精品解析：河北省邢台市部分高中2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026-2027年度高二数学上学期开学考试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 2. 数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 3. 阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 5. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 8. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，都是复数，下列选项中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则是实数 C. D. 若，则 10. 如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（     ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 当且时，S为等腰梯形 B. 当,分别为，的中点时，几何体的体积为 C. 当M为中点且时，S为五边形 D. 当M为中点且时，S与的交点为R，满足 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________________． 13. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14. 在中，内角 的对边分别为，已知，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求； （2）若，且，求与所成夹角的余弦值． 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 18. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成、、、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，并估计众数； （2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 19. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度高二数学上学期开学考试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得， 故. 2. 数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】已知数据共9个数，第三四分位数即为分位数，， 因此第三四分位数是第7个数：8. 3. 阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由圆柱与球的体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以. 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以或. 5. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 6. 已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系利用勾股定理即可求出外接球半径,进而求体积. 【详解】 如图,正四棱锥的外接球的球心在高上记为, ,, 在中,,解得, 所以外接球的表面积等于, 故选:B. 7. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 8. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，都是复数，下列选项中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则是实数 C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A根据复数模的性质判断可得；对B由共轭复数的定义及复数的加法运算可得；对C由共轭复数的定义及运算可得；对D通过举反例判断可得. 【详解】选项A：复数的模满足，若，则， 所以或，即或，故A正确. 选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确. 选项C：设（）， 左边， 右边，左右两边相等，故C正确. 选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部， 比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误. 10. 如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（     ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理和向量的加减法逐一计算即可判断． 【详解】由向量的平行四边形法则，得，故A错误； 由向量的平行四边形法则和三角形法则， 得 ，故B正确； 因为点在线段上，且，所以， 所以，故C错误； ，故D正确． 11. 正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 当且时，S为等腰梯形 B. 当,分别为，的中点时，几何体的体积为 C. 当M为中点且时，S为五边形 D. 当M为中点且时，S与的交点为R，满足 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间直线的位置关系，作辅助线，以及柱体锥体的体积表面积公式进行计算，对选项逐一分析，利用命题真假进行判断即可． 【详解】解：对于A，如图所示， ， 当且时，由面面平行的性质定理可得， 交线，且， 所以截面S为等腰梯形，A正确； 对于B，如图所示， ， 面，面， 故几何体的体积等于几何体的体积 又几何体的体积等于， 所以几何体的体积为正确，B正确； 对于C，如图所示， 当，即点重合时，此时截面S为四边形，不是五边形，C错误； 对于D，如图所示， 当时，延长交与点，连结交于点， ， ，D错误； 故选AB． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【详解】向量在方向上的投影向量的坐标为： . 13. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 14. 在中，内角 的对边分别为，已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，利用基本不等式得到，通过计算得解. 【详解】因为，所以， 又， 则，当时取等号， 故的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求； （2）若，且，求与所成夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得，得，即，所以； 【小问2详解】 由，得，即， 又因为，，所以，解得， 则与所成夹角的余弦值为． 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面 （2）证明：因为底面是正方形，为的中点，所以． 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以． 又，平面，，所以平面 【解析】 【分析】（1）通过证明，结合线面平行的判定定理证得平面； （2）通过证明、，结合线面垂直的判定定理证得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理化边为角后，可求得； （2）由余弦定理和正弦定理可得出关系，从而判断出是直角三角形，然后由三角形面积求得边长，再结合直角三角形的性质得结论. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得． 又，，则，． 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，则由余弦定理， 即． 又，由正弦定理， 则，所以． 所以，即是直角三角形． 则的面积，所以 所以． 18. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成、、、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，并估计众数； （2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 【答案】（1），众数为 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用面积和为计算可得,根据频率分布直方图可知众数为的中点值; （2）先计算成绩在、内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得. 【小问1详解】 由题意可得 ，解得. 根据频率分布直方图可知众数为的中点值. 【小问2详解】 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数分别为， 所以． 设学生成绩在区间内的数据记为、、、，学生成绩在内的数据记为、、、， 所以 . 19. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面．然后由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）过点作交于，证明为二面角的平面角，然后在直角三角形中求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，， 中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以， 又因为平面，所以平面， 而平面，所以， 所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $