3.5图形的位似(3) 同步练　2026-2027学年北师大教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学图形相似位似同步练，以A/B/C三级分层设计，通过基础巩固-能力提升-综合拓展路径，衔接知识应用与核心素养，梯度合理适配新授课教学。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|相似性质应用、位似基础计算|选择填空结合简单证明，巩固双基，培养空间观念| |B级|相似综合应用、动态问题|菱形正方形中相似关系，提升推理意识| |C级|跨情境探究、知识迁移|多情境探究题，培养创新意识与应用能力|

第三章 图形的相似 第五节 图形的位似(3) 今日复习 1.相似多边形对应线段(中线、高线、角平分线)的比等于 . 2.相似多边形周长之比等于 . 3.相似多边形面积之比等于 . 名师点拨 1.相似形对应边成比例，利用比例的基本性质，可将比例式化成乘积式，反过来也一样. 2.相似形的性质和勾股定理是计算线段长度的两种重要方法，而相似形应用更广泛. 3.应用相似形性质的关键是正确找到对应关系. 课时三级达标 A级 双基过手 1. 已知点 P 是线段AB 的一个黄金分割点(AP>PB),则PB:PA的值为 . 2.(1) 已知△ABC∽△DEF,且面积比为1：9，若△ABC的周长为8cm,则△DEF的周长是 . (2) 如图，有一块三角形余料ABC,BC=120mm,高线AD=80 mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC上,点 P,M分别在AB,AC上,若满足 PM:PQ=3:2,则 PM的长为 mm. 3. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交BC 于点E,交 DC的延长线于点 F,BG⊥AE,垂足为(G, 则△CEF 的周长为 . 4. 已知图中的每个小正方格都是边长为 1 的小正方形，若△ABC 与△A₁B₁C₁是位似图形，且顶点都在小正方形的顶点上，则它们的位似中心的坐标是 . 5. 已知 且b+2d-f≠0,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 6.(2026·青羊)若图中的△ABC与△EDF位似，则位似中心是 ( ) A. 点 MB. 点 NC. 点 P D. 点 Q 7.(2026·武侯)如图,在四边形ABCD中,已知∠D=∠ACB，补充下列条件后不能判定△ACD和△ABC相似的是 ( ) A. AC平分∠BAD B.∠DCA=∠B 8.(2025·武侯)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC 的顶点坐标分别是O(0,0),A(6,0),B(6,4),C(0,4).已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似,位似中心是原点 O，且矩形 OA'B'C'的面积等于矩形OABC 的面积的 ,则点 B'的坐标是( ) A.(3,2) B.(-3,-2) C.(3,2)或(-3,-2) D.(2,3)或(-2,-3) 9. 如图,在矩形 ABCD中,E是边AB 的中点，连接 DE 交对角线AC于点F.若AB=4,AD=3,求CF的长. 10. 如图,过矩形ABCD(AD>AB)的对角线 AC的中点O 作AC 的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,分别连接AF 和CE. (1)求证:四边形 AFCE 是菱形; (2)过点 E 作AD 的垂线交AC 于点 P,求证： B级 能力提升 11. 如图,已知菱形ABCD中,G是对角线BD 上一点，延长CG 分别交边AD 和 BA 的延长线于点 E,F.若GE=2,EF=5,则CG的长为 。 12. 已知 P 是边长为4 的正方形ABCD内一点,且 PB=3,BF⊥BP,垂足是 B.若在射线 BF 上找一点M，使以B，M，C为顶点的三角形与△ABP 相似,则BM为 . 13.(2026 ·金牛)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,过点 C作BC 的垂线CD,点 P 在线段BC 上运动,点 Q 在射线 CD 上运动，始终满足∠BAP=∠CAQ,连接 PQ.当△PCQ与△ABC 相似时,线段 BP 的长为 . 