专题03一元二次方程的根与系数的关系（专项训练）2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础概念、代数式求值、参数讨论三模块系统训练，提炼韦达定理应用及参数讨论方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|10题（含表达式辨析、直接计算）|韦达定理表达式辨析与直接应用|从概念本质出发，建立根与系数关系的基础认知| |代数式求值|10题（含x₁²+x₂²等变形）|代数式变形（如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂）|由直接计算过渡到公式变形，深化定理应用能力| |含参数讨论|10题（含易错题、2024中考题）|判别式与韦达定理结合讨论参数范围|综合运用定理与判别式，构建“条件-推理-结论”逻辑链条|

专题03一元二次方程的根与系数的关系 北师大版新教材 | 含易错题·2024-2026中考典型题 一、基础概念辨析（共10题） 1. 若关于x的一元二次方程的两根为x₁、x₂，则根与系数的关系（韦达定理）的正确表达式是（ ） A． B． C． D． 2. 判断：对于一元二次方程，根与系数关系满足，该说法是否正确（填“正确”或“错误”）__________ 3. 一元二次方程的两根之和为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4. 若一元二次方程的一个根是 1，利用根与系数关系求另一个根为__________ 5. 若一元二次方程的两根之积为 -6，则m的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6. 已知一元二次方程，若两根之和为，则a的值为__________ 7. 已知x₁、x₂是方程的两根，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 8. 已知关于x的一元二次方程有一个根是 0，利用根与系数关系求另一根为__________ 9. 若一元二次方程，则两根之积为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 10. 一元二次方程的两根之和为 5，则两根之积为__________ 二、代数式求值（共10题） 11. 已知x₁，x₂是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 12. 设x₁，x₂是方程的两个根，求的值。 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，求k的取值范围。 14. 已知m，n是方程的两个实数根，求的值。 15. 若x₁，x₂是方程的两根，求的值。 16. 已知α，β是一元二次方程的两根，求的值。 17. 设方程的两根为x₁和x₂，求的值。 18. 已知一元二次方程的两根为x₁、x₂，求的值。 19. 已知x₁、x₂是关于x的方程的两根，满足，求k的值。 20. 若a≠b，且，，求的值。 三、含参数讨论（共10题） 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x₁，x₂，求实数k的取值范围。 22. （2024中考）已知关于x的一元二次方程。若方程两实根满足，求m的值。 23. 已知关于x的一元二次方程，设x₁，x₂是方程的两个根，且满足，求k的值。 24. 已知关于x的方程有两个实数根x₁，x₂，若，求m的值。 25. （易错题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 26. 已知一元二次方程有实数根x₁，x₂，且，求m的取值范围。 27. （2025模拟）已知关于x的方程。设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，若，求a的值。 28. 已知x₁、x₂是一元二次方程的两根，且满足，求k的值。 29. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。 30. 已知关于x的一元二次方程的两实数根的平方和等于 9，求m的值。 专题03一元二次方程的根与系数的关系 参考答案 一、基础概念辨析 1. B 2. 错误 3. A 4. 5. B 6. 2 7. A 8. 9. D 10. 6 二、代数式求值 11. B；解析：由韦达定理得， 12. 解：由韦达定理得， ，答案为6 13. 解：方程有两个实数根，判别式 由韦达定理得，代入不等式得，无解，因此不存在满足条件的k 14. 解：由韦达定理得 ，答案为-7 15. 解：由方程得，因此 由韦达定理得，因此原式，答案为1 16. 解：由韦达定理得， 原式+=4（+）=8 17. 解：，答案为17 18. 解：， ，答案为 19. 解：， 整理得，判别式< 0，无解，不存在满足条件的k 20. 解：由题意a,b是方程的两根，所以， 又，所以， 答案为1 三、含参数讨论 21. 解：判别式 ，解得 22. 解：由韦达定理得，代入， 得 23. 解：方程是一元二次方程，所以k≠1，判别式恒成立， 由韦达定理得， 条件化简得， 整理得 =2或，均满足≠1，所以答案为=2或 24. 解：判别式， ， ， 解得，满足条件，所以 25. C；解析：判别式→ m<1，x₁x₂=m²-1>0 → m>1或m<-1，所以m<1且m≠-1 26. 解：判别式Δ=36-4(2m+1)=32-8m≥0 → m≤4， 韦达定理得x₁+x₂=6, x₁x₂=2m+1，代入不等式得2(2m+1)+6≥20 → 4m+8≥20 → m≥3，所以3≤m≤4 27. 解：x₁+x₂=-a, x₁x₂=a-2，整理条件得x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²+x₁x₂-6 → (x₁+x₂)²-2x₁x₂=(x₁+x₂)²+x₁x₂-6 → -3x₁x₂=-6 → x₁x₂=2， 所以a-2=2 → a=4，验证判别式Δ=a²-4(a-2)=16-8=8>0符合条件，所以a=4 28. 解：x₁²-3x₁-1=0 → x₁²=3x₁+1，同理x₂²=3x₂+1，代入等式得： k(3x₁+1)-9x₁ + 3x₂+1 - 4=0 → (3k-9)x₁ + 3x₂ + (k-3)=0，整理得3(k-3)(x₁+1) + 3x₂=0 → (k-3)(x₁+1)+x₂=0，又x₁+x₂=3 → x₂=3-x₁，代入得(k-3)(x₁+1)+3-x₁=0 → (k-4)x₁ + k=0 → x₁= ，又因为方程根为，解得k=4（舍去，原式不成立）或k=2，验证成立，所以k=2 29. 解：不存在，理由：判别式Δ=(k+2)²-4k·=4k+4>0 → k>-1，且k≠0， 假设存在满足条件的k，则 → x₁+x₂=0，由韦达定理得x₁+x₂==0 → k=-2，不满足k>-1，所以不存在 30. 解：x₁+x₂=-(2m+1), x₁x₂=m²-1， x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2m+1)²-2=2m²+4m+3=9 → 2m²+4m-6=0 → m²+2m-3=0，解得m=1或m=-3， 判别式Δ=(2m+1)²-4=4m+5≥0 →m≥，所以m=-3舍去，故m=1 1页 学科网（北京）股份有限公司 $