30.1.2 .2 过圆外一点作圆的切线 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

第2课时　过圆外一点作圆的切线

授课人

教学

目标

　　1.掌握切线长的定义及切线长定理,并利用切线长定理进行有关的计算.

2.了解切线长定理的探索和证明、过圆外一点作圆的切线的尺规作图.

教学

重点

　　切线长定理及其应用.

教学

难点

　　与切线长定理有关的计算和证明.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

　　问题1:直线与圆有哪几种位置关系?切线的性质和判定定理的内容分别是什么?

师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解.

教师总结:①直线与圆有3种位置关系:相交、相切、相离.

②切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

问题2:过圆上一点可以作圆的切线吗?如果能,可以作几条?

能,过圆上一点只能作圆的一条切线.

　　通过问题的形式,引导学生回顾所学知识,为学习新知识打下基础.

活动

一:

创设

情境

导入

【课堂引入】

同学们玩过悠悠球(如图30-1-45①)吗?大家在玩悠悠球时是否想过它在转动过程中还包含着数学知识呢?图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图,从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段)?

　　通过学生常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣,活跃课堂气氛,为研究切线长的概念及切线长定理做铺垫.

新课

图30-1-45

活动

二:

探究

与

应用

【探究1】 尺规作图——过圆外一点作圆的切线

　图30-1-46

1.过圆外一点可以作圆的几条切线?(2条)

2.如图30-1-46,过☉O外一点P,你能用直尺和圆规作出☉O的切线吗?

P是☉O外一点,要过点P作☉O的切线.因为两点确定一条直线,并且所求作的直线过点P且与☉O相切,所以需在☉O上确定一点A,满足OA⊥AP,即∠OAP=90°.由此可知,点O,P,A可以确定一个圆,OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆,该圆与☉O的交点即所要确定的点.

根据上面的想法,可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线.

　图30-1-47

作法:如图30-1-47.

(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN,与OP交于点C;

(2)以点C为圆心,CO为半径作圆,与☉O相交于A,B两点;

(3)作直线PA,PB,即所求作的切线.

3.切线长的概念:把经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线长.

如图30-1-48,线段PA,PB的长就是点P到☉O的切线长.

　　在探索问题的过程中,学生通过自主探索与合作交流,发现问题、归纳知识,并获得积极的、深层次的体验,从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总结能力.

图30-1-48

4.切线长和切线的区别:切线是直线,切线长是切线上一部分线段的长.

图30-1-49

【探究2】 切线长定理

如图30-1-50,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,过点O,P作直线OP.线段PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?

图30-1-50

猜测:PA=PB,∠APO=∠BPO.

说明:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的依据.

活动

三:

探究

与

应用

　　问题:你能运用所学知识进行证明吗?

师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导.

图30-1-51

证明:如图30-1-51,连接OA,OB.