30.1 圆的切线（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

年级组

九年级

学科组

数学

主备人

审阅人

授课教师

授课时间

课  题

30.1 切线的判定（第2课时）

课   型

新授课

教学

目标

1.掌握切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，能准确表述定理的两个条件。

2.能运用切线判定定理证明一条直线是圆的切线，掌握"有交点连半径证垂直"和"无交点作垂直证半径"两种基本证法。

3.经历切线判定定理的探究过程，体会转化思想和逻辑推理的严谨性，培养几何证明的规范表达能力。

★核心素养：逻辑推理（定理推导与证明）、几何直观（切线图形的感知）、数学建模（将实际问题转化为切线判定）

重点

切线的判定定理及其应用，特别是"连半径证垂直"的证明方法。

★关键：判定定理的两个条件缺一不可——①经过半径外端（即经过圆上一点）；②垂直于这条半径

难点

灵活选择切线的两种判定方法（有交点→连半径证垂直；无交点→作垂直证半径），规范书写证明过程。

★突破策略：①先判断直线与圆有无已知公共点；②有公共点则连接该点与圆心，证明垂直；③无公共点则过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径；④证明垂直常用：勾股定理逆定理、角度计算、全等三角形、等腰三角形三线合一

教学

方法

定理探究法、对比分析法、证明训练法、小组互评法

★学法指导：读题→找交点→选方法→证垂直、等半径→写结论，牢记两个条件缺一不可

教学过程设计

教

学

过

程

及

方

法

目标导学

二次备课

一、情境导入

1.生活情境：

①砂轮磨刀时，火星沿什么方向飞出？（沿切线方向飞出）

②下雨天，雨伞转动时，水滴沿什么方向飞出？（沿切线方向）

③自行车车轮与地面接触的位置，地面可以看作车轮的什么线？（切线）

2.互动提问：上节课我们学习了用d=r判断直线与圆相切，这个方法需要计算距离。有没有不需要计算、直接通过图形条件判断切线的方法？

3.揭示课题：当直线经过圆上一点时，我们可以通过证明垂直来判定切线，这就是今天要学习的——切线的判定定理。

任务驱学

任务1：作图探究——画⊙O，在圆上取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA，观察直线l与⊙O有几个公共点？直线l是⊙O的切线吗？

任务2：条件辨析——如果只满足"经过半径外端"但不垂直，直线是切线吗？如果只满足"垂直于半径"但不经过外端呢？分别画图说明。

任务3：归纳定理——将你的发现用文字语言表述出来，并思考为什么这两个条件缺一不可。

二次备课

【设计意图】通过作图和反例辨析，让学生深刻理解切线判定定理的两个必要条件，培养严谨的逻辑思维。

二、合作探究

探究1  切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l经过点A且l⊥OA，∴直线l是⊙O的切线。

★深度剖析：

①定理包含两个条件：（i）直线经过半径外端（即经过圆上一点）；（ii）直线垂直于这条半径。两个条件缺一不可；

②"半径的外端"就是圆上的点，所以定理也可表述为：经过圆上一点且垂直于过该点的半径的直线是圆的切线；

③判定定理与上节课的d=r判定是一致的：因为l⊥OA且A在圆上，所以O到l的距离就是OA=r，即d=r。

★易错点提示：

①只说"经过半径外端"不说是切线（可能是割线）；

②只说"垂直于半径"不说是切线（可能不过圆上点）；

③证明时必须同时写出两个条件。

探究2  切线判定的两种方法

方法一（有交点）："连半径，证垂直"——若已知直线与圆有公共点，则连接该点与圆心得到半径，证明直线与这条半径垂直。

方法二（无交点）："作垂直，证半径"——若不知直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于半径。

★数学思想渗透：转化思想——将切线判定问题转化为证明垂直或证明线段相等的问题。

教

学

过

程

及

方

法

激思展学

例1  如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，延长CD到点E，使DE=CD，连接AE。判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由。

解：AE与⊙O相切。理由如下：

连接OC、AC。

∵CD⊥AB，DE=CD，∴AB垂直平分CE，∴AC=AE，∴∠E=∠ACD。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠OAC=90°，

∴∠E+∠OCA=90°，即∠OAE=90°，∴OA⊥AE。

又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线。

【方法总结】有交点→连半径证垂直。本题通过线段垂直平分线性质和等腰三角形性质，将角度转化，最终证明OA⊥AE。

二次备课