专题04 认识一元二次方程 专项练习 -2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程基础概念，以“定义-形式-参数-解的应用-估算”为逻辑链条，24道题系统覆盖六大核心知识点，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|4题（含系数识别、方程类型判断）|基础概念辨析，强调二次项系数非零|概念起点，构建方程认知基础| |一般式|4题（含形式转化、系数确定）|形式规范训练，衔接后续解法|定义的形式化表达，承上启下| |参数求解|4题（含取值范围、分类讨论）|结合定义逆向推导参数条件|深化概念理解，培养严谨思维| |解的判断|4题（含根的验证、构造方程）|直接应用解的定义，关联方程构造|建立解与方程的对应关系| |由解求参|4题（含代入求值、新定义应用）|通过解的代入转化参数方程|解的应用延伸，提升运算能力| |解的估算|4题（含表格分析、实际问题）|利用函数值变化确定解的范围|渗透函数思想，发展数据意识|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 认识一元二次方程（六大题型24道题） 目录 知识点一一元二次方程的定义 1 知识点二化成一元二次方程的一般式 2 知识点三由一元二次方程的定义求参数 4 知识点四判断是否是一元二次方程的解 5 知识点五由一元二次方程的解求参数 9 知识点六一元二次方程的解的估算 11 知识点一一元二次方程的定义 1．一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【解答】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 2．一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【解答】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 3．当为何值时，方程 （1）是关于的一元一次方程． （2）是关于的一元二次方程． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【解答】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 4．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】m的值为． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：由题意得，， 由①得，， 由②得，， 所以，m的值为． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 知识点二化成一元二次方程的一般式 5．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【解答】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 6．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【解答】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 7．将一元二次方程化成的形式，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，按照题意将方程变形是解题的关键． 将一元二次方程化成的形式，即可得出c的值． 【解答】解：由，得， 根据题意可得． 故答案为：1． 8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）关于x的方程． 【答案】（1），二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 （2），二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【解答】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 知识点三由一元二次方程的定义求参数 9．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 10．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【解答】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 12．已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】（1），二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 （2）或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【解答】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 知识点四判断是否是一元二次方程的解 13．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 14．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【解答】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 15．请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【解答】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 16．已知． （1）试问：的值能否等于2？请说明理由； （2）求的值． 【答案】（1）的值不等于2，理由见解析 （2）2或27 【分析】本题主要考查了因式分解、分式求值、完全平方公式等知识点，正确进行因式分解和运用完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）通过因式分解把高次方程化成一元二次方程，再由一元二次方程的解判断的值能否等于2即可； （2）把（1）中得到的代入中求值；把（1）得的变形求得的值，再通过完全平方公式求值． 【解答】（1）解：的值不等于2，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 把代入，得， 解得，此时，与矛盾， ∴方程中的值不等于2， 综上，方程中的值不等于2． （2）解：当时，， 当时，，即， ∴． 综上，故的值为2或27． 知识点五由一元二次方程的解求参数 17．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【解答】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 18．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【解答】解：将代入，得， ， ． 19．已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【解答】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】（1） （2） （3）2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【解答】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 知识点六一元二次方程的解的估算 21．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【解答】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 22．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的近似解，观察表格中的数据可得到方程的一个近似解的取值范围为，逐项判断即可得解． 【解答】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∵， ∴的一个近似解的取值范围为， ∴为的一个近似解， 故选：C． 23．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【解答】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 24．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【解答】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 认识一元二次方程（六大题型24道题） 目录 知识点一一元二次方程的定义 1 知识点二化成一元二次方程的一般式 2 知识点三由一元二次方程的定义求参数 2 知识点四判断是否是一元二次方程的解 3 知识点五由一元二次方程的解求参数 3 知识点六一元二次方程的解的估算 4 知识点一一元二次方程的定义 1．一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 2．一元二次方程的一次项系数是_________． 3．当为何值时，方程 （1）是关于的一元一次方程． （2）是关于的一元二次方程． 4．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 知识点二化成一元二次方程的一般式 5．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 6．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 7．将一元二次方程化成的形式，则______． 8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）关于x的方程． 知识点三由一元二次方程的定义求参数 9．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 10．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 12．已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 知识点四判断是否是一元二次方程的解 13．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 14．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 15．请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 16．已知． （1）试问：的值能否等于2？请说明理由； （2）求的值． 知识点五由一元二次方程的解求参数 17．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 18．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 19．已知是方程的一个根，则____________． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 知识点六一元二次方程的解的估算 21．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 22．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 23．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 24．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $