周周练02 1.3～1.4矩形的性质与判定、正方形的性质与判定（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 聚焦矩形与正方形性质判定，通过基础辨析、动态探究及综合实践，分层考查几何直观与推理能力，适配九年级周测阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|中点四边形判定、矩形对角线性质、正方形折叠|第7题结合对称求周长，考查空间观念| |填空题|4/16|矩形面积计算、正方形坐标确定|第14题坐标系中正方形顶点定位，体现数学眼光| |解答题|9/98|矩形证明、网格作图、动点面积|第25题综合实践三问递进，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测02 1.3～1.4矩形的性质与判定、正方形的性质与判定 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 2．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 5．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 7．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 9．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 10．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是__________． 14．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．点的坐标是________． 15．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为______． 16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题,共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（10分）．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形． 18（12分）．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上，下列要求所画的图形的顶点都在格点上． (1)在图1中以为边，画一个面积为6的平行四边形． (2)在图2中以为边，画一个面积为4的菱形． (3)在图3中以为边，画一个正方形． 19（10分）．如图，在梯形中，，，交于点，，求证：四边形是正方形． 20（10分）．如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 21（10分）．如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22（10分）．小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 23（12分）．如图，正方形的边长为，动点从点出发沿的方向运动到点停止，在此运动过程中，设的面积为，点运动的路程为． (1)当点在边上时，_________； (2)当点在边上时（点不与点重合），求与之间的函数解析式，并在平面直角坐标系中，直接画出此函数的图象． 24（12分）．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 25（12分）．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． (1)【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年九年级上学期数学周周测02 1.3~1.4矩形的性质与判定、正方形的性质与判定 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是 () A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC、BD相交于点O: D 四边形 为菱形， ABCD ∴.AC⊥BD 点E,F,G,H分别是菱形ABCD四边的中点， EF=IAC ∴.EF∥AC: 2 同理可证：FGI BD:GHMC,GH=2 AC, .EF∥GH,EF=GH, .四边形EFGH为平行四边形： :EF∥AC,FGI‖BD,AC⊥BD .∠EFG=90°， ∴.四边形EFGH为矩形. 2.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AO=3cm,则BD的长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【答案】D 【详解】解：如图， 1/26 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D 四边形 是矩形 C ABCD 1 .AC=BD, AO= 又A0=3cm, .BD=2A0=2×3=6(cm) 3.如图，在△ABC中，AB⊥BC,垂足为B,点D是AC的中点，连接BD,若AC=6,则BD的长为 () A D B A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【详解】解：：AB⊥BC, :.△ABC是直角三角形， :点D是AC的中点，AC=6, :BD=)4C=x6=3 1 2 2 4.如图，I∥m,矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠a等于() 65 m 2/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.10° B.25 C.35° D.无法计算 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作CE∥1，设CD与I交于点F, D 65° E C m B :.∠ECD=∠CFG=65°， ,四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°， .∠BCE=∠BCD-∠ECD=25°， l∥m, 2.CEllm, ∴.∠a=∠BCE=25o 5.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是边CD的中点.若OB=5,OM=3,则线段CD的 长为() D M A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】A 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠ADC=90° ~O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OB=5, ∴.OA=OC=OB=5 3/26 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :M是边CD的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴.OM∥AD,CD=2CM, ∴.∠OMC=∠ADC=90°， :0M=3, CM=VOC2-0M2=V53-32=4 ..CD=2CM=8 6.如图，在矩形 ABCD 中，对角线4C、BD相交于点0.若40B=60,B=5,则BC长是) A.2 B.3 C.25 D.4 【答案】B 【详解】解：在矩形ABCD中，01-4C,0BBD,AC=BD,ABC=90。 ∴.OA=OB, ∠AOB=60°， △AOB是等边三角形， ..AB=OA=OB=3 .AC=20A=2N3, 在R△4BC中，BC=VAC-AB=23-(3=3 7.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点，F是BD上一点， 连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是() D 4/26 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.22 B,2+V2 c.4-2 D.② 【答案】A 【详解】解：，四边形ABCD为正方形 .CD=CB=2,∠BCD=90°， BD=CD2+CB=22 :△DEF与△DEC关于直线DE对称， ..DC=DF=2 EC=EF BF=22-2 ∴.△BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+EC =BF+BC =22-2+2 =2V2 8.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于2AC的长为半径作弧， 两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E,若DE=6,CE=10,则该矩形的周长() M E A.32 B.24 C.48 D.50 【答案】C 【详解】解：连接AE, 5/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 由作图知，MN垂直平分AC, ..AE=CE=10 在矩形ABCD中，DE=6, ∴.∠D=90°，DC=DE+CE=16 AD=√AE2-DE2=V10-62=8 ∴AD=CB=8,DC=AB=16 则该矩形的周长(8+16)x2=48 9.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1,则正方形ABCD的对角线的长为 () A.2V2 B.4 C.8 D.&V2 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD, 6/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B D :在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1, .∠A=90°，AB=AD, .AD2=AB2=BE2-AE2=32-1=8, BD=VAB2+AD=4 ∴正方形ABCD的对角线的长为4. 10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，连接AE,AF,EF,M, N分别为AE,AF的中点，连接MN,则MN的长为() M A.1 B V2 C.2 D.22 【答案】B 【详解】解：~在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点， .CF=2,CE=2, 在RtCEF中，EF=V22+2=22 :点M,N分别是AE和AF的中点， ∴.MN是△AEF的中位线， w-号n-x25-5 I1.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上的中点，连接DE,将△ADE沿直线DE翻折得到 7/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AFDE DF BC G CF △CFG ，延长交于点，连接，则的面积为() D B G 16 24 A.5 B.5 c.5 D.6 【答案】B 【详解】解：连接EG,如图， D F B G 四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=AD=8,∠A=∠B=∠BCD=90°， :点E是AB边上的中点， B=5=号8=4， :△ADE沿直线DE翻折得到△FDE .AD=FD=8,AE=FE=4,∠DFE=∠A=90°， ∴.EF=BE=4,∠EFG=180°-∠DFE=90°， 在RtAEGB和RtAEGF中， EG=EG EB=EF ∴.RtAEGB≌RtAEGF(HL) ..BG=FG. 8/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设GF=BG=x,则CG=BC-BG=8-x,DG=DF+FG=8+x, :在RIACDG中，CG+CD2=DG, :(8-+8=(8+),解得x=2, .GF=2,CG=6.DG=10. 8a0-2x8×6=24, GF:GD=2:10=1:5. :aCFG的面积aDCG的面积=GF:DG=2:I0=1:5, aCFG的面积写×24=24 5· 12.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,动点p满足S.Ps-Sem, 则点P到AB两点距离之 和PA+PB的最小值为() D B.V34 C.4 D.5V2 【答案】C 【详解】解：设点P到AB的距离为h, :S,pMB=3S矩形MBCD,AB=5,AD=3, 3 2×5h=x5x3 1 1 3 解得h=2, .如图，动点P在平行于AB且与AB之间的距离为2的直线上， 设直线I与AD交于点F, 9/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E ,四边形ABCD是矩形， AD⊥AB, .PF⊥AD, .AF=2, 延长AF至点E,使得EF=AF=2,连接PE,BE, ∴.PF垂直平分AE,且AE=AF+EF=4, .PE=PA, ∴.PA+PB=PE+PB, 由两点之间线段最短可知，当B,P,E三点共线时，PE+PB的值最小，最小值为 BE =AB2+AE2=52+4=41 即PA+PB的最小值为V4I: 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△COD是等边三角形，AB=2cm,则口ABCD的面积是 cm2 4V5 【答案】 【详解】解：如图所示： D :四边形口ABCD是平行四边形， 10/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AB=CD=2cm,OA=OC,OB=OD, ,△COD是等边三角形， .OC=OD=CD=2cm. ..AC=20C=4cm,BD=2OD=4cm, .AC=BD ∴.ABCD是矩形， ∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=VAC2-AB2=V4P-2cm=25cm :,m=4B-BC=2x23cm2=45cm2 14.将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，点 0),点C3,0).点8的坐标是 C 【答案】 (2,3) 【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于点E, Ea D D0-C3,0) 11/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OD=1,0C=3, ~四边形ABCD为正方形， ∴.BC=CD,∠BCD=90°， ∴.∠BCE+∠DCO=90°， :BE⊥x轴， ∴.∠CEB=∠COD=90°. .∠BCE+LCBE=90°， .∠CBE=∠DCO, 在△BCE和△CDO中， ∠CEB=∠DOC ∠CBE=∠DCO BC=CD ∴.ABCE≌ACDO(AAS) ..BE=OC=3,CE=OD=1. .OE=OC-CE=3-1=2, ·点B的坐标为 (2,3) 15.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,延长BD至点E,使DE=OD,连接AE,点F为 AE的中点，连接OF.若AB=4,则OF的长为一· 【答案】 v10 【详解】~四边形ABCD是正方形， ∴.∠AOD=∠AOB=90°，BD=AC, ∴.AO=BO=OD 12/26 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :点F为AE的中点， .:DE=OD, ∴.OE=2OD=2OB, AB=4,A0=BO ∴.AB2=AO2+B02=2BO2 .16=2B02 .OA=B0=2N2,0E=4V2 ...AE=402+0E2=210 ∴.OF=5AE=V10 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,∠DBC的平分线BE交CD于点E,EF⊥BD于点F.点 G为BE的中点，连接AG,则AG的长为 D E G B C v85 【答案】3 【详解】解：，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4, :BC=AD=4,AB=CD=3,∠ABC=∠C=90°， BD-VAB+AD=5 ,EF⊥BD, 13/26 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .∠BFE=∠C=90°， :∠DBC的平分线BE交CD于点E, ∴.∠FBE=∠CBE, ..BE BE, △FBE≌ACBE(AAS) .BF=BC=4,EF=EC, .FD=BD-BF =1, 设EF=EC=x,则DE=3-x, DE2 =EF2+DF2, 4 ∴(3-x=x2+P,解得：x=3, :R=c- 如图：取BC的中点A,连接HG则H=HC=)BC=2, 】 E B H 点G为BE的中点， 六HG∥Ec,HG=)EC=2 3 ∴∠GHB=∠C=90°， 如图：过G作GI⊥AB于1，则∠GHB=∠BIG=∠ABC=90°， ∴四边形BHG是矩形， 六G=B明=2，B=HG= .Al AB-BI=3- 27 33 14/26 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 - 3 三、解答题：本题共9小题共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17(10分).如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥DC,AB⊥AD,求证：四边形ABCD是矩形 A D 【答案】 证明：AB⊥AD, ∴.∠A=90°， :AB∥DC, .∠D=180°-∠BAD=90°， 又∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形 18(12分).图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点 叫作格点，线段AB的端点均在格点上，下列要求所画的图形的顶点都在格点上 图1 图2 图3 (I)在图1中以AB为边，画一个面积为6的平行四边形ABCD (2)在图2中以AB为边，画一个面积为4的菱形ABEF, (3)在图3中以AB为边，画一个正方形ABMN」 D 【答案】(1) 图1 15/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)B 图2 3)1 图3 19(10分).如图，在梯形ABCD中，ADI‖BC,∠A=90°，DEI‖AB交BC于点E,AB=BE,求证： 四边形ABED是正方形. B E 【答案】证明：~AD∥BC,DE∥AB」 .四边形ABED是平行四边形， ∠A=90°， ∴四边形ABED是矩形， AB=BE, ∴.四边形ABED是正方形 20(I0分).如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE交对角线AC于点E,EM⊥AB于点M, EN⊥BC于点N,求证：四边形BMEN是正方形. D M E B 【答案】证明：，四边形ABCD是矩形， 16/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=90°， :EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N, ∴.∠BME=∠BNE=90°， .四边形BMEN是矩形， :BE是∠ABC的平分线，且EM⊥AB,EN⊥BC, ∴.EM=EN, ∴，四边形BMEN是正方形. 21(I0分)·如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥BC于点E,连接 CD E B a求证，DE-号C (2)若AC=8,BC=6,求CD的长 【答案】(I)证明：“∠ACB=90°，D是AB的中点， .AD=DB=CD-7 AB .△DCB为等腰三角形， DE⊥BC, DE是△DCB中线， E是BC中点， D是AB的中点， ∴.DE是△ACB的中位线， :DE=1AC 2 (2)解：AC=8,BC=6,∠ACB=90°， ∴在R△ABC中，AB=VAC2+BC=V82+6=10 17/26 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可得CD=)AB=x10=5 1 2 22(10分).小佳自编一题如下： 如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，BE=DF, 求证：四边形EBFD是菱形， E D 小辰认为还需补充一个条件才能证明. 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明. 【答案】赞同小辰，补充条件：BE=BF, 证明：：四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠C=90°AB=CDAD=BCAD‖BC 在Rt△ABE和RtACDF中， BE=DF AB=CD RtABE≌RtACDF(HL) .CF=AE. AD-AE=BC-CF,即ED=BF, ED∥BF ∴.四边形BEDF为平行四边形， BE=BF, ∴.四边形BEDF为菱形 23(12分).如图，正方形ABCD的边长为2Cm,动点P从B点出发沿B-C-D的方向运动到点D停止， 在此运动过程中，设△MDP的面积为y(cm)】 点P运动的路程为x(cm) 18/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A 4 P 3 2 1 B 0123456x (1)当点P在BC边上时，y= (2)当点P在CD边上时（点P不与D点重合），求y与x之间的函数解析式，并在平面直角坐标系中，直 接画出此函数的图象。 【答案】(1)2 ②少+4 (2≤x<4) 画出函数图像，如图所示： 3 2 1 0123456x 【详解】(1)解：如图所示，点P在BC边上， D C.y-4D:AB-x2x2-2 2 (2)解：如图所示，P在CD边上， 19/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 由题意得，BC+CP=x, .PD=4-x. 1 AD:PD=5X2X(4-X)=4 025x4 图略. 24(12分).平面直角坐标系中，矩形纸片OBCD按如图的方式放置.己知OB=10,BC=6,将这张纸 片沿过点B的直线折叠，使点O落在边CD上，记作点A,折痕与边OD交于点E. D E 0 B (1)求AC的长： (2)求点E的坐标及直线BE的函数关系式： (3)若点P是x轴上的一点，直线BE上是否存在点Q,能使以A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)8 03) 。10 y=- 10 +3 82-86)0(28-6) 【详解】(1)解：，四边形OBCD是矩形， ∴∠DCB=90° OB=10,BC=6, 20/26 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由折叠性质得OB=AB=10, ·4C=VAB2-BC2=V702-62=8 (2)解：：四边形OBCD是矩形， ∴.OB=CD=10,OD=BC=6,∠C=∠0DC=90°， 设OE=m,则DE=OD-OE=6-m, 由折叠知，AE=OE=m, AC=8, AD=CD-AC=10-8=2. 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD+DE2=AE2, 2+6-网=m,解得如=9。 设直线BB的函数关系式为y=:+10 , ·B(10,0) &10k+10 0 1 k=、 3 110 “直线BE的函数关系式为y=3x+3: (3)解：存在，由(2)知AD=2, A(2,6) 要能使以A,B,P,为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当BO为平行四边形ABPO的对角线时，则A犯∥BP, 点B,P在x轴， 21/26 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， 110 :点0在直线y=3x+3上， 110 3x+3 =6 ∴.x=-8, :(-86) ②当BO为边时，则AQ与BP互相平分， g .n=28. .(28-6) 综上，满足条件的点Q的坐标为 (-8,6)或e(286) 25(12分).综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形ABCD中，点E在BD上，AE⊥EF,EF交直线 BC于点F.试猜想线段AE与EF的数量关系. G C E E B A B 图1 图2 备用图 (1)【建立模型】 22126 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同学们发现，过点E分别作EH⊥AB,EI⊥BC,垂足为H,I,可以由BE平分∠ABC,用角平分线的 性质定理辅助解决这个问题.请在图1中补全图形，解答上述问题 (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长FE交直线CD于点G,请你判断线段AE与EG的数 量关系，并说明理由. (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在(2)的条件下，当E为直线BD 上一动点，猜想线段BE,DE,GD之间的数量关系并直接写出结论. 【详解】(I)解：如图，过点E分别作EH⊥AB,EI⊥BC,垂足为H,I, D E H B∴.∠AHE=∠BHE=∠EIF=90° ~正方形ABCD中，BE平分∠ABC, ∴.EH=EL,∠ABC=90° .四边形BEH是正方形， ∴.∠HEl=90°，即∠HEF+∠FEI=90°， AE⊥EF, ∴∠AEF=90°，即∠AEH+∠HEF=90°， ∴.∠AEH=∠FEI, ∴.△AEH≌△FEI(ASA) :AE=FE: (2)AE=EG: 理由：延长HE交CD于K,延长IE交AD于J, 23/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D K C E 正方形 中， H B ABCD ABICD ∴.∠EKD=90° ∴.HK⊥CD. 同理可证W⊥AD, 同(1)可证明四边形AE)是矩形，四边形EKD是正方形，E=KE, .JE=KE=AH,∠JEH=∠AEG=90° ∠GEK+∠G=∠GEK+∠AEH=90°， .∠G=∠AEH, .△GEK≌aEAH(AAS) ..GE=EA: (3)解：作FR∥AB,交直线BD于R, AB∥CD. .AB∥CD∥FR, ∴.∠BFR=∠BCD=90°. ∠ABC=90°，BE平分∠ABC, ∴.∠DBC=45° ∴.∠DBC=∠BRF=45°，BF=RF, ..BR=BF2+RF2=2RF=2BF 由(1)，(2)可知AE=GE=FE, FR∥CD, ∴.∠DGE=∠RFE,∠GDE=∠FRE 24/26 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∴.ADEG≌AREF(AAS) ∴.GD=FR,DE=RE G E ①当E在对角线BD上，BE≥DE时，如上图， .BE-DE BE-RE BR=2GD 当BE<DE时， 如图 D G C E B F R RE-BE DE-BE BR=2FR=2GD 同理可得 ②当E在线段BD的延长线上时， 如图， 25/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D G B RE+BE DE+BE=BR=2FR=2GD 同理可得 ③当E在线段DB的延长线上时， 如图， D E R RE+BE DE+BE=BR=2FR=2GD 同理可得 E 综上所述，①当在对角线 D上.BE≥DE时.BE-DE=2GD,BE<DE时，DE-BE=2GD,② 当E在线段BD或DB的延长线上时， BE+DE=√2GD 26/26命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年九年级上学期数学周周测02 1.3~1.4矩形的性质与判定、正方形的性质与判定 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是 () A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC、BD相交于点O; D 四边形 为菱形， ABCD ∴.AC⊥BD 点E,F,G,H分别是菱形ABCD四边的中点， .EF∥AC, EF-TAC: 2 同理可证：FGI BD,GHMC,GH=2 AC. 2 ∴EF∥GH,EF=GH, ∴四边形EFGH为平行四边形： :EF∥AC,FGI‖BD,AC⊥BD, ∴.∠EFG=90°， ∴四边形EFGH为矩形. 2.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AO=3Cm,则BD的长为() A.3cm B.4cm C.5cm D 6cm 1/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】D 【详解】解：如图， A 四边形 是矩形， C.: ABCD 1 AC=BD ,10=24C, 又A0=3cm .BD=2A0=2×3=6(cm) 3.如图，在△ABC中，AB⊥BC,垂足为B,点D是AC的中点，连接BD,若AC=6,则BD的长为 () A 0 SB A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【详解】解：：AB⊥BC, :.△ABC是直角三角形， :点D是AC的中点，AC=6, 1 1 :.BD=5AC=x6=3 21 2 4.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是边CD的中点.若OB=5,OM=3,则线段CD的 长为() 2/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D M A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠ADC=90°， :O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OB=5, ..OA=OC=OB=5 :M是边CD的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， .OM∥AD.CD=2CM, ∴.∠OMC=∠ADC=90° OM=3, .CM=V0C2-0M2=V52-32=4 ∴.CD=2CM=8 5.如图.在矩彩4CD中，对角线4C、D相交于点0若∠40B=60,B=5,则C长是{) A.2 B.3 c.25 D.4 【答案】B 【详解】解：在矩形ABCD中，01=)4C,0B=BD,4C=BD,∠ABC=90P, ∴.OA=OB :∠AOB=60°， :△AOB是等边三角形， 3/16 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .AB=OA=OB=3 .AC=20A=25, 在R△MBC中，BC=VAC2-AB=V25)-(5}=3 6.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点，F是BD上一点， 连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则aBEF的周长是() D E A 2V2 B.2+V2 C.4-v2 D.② 【答案】A 【详解】解：，四边形ABCD为正方形 .CD=CB=2,∠BCD=90°， BD=CD2+CB=2 :△DEF与△DEC关于直线DE对称， .DC=DF=2 EC=EF BF=22-2 ∴.△BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+EC BF+BC =2W2-2+2 =22 1 7.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于24C的长为半径作弧， 两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E,若DE=6,CE=10,则该矩形的周长() 4/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B A.32 B.24 C.48 D.50 【答案】C 【详解】解：连接AE, D E 米2 由作图知，MN垂直平分AC, ..AE=CE=10 在矩形ABCD中，DE=6, ∴∠D=90,DC=DE+CE=16 4AD=√AE2-DE2=V102-62=8 ∴.AD=CB=8,DC=AB=16 则该矩形的周长(8+16)x2=48 8.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1,则正方形ABCD的对角线的长为 () 5/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2v2 B.4 C.8 D.82 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD, B E ,在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1, ∠A=90°，AB=AD, ,AD2=AB2=BE2-AE2=32-12=8, BD=VAB+AD=4 :正方形ABCD的对角线的长为4 9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，连接AE,AF,EF,M, N分别为AE,AF的中点，连接MN,则MN的长为() D M B F A.1 B.② 02 D.2V2 【答案】B 【详解】解：在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点， 6/16 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .CF=2,CE=2, 在RtaCEF中，EBF=V2+2=22 ?点M,N分别是AE和AF的中点， ∴.MN是△AEF的中位线， MN=1EF=1x2= 2 IO.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上的中点，连接DE,将△ADE沿直线DE翻折得到 △FDE DF、BC G CF△CFG 延长 交于点，连接，则 的面积为() D B G A 16 24 B.5 C.5 D.6 【答案】B 【详解】解：连接EG,如图， A D F B G :四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=CD=AD=8,∠A=∠B=∠BCD=90°， ~点E是AB边上的中点， ∴.AE=BE=。AB=4 ~'△ADE沿直线DE翻折得到△FDE, 7/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AD=FD=8,AE=FE=4,∠DFE=∠A=90°， .EF=BE=4,∠EFG=180°-∠DFE=90°， 在RtAEGB和RtAEGF中， EG=EG EB=EF :.RtAEGB≌RtaEGF(HL) ..BG=FG. 设GF=BG=x,则CG=BC-BG=8-x,DG=DF+FG=8+x, ,在Rt△CDG中，CG+CD2=DG, :（8-+8=(8+,解得x=2, .GF=2,CG=6,DG=10, 1 S.o=2×8x6=24, GF:GD=2:10=1:5, :aCFG的面积aDCG的面积=GF:DG=2:10=1:5, aCrG的国积=24-. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11.在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△COD是等边三角形，AB=2cm,则口ABCD的面积是 cm2 【答案】45 【详解】解：如图所示： D 8/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD=2cm,OA=OC,OB=OD, :△COD是等边三角形， ..OC=OD=CD=2cm. ..AC=20C=4cm,BD=20D=4cm, .AC=BD. .ABCD是矩形， ∠ABC=90°， 在R1△1BC中，由勾股定理得BC=√MC2-AB=VP-2cm=25cm SABCD=AB.BC=2x2v3cm2=4/3cm2 12.将正方形ABCD 按如图方式放置在平面直角坐标系中， D0-,点Ca. .点B的坐标是 B D 【答案)(23) 【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于点E, E C D 9/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D0-)C3,0) ∴.OD=1.OC=3 ~四边形ABCD为正方形， ∴.BC=CD,∠BCD=90° .∠BCE+∠DCO=90°. BE⊥x轴， ∴.∠CEB=∠COD=90°. ∴.∠BCE+∠CBE=90°， .∠CBE=∠DCO, 在△BCE和△CDO中， ∠CEB=∠DOC ∠CBE=∠DCO BC=CD ∴.△BCE≌aCDO(AAS) ..BE=OC=3,CE=OD=1, .OE=0C-CE=3-1=2, 六点8的坐标为2,3列 13.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,延长BD至点E,使DE=OD,连接AE,点F为 AE的中点，连接OF.若AB=4,则OF的长为 V10 【答案】 【详解】四边形ABCD是正方形， 10/16 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .∠AOD=∠AOB=90°，BD=AC, ..AO=BO=OD, 点F为AE的中点， OF-1AE 2 .·DE=OD ∴.OE=2OD=2OB、 AB=4,A0=BO ∴.AB2=AO2+B02=2B02 .16=2B02 ∴.OA=B0=2√2,0E=4N2 ..AE=A02+OE2=210 0F=24B=0 14.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,∠DBC的平分线BE交CD于点E,EF⊥BD于点F.点 G为BE的中点，连接AG,则AG的长为 D G √85 【答案】3 【详解】解：：在矩形ABCD中，AB=3,AD=4, .BC=AD=4,AB=CD=3,∠ABC=∠C=90°， 11/16 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 BD-VARAD-5 ,EF⊥BD, ∴.∠BFE=∠C=90°， :∠DBC的平分线BE交CD于点E, .∠FBE=∠CBE, BE=BE, △FBE≌ACBE(AAS) ∴BF=BC=4,EF=EC, ∴.FD=BD-BF=L, 设EF=EC=x,则DE=3-x, .DE2=EF2+DF2, 4 (3-x)2=x2+1,解得：x= 3 EF=EC=4 3 如图：取BC的中点H,连接HG则BH=HC=)BC=2. 2 E G B H ,点G为BE的中点， 六HG∥EC, 3 ∴.∠GHB=∠C=90°， 如图：过G作GI⊥AB于I,则∠GHB=∠BIG=∠ABC=90°， 四边形BHG是矩形， 12/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 IG=BH=2 IB-HG-2 :MI=AB-1=3-2=7 33 4G=AP+IG2 2-V8 三、解答题：本题共3小题共4分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(6分)，如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,∠A=90°，DEI‖AB交BC于点E,AB=BE,求证：四 边形ABED是正方形. D 【答案】证明：：AD∥BC,DE∥AB, .四边形ABED是平行四边形， :∠A=90°， .四边形ABED是矩形， AB=BE, .四边形ABED是正方形 16(8分).小佳自编一题如下： 如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，BE=DF. 求证：四边形EBFD是菱形. B 小辰认为还需补充一个条件才能证明 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明 13/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】赞同小辰，补充条件：BE=BF, 证明：四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠C=9O°AB=CDAD=BC ADIBC :在Rt△ABE和RtACDF中， BE=DF AB=CD :.RtAABES≌RtACDF(HL) ∴.CF=AE. .AD-AE=BC-CF,ED=BF, ED∥BF, ∴四边形BEDF为平行四边形， BE BF, ∴四边形BEDF为菱形 17(10分).平面直角坐标系中，矩形纸片OBCD按如图的方式放置.己知OB=10,BC=6,将这张纸 片沿过点B的直线折叠，使点O落在边CD上，记作点A,折痕与边OD交于点E. D 0 B (1)求AC的长： (2)求点E的坐标及直线BE的函数关系式： (3)若点P是x轴上的一点，直线BE上是否存在点O,能使以A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出相应的点Q的坐标：若不存在，说明理由， 【答案】(1)8 10 110 y=-3x+3 14/16 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8e(-8,6)0(286) 或 【详解】(1)解：~四边形OBCD是矩形， ∴.∠DCB=90°， .OB=10,BC=6, 由折叠性质得OB=AB=10, 4C=VAB'-BC=V02-6=8, (2)解：，四边形OBCD是矩形， .OB=CD=10,OD=BC=6,∠C=∠ODC=90°， 设OE=m,则DE=OD-OE=6-m, 由折叠知，AE=OE=m, AC=8. .AD=CD-AC=10-8=2, 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD2+DE2=AE2, 2+(6-mP=m2,解得m=10 3 .o) 设直线BB的函数关系式为y=:+ 3， ÷B(10,0) .10k+ 30, 1 :.k=-39 直骏郎的两数关系武为=方9。 (3)解：存在，由(2)知AD=2, :2,6) 15/16 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 要能使以A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当BO为平行四边形ABP巴的对角线时，则A0∥BP, 点B,P在x轴， Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， 110 :点2在直线y=3x+3上 110 -X+ =6 .33 x=-8, :(-86) ②当BQ为边时，则AQ与BP互相平分， og+9-o .n=28. :28-6) 综上，满足条件的点Q的坐标为(-8,6)或(286) 16/16 2026-2027学年九年级上学期数学周周测02 1.3～1.4矩形的性质与判定、正方形的性质与判定 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 2．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 6．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 8．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 9．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是__________． 12．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．点的坐标是________． 13．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为______． 14．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题：本题共3小题,共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．如图，在梯形中，，，交于点，，求证：四边形是正方形． 16（8分）．小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 17（10分）．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $