，解题的关键是注意：平移、旋转、对称、折叠的图形都是全等形，而位似的图形不是全等形． 6．【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：    故选：C． 【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键． 7．【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】利用位似中心为原点，且两个三角形分别位于第一、三象限，可知对应点的坐标符号相反且比值为相似比． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按相似比放大， ∴与位似，相似比为， ∴， ∵位似中心为原点，点，且在第三象限，在第一象限 ， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 8．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，证明△OAC∽△ODF，可得结果． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，即， 与是位似图形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 10．【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】先根据位似中心的性质，求出两三角形的位似比，然后根据相似三角形的周长之比等于位似比解答即可． 本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 【详解】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 11．【答案】② 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 12．【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或解答． 【详解】解：∵点A的坐标为，以原点为位似中心将缩短，位似比为， ∴点的对应点的坐标为：或，即或， 故答案为：或． 13．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 14．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】延长交于点，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的位似比． 【详解】解：延长交于点，如图： 在正方形中，， 点的坐标为， ． 由题意可知，， 根据题意可得， 正方形与正方形的位似比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 15．【答案】16 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 16．【答案】(1) 如图：即为所求； (2) 如图：即为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了位似作图、旋转作图等知识点，准确找到对应点是解题的关键． （1）先根据位似的性质确定B、C的对应点，然后顺次连接A、即可； （2）先根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接、即可. 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】(1) 补全的平面直角坐标系如图所示． (2) 位似中心点的位置如图所示，点P的坐标为． (3) 如图，为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、判断位似中心 【分析】本题考查确定平面直角坐标系，作位似中心，作位似图形． （1）根据点A，B的坐标确定原点，进而补全平面直角坐标系； （2）连接并延长，连接并延长，两延长线交点即为位似中心点P的位置，根据坐标系直接写出坐标； （3）由（2）可得与的相似比为，因此连接并延长至点，使得，连接，，则为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．【答案】(1)与不是位似图形； (2)与是位似图形，位似中心是点O． 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心 【分析】（1）根据位似图形对应边互相平行进行判断即可得到答案； （2）根据位似图形的定义进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 点A与点C，点D与点B为对应点， 与不一定平行， 与不是位似图形； （2）解：， ， ， ，相交于点O， 与是位似图形，位似中心是点O． 【点睛】本题考查了位似图形，解题关键是掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 19．【答案】(1) 解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)， (3) 解：如图， 【知识点】根据正方形的性质证明、求两个位似图形的相似比、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 20．【答案】(1)①② (2)不变，且 (3) 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、位似图形相关概念辨析、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据自位似轴对称的定义逐一分析； （2）延长到，使，连接，易证和全等，得到，；结合自位似轴对称的性质推导出，，从而证得，进而利用相似三角形的性质求得与的数量和位置关系； （3）利用平行性质和勾股定理，结合（2）中结论，即可计算的长． 【详解】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图； ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图： ③与不成自位似轴对称， 故答案为：①②； （2）解：不变，且，理由如下， 延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴； ∴，， ∴， ∴； ∵和成自位似轴对称， ∴，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：∵，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查自位似轴对称的定义，位似的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解新定义，通过构造全等三角形推导线段和角的关系，从而证得相似三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $