周测03 正方形的性质与判定 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，融合中考真题（如山东青岛中考题）及跨年级综合题，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配九年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|菱形矩形判定、正方形对角线性质、坐标系应用|结合思维导图（题4）考特殊四边形关系，体现知识结构化| |填空题|6/18|中点四边形周长、正方形中心面积、折叠问题|题11多正方形拼接求阴影面积，考查空间观念| |解答题|6/58|正方形判定（题15）、折叠与面积计算（题16）、综合证明（题18）|题19以绿地情境设计问题链，融合推理能力与应用意识|

2026-2027学年度北师大版数学九年级上册 周测 周测03 正方形的性质与判定 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（2026·浙江·中考真题）下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四个角相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】选项A，任意四边形的内角和均为，该命题为真命题，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意； 选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意； 选项D，四边形内角和为，若四个角相等，则每个角的度数为，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。 2．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）下列命题：①平行四边形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③菱形的对角线互相垂直；④正方形的对角线相等且互相垂直．其中是真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①平行四边形的对角线相等，是假命题． ②矩形的对角线相等，是真命题． ③菱形的对角线互相垂直，是真命题． ④正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题． ∴真命题的个数是3个． 3．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可看出所处的正方形的面积等于直角三角形的短直角边的平方，已知斜边和另一较长的直角边的平方，则不难求得字母所代表的正方形面积． 【详解】解：根据正方形面积与边长的关系可知，图中直角三角形的长直角边的平方为64，斜边的平方为100， 根据勾股定理，该直角三角形的短直角边的平方， ∴字母所代表的正方形面积是． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三个内角为直角判定四边形为矩形，再筛选能使矩形成为正方形的选项． 【详解】解：， 四边形是矩形． ，，选项的条件均为矩形的固有性质，无法推出该四边形是正方形． 选项中，可推出该四边形是正方形． 5．（2026·湖南长沙·中考真题）“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 6．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）正方形纸片的边长为12，点G在边上，连接，点E在边上，沿折叠该纸片，使点B落在上的F点，折痕与交于点H，若，则的长为（     ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的性质可证明，则有，，再利用面积关系求得，进而由折叠的性质可求得，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∴． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件：______可使菱形变为正方形．（写一个即可） 【答案】（或，答案不唯一） 【详解】解：添加可使菱形变为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）； 或添加，可使菱形变为正方形（对角线相等的菱形是正方形）． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出正方形边长的平方，根据正方形面积等于边长的平方，即可得出结果． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， 由勾股定理得， 正方形的边长为，正方形面积等于边长的平方， 正方形的面积为． 9．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为________． 【答案】8 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ． 10．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形、按照如图所示的方式放置，点、、、和点、、、分别在直线和轴上，已知，，，则的纵坐标是_____． 【答案】 【分析】先求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得点的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将点，代入直线得， ，解得， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴，即， 归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为，其中为正整数， ∴的坐标是． 则的纵坐标是． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即……………2分 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形；……………4分 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，……………6分 ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴．……………8分 12．（10分）（26-27九年级上·安徽池州·开学考试）如图1，在正方形中，点在边上，于，于． (1)求证：； (2)如图2，若为的中点，判断的形状，并证明． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，……………2分 ∵， ∴，……………4分 ∴；……………5分 (2)解：为等腰三角形，证明如下： 过作于点， ∴， ∴，……………6分 ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，……………8分 ∵为的中点， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．……………10分 【分析】（1）利用正方形的性质得出，，再利用直角三角形两个锐角互余得出进一步得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）过作于点，同（1）证明，由全等三角形的性质得出，，设，，进一步得出，即可得出，则为等腰三角形． 【详解】（1）略； （2）略； 13．（12分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)……………2分 (2)，理由如下： ∵四边形是正方形，且， ∴有，即， ∴在和中有， ∵， ∴，……………4分 ∴．……………5分 (3)猜想：， 证明： 过点G作，交线段于点P， 由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴， ∵， ∴有，即，……………7分 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，……………8分 ∴在和中有， ∵， ∴，……………10分 ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴．……………12分 【分析】（1）根据翻折的性质找出垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可． （2）利用（1）的信息找出等角，进而找出全等三角形即可． （3）根据翻折的性质找出垂直平分线，得出，通过（2）的启发构造全等三角形转化线段，再结合正方形四边相等的性质进行代换即可. 【详解】（1）由翻折的性质可得由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴． （2）略． （3）略． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大版数学九年级上册 周测 周测03 正方形的性质与判定 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等且互相平分的四边形是正方形 C．有一组对边相等的四边形是平行四边形 D．邻边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形的判定定理，原说法正确，符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等互相平分且垂直的四边形才是正方形，原说法错误，不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形才是平行四边形，仅一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，原说法错误； D、邻边相等且有一个内角是直角的四边形，不满足矩形的判定条件，不一定是矩形，原说法错误，不符合题意． 2．（25-26七年级下·广东河源·期末）为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形的性质和证明重叠处两个小三角形全等，实现面积等量代换，可推得单个重叠区域面积为正方形面积的​，两处重叠面积总和就是边长为的正方形面积的． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，D是斜边的中点，， ， 正方形的面积为． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，结合思维导图中平行四边形到矩形、菱形的判定条件进行综合分析即可 【详解】解：由思维导图可知： 平行四边形矩形， 平行四边形菱形， ∵ 正方形既是矩形又是菱形， ∴ 平行四边形直接判定为正方形，需要同时满足“对角线相等”和“对角线互相垂直”， 即图中“▲”处应填写“对角线互相垂直且相等”． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，分别是和的中点，即可得到是的中位线，故的长即为的长的一半，在中，根据勾股定理求得的长，即可得出结论． 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 7．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形中点的坐标为则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴. 8．（2026·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长． 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到． 【详解】解：正方形中，， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为______． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得到所得四边形各边与原矩形对角线的数量关系，再结合矩形对角线相等的性质计算所得四边形的周长． 【详解】解：设原矩形为， 由于矩形对角线相等，故， ∵，，，分别为，，，的中点， 根据三角形中位线定理，可得：，，，， 因此所得四边形的周长为． 11．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．点的坐标是________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据正方形性质得出，，利用同角的余角相等证得，进而利用证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长，结合点所在象限即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ，， 四边形为正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 13．（2026·江苏无锡·中考真题）已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点的坐标，再利用勾股定理计算的长度. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵正方形边长为， ∴，，，； ∵是的中点， ∴的坐标为， ∵是的中点，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴. 14．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据对称性找到点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，根据两点之间线段最短，当点、、三点共线时，取得最小值，利用平行四边形、矩形、菱形的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】解：过点B作，作点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，交于点． ∵点E和点关于直线对称， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， 同理，四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（6分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即，……………1分 ∴四边形为平行四边形形，……………2分 又， ∴四边形为菱形，……………4分 ∴， ∴， ∴四边形为正方形．……………6分 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】略 16．（8分）（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) ，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，，……………1分 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ，……………2分 ， ∴，……………3分 ；……………4分 (2)，设，则，， 根据勾股定理得， 即，……………5分 解得， ，，……………7分 ∴ ．……………8分 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 17．（10分）（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴，……………2分 又∵， 在和中， ， ∴．……………4分 (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴，……………5分 ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴，……………6分 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，……………8分 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形．……………10分 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 18．（10分）（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，……………1分 ∵点，分别是和的中点， ∴，……………2分 ∴， ∴；……………4分 (2)∵， ∴，……………5分 ∵四边形是正方形， ∴，……………6分 ∵， ∴， ∴，……………8分 ∴， 即．……………10分 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 19．（12分）（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：． (2)【问题解决】如图2，有一块边长为的正方形绿地，凉亭、（大小忽略不计）分别在边，上，，是两条观光小径．已知，小径的长度为求凉亭到绿地边的距离． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用三角形全等对应边相等即可． （2）利用三角形全等对应边相等得到边相等，再利用勾股定理计算边长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴，……………3分 ∴．……………4分 （2）解：如图，连接，延长至点，使．……………5分 ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，……………7分 ∴．， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，……………9分 ∴． 在中，，根据勾股定理得 ∴． ∴，, 设，则， ， 在中，，……………11分 ∴，解得， 故凉亭到绿地边的距离为．……………12分 20．（12分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则______． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，……………2分 ∵在和中， ， ，……………3分 ；……………5分 (2)①证明：如下图所示，过点作垂足为点，垂足为点， 则， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由（1）可知， ∴，……………6分 ∵， ，……………7分 在和中， ， ，……………8分 ， 四边形是正方形，……………9分 平分；……………10分 ②……………12分 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）①过点作垂足为点，垂足为点，可证四边形是矩形，由（1）可知，又因为点是的中点，可证，证明，根据全等三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形，根据正方形的性质可证结论成立； ②以点为原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可以求出的长度，利用即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 正方形边长为， ， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 点是的中点， ， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大版数学九年级上册周测 周测03正方形的性质与判定 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级下·重庆·期末)下列说法正确的是() A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B.对角线相等且互相平分的四边形是正方形 C.有一组对边相等的四边形是平行四边形 D.邻边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形 2.(25-26七年级下·广东河源期末)为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为lm的正方形按如 图所示的方式摆放，4，么分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为() A.cm B.Icm2 C.cm D.2cm2 3.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形 ADEF.若BC=10,则正方形ADEF的面积为() A.10 B.15 C.25 D.100 4.(25-26八年级下·江苏扬州期末)下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱 116 形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是() 对角线相等→ 矩形 对角线互相垂直 平行四边形 正方形 对角线互相垂直 菱形 对角线相等 A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线垂直且相等 D.对角线互相垂直 5.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF∥BC, 分别交AB,CD于点E,F,连接OB,OD.若OF=2,AE=3,则图中阴影部分的面积为() D E A.5 B.6 C.7 D.8 6.(25-26八年级下山西大同期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中 点，连接AE,AF,EF,M,N分别为AE,AF的中点，连接MN,则MN的长为() M N B A.1 B.V2 D.2V2 7.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC中C点的坐标为 4则 A点的坐标为() 216 A.（2,4) B.(2,-4) c.（4,2) D.(4,-2) 8.(2026山东青岛中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AD边上一点，将△ABE沿BE 所在直线折叠得到△HBE,DH的延长线交BC于点F,若∠DEH=60°，则FC的长为(). D H A.4-2V5 B.1 C.8-4V5 D.2V35-2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9,(25-26八年级下河南周口：期末)正方形对角线BD的长是4 2则正方形边长4B为 D 10.(25-26八年级下·四川泸州·阶段检测)已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边 形的周长为一· 11.(2026广东中山模拟预测)如图，边长分别为8,4,2的正方形拼接在一起，B、CD三点分别是 正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 316 A 12.(25-26九年级上河北邯郸开学考试)将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，点 D(0,-)C(3,0 点 .点B的坐标是 D 13.(2026江苏无锡中考真题)已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则 DF=」 14.(25-26八年级下江苏南京期末)如图，在菱形ABCD中，AD=3,BD=2,E为线段AC上的动点， 四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 D B 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(6分)(25-26九年级上陕西西安阶段检测)如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O,E,F是对 角线AC所在直线上的两点，且∠BEC=45°，AE=CF,连接BE,ED,DF,BF,得四边形BEDF,求 证：四边形BEDF是正方形. 416 D A B 16.(8分)(2425八年级下广西河池期末)如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，将 △DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得到△DFE,延长DF交AB于点G. (I)判断BG和FG的数量关系，并说明理由； (2)求四边形BEFG的面积. 17.(10分)(2026山东青岛中考真题)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,F是BC的中点，过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G. E D (I)求证：△BFG≌△CFE: (②)若∠A=90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论 18.(10分)(25-26八年级下重庆秀山期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是AB和 CB的中点，连接DE和DF D M E 516 (I)求证：△ADE≌△CDF: (2)连接AC,分别交DE,DF于点M,N.求证：NF=ME, 19.(12分)(25-26八年级下·陕西榆林·期末)【问题提出】 AF E B B 图1 图2 (I)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE,求证： CE=CF」 (2)【问题解决】如图2，有一块边长为7m的正方形绿地ABCD,凉亭E、F(大小忽略不计)分别 在边1B,MD上，CE,CF是两条观光小径.已知∠BCF=45°，小径CF的长度为65 求凉亭E 到绿地边BC的距离BE. 20.(12分)(25-26八年级下江苏南京期末)在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边AD上， 连接CE,BF交于点G,CE⊥BF D E B P 图① 图② (1)如图①，求证：AF=BE: (2)如图②，若点E是AB的中点，连接AG并延长交BC于点P. ①求证：GA平分∠EGF: ②若正方形ABCD边长为4，则CP=一· 6162026-2027学年度北师大版数学九年级上册周测 周测03正方形的性质与判定 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(2026浙江中考真题)下列命题为假命题的是（) A.四边形内角和等于360° B.平行四边形对角线互相平分 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.四个角相等的四边形是菱形 2.(25-26八年级下重庆荣昌·期末)下列命题：①平行四边形的对角线相等：②矩形的对角线相等：③ 菱形的对角线互相垂直：④正方形的对角线相等且互相垂直.其中是真命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级下·云南红河期末)如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方 形的面积，则图中字母A所表示的正方形的面积为() A 64 100 A.8 B.4 C.64 D.36 4.(25-26八年级下·河南南阳期末)已知四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件即可 推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是() A.∠D=90° B.AC=BD C.AD=BC D.AB=BC 5.(2026湖南长沙中考真题)“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了 我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由与 Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD,中间的部分是一个小正方形，过 正方形ABCD的顶点作正方形EFGH,且EF⊥OB.若中间最小的正方形的面积为1，AB=5,则正 方形EFGH的面积为() 114 D G A.25 B.36 C.49 D.64 6.(25-26九年级下江苏镇江阶段检测)正方形纸片ABCD的边长为12，点G在边AD上，连接BG, 点E在边AB上，沿CE折叠该纸片，使点B落在BG上的F点，折痕CE与BG交于点H,若AG=5, 则GF的长为() H B B. 49 59 A.3 C.13 D.5 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26八年级下陕西榆林期末)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,添加一个条件：可 使菱形ABCD变为正方形ABCD.(写一个即可) 8.(25-26八年级下·云南曲靖期末)在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,以AB为边 作正方形ABDE,则正方形ABDE的面积为一 9.(25-26八年级下山东聊城期末)如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM⊥AC, PN⊥BD,垂足分别为点M、N,若BD=16,则PM+PN的值为 214 M 10.(25-26八年级下山东济宁·期末)如图，正方形 B,C0、4B,C,G“按照如图所示的方式放置，点 A、4、4、“和点G、C、G、“分别在直线=c+>0叭和辅上，已知B(四，属3,2) 8(,4）,则B,的纵坐标是— A3∠ B 42 B2 A O C C2 G 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11.(8分)(25-26九年级上广东河源阶段检测)在菱形ABCD中，E,F是对角线BD所在直线上的两 点，且∠AED=45,DF=BE,连接CE,AE,AF,CF, (1)求证：四边形AECF是正方形： 2)若BD=4,BE=3,求CD的长 12.(10分)(26-27九年级上·安徽池州开学考试)如图1，在正方形ABCD中，点E在BC边上， BF⊥AE于F,DG⊥AE于G, 314 G 图1 图2 I)求证：AG=BF: (②)如图2，若E为BC的中点，判断△CDG的形状，并证明. 13.(12分)(25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末)四边形ABCD是一张正方形纸片，点E为边 BC上一点，如图L,将△ABE沿AE翻折得到△ABE,点B的对应点为B',将纸片展平后，连接BB 并延长交边CD于点F,交AE于点M, A D A G D B M M B B E B E 图1 图2 (I)∠AMB= (②)折痕AE与BF存在什么数量关系，并说明理由： B)如图2，点G为边AD上一点，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形AB'EG,点A的对 应点为点A,点B的对应点为点B,将纸片展平后，连接BB交边CD于点F,请你猜想线段AG, CE,DF之间的数量关系并证明， 414