14. (2026 · 编写)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3BC,AD=3,BD=6，连接CD，求CD长的最大值. C级综合拓展 15.(2025·金牛)【问题探究】 (1)如图1,在矩形ABCD中,E,F分别是边DC,BC上的点,连接AE,DF,且 AE⊥DF 于点 G.若 AB =10,BC=24,求 的值. 【初步运用】 (2)如图 2,在△ABC 中,∠BAC=90°, D为AC 的中点,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E,交 BC于点 F,求 的值. 【灵活运用】 (3) 如图 3,在 四 边 形 ABCD 中,∠BAD=90°, AB=BC,AD=CD,点 E,F 分别在边AB,AD上,且 DE⊥CF,垂足为G,则 【今日复习】 1.相似比 2.相似比 3.相似比的平方 【课时三级达标】 A级(双基过手) 2.(1)24 cm(2)60 3.8 4 .(9,0) 5 . C 6. B 7. D 8. C 9.【解】∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠FAE=∠FCD.又∵∠AFE=∠CFD,AB=4,AE=BE,∴△AFE∽△CFD, ∵AB=4,AD=BC=3,. 10.【证明】(1)∵EF 垂直平分AC,∴AO=CO,∠AOE=∠COF=90°,EA=EC,FA=FC.∵四边形ABCD 为矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO. 在△AOE 和△COF 中,1AAO=O₂,∠FCO,∴△AOE≌∠AOE=∠COF,△COF(ASA),∴AE=CF,∴AE=EC=AF=CF,∴四边形AFCE 是菱形. (2)∵AE⊥EP,∴∠AEP=∠AOE=90°.在△AEP 和△AOE 中, ∠PAE = ∠EAO, ∠AEP = ∠AOE,∴△AEP∽△AOE, B级(能力提升) 11. 12.3或 13.5或6.4 14.【解】如图,在 AD 的下方作 Rt△ADT,使得∠ADT=90°,DT=1,连接 CT,则 ∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3BC, ∵∠ADT=∠ABC=90°,∴△ADT∽△ABC, ∴∠DAT=∠BAC, ∴∠DAB=∠TAC, ∴△DAB∽△TAC, ∵CD≤DT+CT, ∴CD长的最大值为 C级(综合拓展) 15.【解】(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠C=∠ADE=90°,AB=CD=10,BC=AD=24, ∴∠ADG+∠FDC=90°. ∵AE⊥DF,∴∠AGD=90°, ∴∠DAG+∠ADG=90°, ∴∠DAG=∠FDC,∴△DCF∽△ADE, (2)如图 2,过点 B 作CB 的垂线,过点 D 作 BC 的垂线，垂足为K，过点 A 作BC 的平行线，分别交两条垂线于点G，H，则四边形GBKH为矩形. ∵D 为 AC 的中点,∴AD=CD. 又∵∠AHD=∠CKD=90°,∠ADH=∠CDK, ∴△ADH≌△CDK(AAS), ∴DH=DK. ∵∠BAD=90°,∴∠GAB+∠HAD=90°. 又∵∠GAB+∠GBA=90°,∴∠HAD=∠GBA. 又∵∠AHD=∠G=90°,∴△AHD∽△BGA, ,AD=CD, 设DH=6y,则BG=12y, ∴AG=5y, 由(1)知, 的值为 (3)如图 3,过点 C作CN⊥AD 于点 N,CM⊥AB 交AB 的延长线于点M,连接 BD. ∵∠BAD=90°,即AB⊥AD, ∴∠A=∠M=∠CNA=90°, ∴四边形 AMCN是矩形, ∴AM=CN,AN=CM. 在△BAD和△BCD中, [AD=CD, AB=BC, BD=BD, ∴△BAD≌△BCD(SSS),∴∠BCD=∠A=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°. ∵∠ABC+∠CBM=180°,∴∠MBC=∠ADC. 又∵∠CND=∠M=90°,∴△BCM∽△DCN, 设BM=5y,则 DN=12y. 设AB=BC=5x,则AD=CD=12x, ∴CN=AM=AB+BM=5x+5y. 在 Rt△CND中,由勾股定理,得 解得119x=169y(x=-y舍去). 故答案为 学科网（北京）股份有限公司 $