精品解析：河北石家庄市第二中学2026-2027学年高二上学期暑期摸底调研数学试卷

石家庄二中西校区高二暑假摸底调研 数学学科试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】充分性验证：若存在实数使得，且向量，都是非零向量，则， 根据向量数乘的几何意义，与方向相同（）或相反（），符合平行向量的定义，因此，充分性成立. 必要性验证：已知均为非零向量，若，根据共线向量基本定理，必然存在唯一实数，使得，必要性成立. 因此甲是乙的充要条件. 2. 以下说法正确的是（ ） A. 空间异面直线的夹角取值范围是 B. 直线与平面的夹角的取值范围是 C. 二面角的取值范围是 D. 向量与向量夹角的取值范围是 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A. 空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于选项B. 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于选项C. 二面角的取值范围是，故C错误； 对于选项D. 向量与向量夹角的取值范围是，故D正确. 3. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，求得两面涂有油漆的小正方体个数，根据古典概型概率公式，即可得答案. 【详解】一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体， 其中满足两面漆有油漆的小正方体有12×8=96个 所以从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率 故选：D 4. 设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意确定两两之间的夹角，然后根据模长公式求解即可. 【详解】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，所以，所以 所以. 故选：B 5. 在中，已知面积，，，则边的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】通过求出并结合余弦定理求边. 【详解】由面积公式，得，故或． 当时，由余弦定理，所以； 当时，，所以． 综上所述：或． 6. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线． 【答案】A 【解析】 【分析】通过空间想象直接可得. 【详解】如图，易知，所以，且， 所以为梯形，故与EF相交，A正确； 因为，所以，故B错误； 因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL， 所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误； 因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误. 故选：A 7. 已知，则向量在上的投影向量的模长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影的公式计算即可. 【详解】向量在上的投影向量的模长为. 故选：B. 8. 设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】底面是正方形的直棱柱是正四棱柱，底面是长方形的直棱柱是长方体， 底面是四边形的直棱柱是直四棱柱，底面是正方形的直棱柱，且侧面也是正方形的是正方体， 所以 . 9. 在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形推得，再由共线向量基本定理即可求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以， 因为是中点，故 ，则得， 因为三点共线，则，解得. 10. 平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 11. （多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点P与二面角的位置关系分析、推理判断作答. 【详解】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 12. 已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若、为相互独立事件，则 B. 若、为互斥事件，则 C. 若、为互斥事件，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式结合并事件的概率公式可判断A选项；利用互斥事件的概率公式可判断B选项；数形结合可判断C选项；利用事件的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、为相互独立事件，则， 故，A对； 对于B选项，若、为互斥事件，则，B对； 对于C选项，如下图所示： 因为、为互斥事件，则，结合图形可知，故，C错； 对于D选项，若发生时一定发生，则，故， 故，D对. 故选：ABD. 13. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系判定，需结合相关判定定理与性质定理逐一分析选项. 【详解】选项A：若，，则可能平行于，也可能，因此不一定成立，A错误； 选项B：若，，由线面垂直的性质可得，又，根据“垂直于同一直线的两个平面互相平行”，可得，B正确； 选项C：若，则内存在直线满足，又，故，进而可得，C正确； 选项D：若，，则或， 又，所以在平面内可找到一条直线垂直于， 由面面垂直的判定定理可得，D正确. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下面说法正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理角化边即可求解判断A；由大边对大角结合余弦定理求出最大角余弦值即可求解判断B；由余弦定理求出，接着求出即可由正弦定理求解判断C；由和即可求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理（R为外接圆半径） 得，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，所以，所以为钝角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以外接圆直径为，所以外接圆半径为，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，则， 又，所以，故D正确. 故选：AD 15. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】 【详解】若，则， 即，所以点是边的中点，故A正确； 若，则，即， 所以点在边的延长线上，故B错误； 设中点，若，则， 所以点是的重心，故C正确； 若，且，则， 设，则有且 可知三点共线，同时有为的中点， 则的面积是面积的，故D正确． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 已知复数满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，求得的取值范围. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点.的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，所以最小距离为，最大距离为.所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查复数模、复数减法的模的几何意义的运用，属于基础题. 17. 已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的性质可知内切球半径为，外接球的半径为，结合两边之差小于等于第三边即可得线段长度的最小值. 【详解】因为正方体的棱长为2，则该正方体的内切球半径为，外接球的半径为， 且这两个球同心，设为，则，， 因为，即，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以线段长度的最小值是． 【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征以及组合体的结构问题，着重考查了空间想象能力和转化与化归思想的应用，对于多面体的外接球问题常用方法有： 1.三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； 2.直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； 3.如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 18. 如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________. 【答案】## 【解析】 【详解】以为原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，， 所以，， ，即. 19. 乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则且甲获胜______________． 【答案】0.1## 【解析】 【详解】由题意可知，事件且甲获胜“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”， 所以则且甲获胜 故答案为：0.1. 四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （1）若，求b； （2）若，求b． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）依据余弦定理结合条件即得； （2）依据正弦定理结合条件即得. 【小问1详解】 由余弦定理，得， 解得（负值舍去）， 故. 【小问2详解】 由正弦定理，得， ∵， ∴或， 当时，，∴； 当时，，∴． 综上，或． 21. 已知平面向量，，． （1）①若，求；②若，求； （2）若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围． 【答案】（1）①或；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得； （2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 ，， ①若，则，即，解得或； ②若，则，解得或. 【小问2详解】 由，解得或， 又时，或， 若向量与的夹角为钝角，则或或， 故的取值范围为. 22. 如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形． （1）若，求线段的长； （2）当在对角线上运动时，用向量法证明始终有且． 【答案】（1） （2）证明:由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到各点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【小问1详解】 由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． 所以线段的长为. 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形是菱形，为的中点，平面，现沿将翻折至的位置，使得平面平面，且点和在平面同侧． （1）若，求直线与平面所成角的大小； （2）证明：平面． 【答案】（1） （2）因为F为的中点，∴， 又面面，∴平面， 又，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. 又平面，平面，∴平面，平面. ∴平面平面， 因为平面，所以平面. 【解析】 【小问1详解】 取中点O，连， 又，∴， 又∵平面平面，平面，平面平面. ∴平面，可得为所求角， 又平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又因为为的中点，可得， 设菱形的边长为2， 则，， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中西校区高二暑假摸底调研 数学学科试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 以下说法正确的是（ ） A. 空间异面直线的夹角取值范围是 B. 直线与平面的夹角的取值范围是 C. 二面角的取值范围是 D. 向量与向量夹角的取值范围是 3. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（ 　 ） A. B. C. D. 4. 设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 5. 在中，已知面积，，，则边的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 6. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线． 7. 已知，则向量在上的投影向量的模长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 11. （多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（ ） A. B. C. D. 12. 已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若、为相互独立事件，则 B. 若、为互斥事件，则 C. 若、为互斥事件，则 D. 若发生时一定发生，则 13. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下面说法正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 15. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且，则的面积是面积的 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 已知复数满足，则的取值范围为______. 17. 已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是________． 18. 如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________. 19. 乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则且甲获胜______________． 四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （1）若，求b； （2）若，求b． 21. 已知平面向量，，． （1）①若，求；②若，求； （2）若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围． 22. 如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形． （1）若，求线段的长； （2）当在对角线上运动时，用向量法证明始终有且． 23. 如图，四边形是菱形，为的中点，平面，现沿将翻折至的位置，使得平面平面，且点和在平面同侧． （1）若，求直线与平面所成角的大小； （2）证明：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $