30.1.2 .2 过圆外一点作圆的切线 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦切线长定理及过圆外一点作圆的切线的尺规作图，通过悠悠球情境抽象数学图形导入，回顾直线与圆位置关系、切线性质判定，搭建新旧知识支架。 以“数学眼光”观察情境抽象图形，“数学思维”引导学生自主猜想切线长关系并通过全等证明定理，“数学语言”规范符号表述，结合小组合作、分层例题与当堂训练，提升学生探究与应用能力，为教师提供完整教学流程与资源。

第2课时　过圆外一点作圆的切线 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　过圆外一点作圆的切线 授课人 教学 目标 　　1.掌握切线长的定义及切线长定理,并利用切线长定理进行有关的计算. 2.了解切线长定理的探索和证明、过圆外一点作圆的切线的尺规作图. 教学 重点 　　切线长定理及其应用. 教学 难点 　　与切线长定理有关的计算和证明. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　问题1:直线与圆有哪几种位置关系?切线的性质和判定定理的内容分别是什么? 师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解. 教师总结:①直线与圆有3种位置关系:相交、相切、相离. ②切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 问题2:过圆上一点可以作圆的切线吗?如果能,可以作几条? 能,过圆上一点只能作圆的一条切线. 　　通过问题的形式,引导学生回顾所学知识,为学习新知识打下基础. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 同学们玩过悠悠球(如图30-1-45①)吗?大家在玩悠悠球时是否想过它在转动过程中还包含着数学知识呢?图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图,从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段)? 图30-1-45 　　通过学生常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣,活跃课堂气氛,为研究切线长的概念及切线长定理做铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 　图30-1-46 1.过圆外一点可以作圆的几条切线?(2条) 2.如图30-1-46,过☉O外一点P,你能用直尺和圆规作出☉O的切线吗? P是☉O外一点,要过点P作☉O的切线.因为两点确定一条直线,并且所求作的直线过点P且与☉O相切,所以需在☉O上确定一点A,满足OA⊥AP,即∠OAP=90°.由此可知,点O,P,A可以确定一个圆,OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆,该圆与☉O的交点即所要确定的点. 根据上面的想法,可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 　图30-1-47 作法:如图30-1-47. (1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN,与OP交于点C; (2)以点C为圆心,CO为半径作圆,与☉O相交于A,B两点; (3)作直线PA,PB,即所求作的切线. 3.切线长的概念:把经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线长. 如图30-1-48,线段PA,PB的长就是点P到☉O的切线长. 图30-1-48 4.切线长和切线的区别:切线是直线,切线长是切线上一部分线段的长. 图30-1-49 【探究2】 切线长定理 如图30-1-50,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,过点O,P作直线OP.线段PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? 图30-1-50 猜测:PA=PB,∠APO=∠BPO. 说明:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的依据. 　　在探索问题的过程中,学生通过自主探索与合作交流,发现问题、归纳知识,并获得积极的、深层次的体验,从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总结能力. 活动 三: 探究 与 应用 　　问题:你能运用所学知识进行证明吗? 师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导. 图30-1-51 证明:如图30-1-51,连接OA,OB. ∵PA和PB是☉O的两条切线, ∴OA⊥PA,OB⊥PB. 又OA=OB,OP=OP, ∴Rt△POA≌Rt△POB, ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 由此得到切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如何根据图形,用符号语言描述切线长定理呢? 师生活动:学生根据定理的题设和结论,结合图形,进行回答,教师板书并补充. 符号语言:∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点, ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 拓展归纳: 如图30-1-52,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,交AB于点C. 图30-1-52 (1)图中所有的垂直关系:OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP. (2)图中与∠OAC和∠AOC相等的角:∠OAC=∠OBC=∠APC= ∠BPC,∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC. (3)图中所有相等的线段:PA=PB,AC=BC,OA=OB=OD. (4)图中所有的全等三角形:△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP. (5)图中所有的等腰三角形:△ABP,△AOB. 【理解应用】 例1　如图30-1-53,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,连接AB,若∠APO=30°,OP=2,求△PAB的周长. 图30-1-53 解:如图30-1-54,连接OA. 图30-1-54 ∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点, ∴PA=PB,∠APO=∠BPO,OA⊥PA. 又∠APO=30°,∴∠APB=60°, ∴△PAB是等边三角形,∴AB=PA=PB. 又在Rt△POA中,∠APO=30°,OP=2, ∴OA=1,PA=, ∴△PAB的周长为3. 　　在教师的引导下,学生能够熟练地解答问题,使切线长定理实用化,增强了学生数形结合的思想. 活动 四: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　如图30-1-55,PA,PB是☉O的两条切线,A,B分别为切点.若直径AC=12,∠P=60°,求弦AB的长.[答案:6] 图30-1-55 师生活动:学生先独立解决问题,然后小组内讨论后上台演示,教师要鼓励学生勇于探索实践,且重点关注学生的解题过程. 　　例题的设置加强了切线长定理与已学知识的综合应用,提升学生综合分析问题的能力. 活动 五: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.下列说法正确的是 (C) A.过任意一点可以作圆的两条切线 B.圆的切线长就是圆的切线的长度 C.过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所作的圆的切线长一定大于圆的半径 2.如图30-1-56,PA与☉O相切于点A,PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点C,下列结论中,错误的是 (D) 图30-1-56 A.∠1=∠2 B.PA=PB C.AB⊥OP D.∠PAB=2∠1 3.如图30-1-57,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC是☉O的直径,连接AB,BC,OP,则与∠PAB相等的角有(不包括∠PAB) (C) 图30-1-57 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图30-1-58所示,已知在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AB交于点E,与AC相切于点D. 求证:DE∥OC. 图30-1-58 　　当堂训练是为了让学生加深对所学知识的理解及运用,在问题的选择上以基础为主,疑难点突出,增加开放型、探究型问题,使学生思维得到拓展,能力得以提升. 活动 三: 课堂 总结 反思 证明:如图30-1-59,连接OD. 图30-1-59 ∵☉O与AC相切于点D,∴OD⊥AC,∴∠ODC=90°=∠B. 在Rt△OCD和Rt△OCB中, ∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL),∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED. ∵∠DOB=∠DOC+∠BOC=∠ODE+∠OED, ∴∠BOC=∠OED,∴DE∥OC. 师生活动:对学生进行当堂训练,学生完成后,教师进行个别提问,并指导学生解释做题方法,使学生在思考解答的基础上,共同交流,形成共识,确定答案. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的过程中,学生动手画图,通过全等证明,从而发现切线长定理,在学习过程中,以小组合作的形式为主,积极探究知识,掌握应用知识. ②[讲授效果反思] 引导学生运用数形结合思想. ③[师生互动反思] 从教学过程来看,采用小组教学和自主探究相结合的学习方式,对学生探究新知识十分有效,学生反应积极,小组内讨论热烈. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $