第九章 割补法求电场强度、利用静电平衡求电场强度、微元法求电场强度 专项训练 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

**基本信息** 聚焦电场强度计算三大核心方法，通过例题与变式题系统训练割补法、静电平衡、微元法的应用，强化科学思维与相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |割补法求电场强度|3例+3变式|对称补全电荷分布、调整局部电荷量|基于电场叠加原理，通过补全对称模型简化非完整带电体场强计算| |利用静电平衡求电场强度|3例+3变式|导体内部场强、感应电荷场强分析|依据静电平衡导体内部合场强为零，推导感应电荷与外场强的关系| |微元法求电场强度|3例+3变式|连续电荷分布（圆环、直杆）场强叠加|将连续带电体分割为微元，通过矢量叠加求解场强，体现模型建构思想|

割补法求电场强度、利用静电平衡求电场强度、微元法求电场强度专项训练 割补法求电场强度、利用静电平衡求电场强度、微元法求电场强度专项训练 考点目录 割补法求电场强度 利用静电平衡求电场强度 微元法求电场强度 考点一 割补法求电场强度 例1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，n个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q（q>0），其余个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E1；若将个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q，其余n个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E2。则等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】将电荷量为+q的点电荷加上+q的电荷量，则O点的场强为零，则原来电荷在圆心处的电场强度大小为 故选A。 例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径为的均匀带电球的电量为 带的带电球在P点产生的场强为 方向向左。假设半径为的球均匀带正电Q，其在P点产生的场强为 方向向右。所以将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电，此时在P点产生的场强为 故选A。 例3．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在半球面AB右侧填补一个与AB完全相同的半球面，则这个球壳在M、N两点产生的电场强度相等，均为 由于半球面AB在M点的场强大小为E，则右侧填补的半球面在M点产生的电场强度为 根据对称性可知，半球面AB在N点的场强大小与右侧填补的半球面在M点产生的场强大小相等，即N点的场强大小为 故选A。 变式1．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）如图所示，在真空中ABCD是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为d，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷。现在AD中点M处取下足够短的带电量为q的一小段，将其沿OM连线向左移的距离到N点处。设线框的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，O点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在O点产生的场强等大反向，剩下的部分在O点产生的场强大小为 方向向左，当截取部分移到N点时，其在O点产生的场强大小为 方向向右，则O点的合场强大小为 方向向左，若此时在O点放一个带电量为Q点电荷，该点电荷受到的电场力大小为 故选A。 变式2．（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，O为球心，直线ab是过球壳中心的一条水平线，球壳表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场为 左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则 故选D。 变式3．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面的对称轴，在轴线上有M、N两点，且，。已知球面在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　） A．E B．2E C． D． 【答案】C 【详解】将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为 为保证电荷量不变，球面AB带负电荷量为q，则该球壳带正电的部分在M点产生的场强为 根据对称性可知：①带正电的部分完整球壳在N点产生的场强大小 ②球面AB带负电荷量为q，在N点产生的场强大小为2E，两者方向相反； 则N点的场强大小为 故选C。 考点二 利用静电平衡求电场强度 例1．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）如图所示，P点有一固定点电荷，不带电的金属导体固定在点电荷附近处于静电平衡状态，a、b、c是金属导体中的三点。关于金属导体中感应电荷在a、b、c三点产生的电场强度大小，下列说法正确的是（　　） A．a点最大 B．b点最大 C．c点最大 D．a、b、c三点一样大 【答案】C 【详解】金属导体处于静电平衡状态，则a、b、c三点的场强均为零，即P点的点电荷与感应电荷在三点的场强等大反向，因P点的点电荷在c点的场强最大，可知感应电荷在c点的场强最大。 故选C。 例2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）如图所示，导体棒原来不带电，现将一个带正电的点电荷放在棒左侧的水平中心轴线上。当棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒中点处产生的电场强度（     ） A．方向水平向左 B．方向水平向右 C．大小为零 D．大小与点电荷无关 【答案】A 【详解】AB．导体达到静电平衡后，内部任意位置的合场强为零。带正电的点电荷在O点产生的电场方向水平向右，因此感应电荷的电场必须与它等大反向，即方向水平向左。故A正确，B错误； CD．感应电荷电场大小等于点电荷在O点的场强大小，大小不为零，且与点电荷的电荷量、O到点电荷的距离有关。故CD错误。 故选 A。 例3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图中接地金属球A的半径为R，球外点电荷的电荷量为Q，到球心的距离为r。静电平衡后，感应电荷在球心处产生的场强大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】金属球内部处于静电平衡状态，故合场强处处为零。所以感应电荷在球心处产生的场强应和点电荷Q产生的场强大小相等，即。 故选B。 变式1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图所示，一个带负电的金属球放在绝缘的支架上，处于静电平衡状态，金属球内部的电场强度大小为，若增加金属球的带电荷量，再次处于静电平衡状态后，金属球内部的电场强度大小为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】处于静电平衡状态的导体内部的场强处处为零，即，故选C。 变式2．（25-26高二上·广西百色·阶段检测）如图所示，为一带正电的点电荷，P为原来不带电的枕形金属导体，、为导体内的两点。当导体P处于静电平衡状态时（　　） A．感应电荷在、两点产生的场强大小和的关系是 B．感应电荷在、两点产生的场强方向相反 C．、两点的场强大小、的关系为 D．、两点的场强大小、的关系为 【答案】D 【详解】A．感应电荷产生的场强与点电荷产生的场强等大反向，感应电荷在、两点产生的场强大小和的关系是，故A错误； B．感应电荷产生场强方向均向左，平衡点电荷的场强，故B错误。 CD．由于处于静电平衡的导体内部处处场强为零，故C错误，D正确。 故选D。 变式3．（25-26高二上·北京·阶段检测）长为的导体棒原来不带电，现将一个电量为的点电荷放在棒的中心轴线上距离棒的左端处，如图所示。已知静电力常量为，当棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒的中点处产生的电场强度大小为（　　）     A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】当棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒的中点处产生的电场强度大小与+q在O点产生的电场强度大小相等，方向相反，即 故选B。 考点三 微元法求电场强度 例1．（26-27高二上·山西·开学考试）如图所示，半径为R的固定绝缘圆环上均匀分布有正电荷，O为圆环的圆心，固定绝缘细直杆MN上也均匀分布有正电荷，直杆与圆环的中心对称轴重合。ON长为R，OM长为L，，且，圆环和直杆上单位长度的电荷量均为q，静电力常量为k。则圆环与直杆间的静电力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，M端长为a的一小段可看成点电荷，带电荷量为Q＝qa 根据对称性可知圆环对杆的静电力大小即等于该点电荷所受圆环的静电力大小，圆环中电荷在该点电荷处产生的电场强度大小为 圆环与杆间的作用力 故选C。 例2．（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）如图所示，一个绝缘圆环，当它的均匀带电且电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电＋2q，而另一半圆ADC均匀带电－2q，则圆心O处电场强度的大小和方向为（     ） A．2E，方向由O指向D B．4E，方向由O指向D C．2E，方向由O指向B D．0 【答案】A 【详解】当圆环的均匀带电，电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，根据微元法及对称性可知，电场方向沿圆环对称轴由圆心指向背离带电圆环一侧；当半圆ABC的带电荷量为＋2q，由如图所示的矢量合成可得，在圆心O处的电场强度大小为，方向由O指向D； 当另一半圆ADC均匀带电，同理，在圆心O处的电场强度大小为，方向由O指向D；根据矢量的合成法则，圆心O处的电场强度的大小为，方向由O指向D。 故选A。 例3．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）如图所示，一半径为R的圆环上，均匀地分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面、过其环心的轴上有一点P，它与环心O的距离为l。静电力常量为k，则P点的电场强度E的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆环等分为n小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，每一小段所带电荷量为 由点电荷电场强度公式可求得每一小段（如图）在P处的电场强度 由对称性可知，各小段在P处的电场强度垂直于轴向的分量相互抵消，而轴向分量之和即为带电圆环在P处的电场强度E，故，又 联立可得 故选D。 变式1．（25-26高二上·陕西铜川·阶段检测）如图所示，椭圆绕x轴旋转形成一个椭球面，有一个金属椭球壳带正电荷，球壳的外表面有M、N两点，在N点周围取一个面积极小微元，该微元在N点产生的场强沿+x方向，大小为E。关于带电金属椭球形成的电场，下列说法正确的是（　　） A．N点的场强大小为2E B．M点的电势高于N点的电势 C．M点的场强比N点的场强大 D．M、N两点电场强度方向互相平行 【答案】A 【详解】A．微元可视为带正电的点电荷，在球壳的外表面N点产生的场强沿+x方向，大小为E，则在内部产生的场强沿-x方向，大小为E，带正电金属椭球壳静电平衡，内部场强处处为零，根据电场叠加原理，除微元外其他部分在N点产生的场强沿+x方向，大小为E，则N点的合场强大小为2E，故A正确； B．金属椭球壳静电平衡，是个等势体，则M点的电势等于N点的电势，故B错误； C．场强大小与电荷密度相关，根据导体表面电荷分布特点，N点电荷密度更高，故M点的场强比N点的小，故C错误； D．电场线与等势面相互垂直，故M、N点的电场强度垂直于椭圆过M、N点的切面，因两切面相互垂直，则M、N点的电场强度也相互垂直，故D错误。 故选A。 变式2．（25-26高二上·福建三明·期中）半径为的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于点，环上均匀分布着总电量为的正电荷，点A、B将圆环二等分。若取走A处弧长为的小圆弧上的电荷，圆环上剩余电荷的分布不变，静电力常量为，则（　　） A．点场强的方向沿OA的反方向 B．点场强的大小为 C．再取走处弧长为的小圆弧上的电荷，点场强减少 D．再取走处弧长为的小圆弧上的电荷，点场强增加 【答案】C 【详解】AB．根据对称性可知，未取走A处弧长为的小圆弧上的电荷时，点场强为零，则取走A处弧长为的小圆弧上的电荷后，圆环上剩余电荷在点产生的场强与被取走的A处弧长为的小圆弧上的电荷在点产生的场强等大反向，被取走的A处弧长为的小圆弧上的电荷在点产生的场强沿着AO方向，若取走A处弧长为的小圆弧上的电荷，点场强的方向沿OA方向，大小等于A处弧长为的小圆弧上的电荷在O点产生的场强大小，即，故AB错误； CD．根据对称性可知，再取走处弧长为的小圆弧上的电荷，点场强变为零，故C正确，D错误。 故选C。 变式3．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）如图，水平面上有一水平均匀带电圆环，带电量为＋Q，其圆心为O点。有一带电量为－q、质量为m的小球，在电场力和重力作用下恰能静止在O点正下方的P点。OP间距为L，P和圆环边缘上任一点的连线与PO间的夹角均为θ。静电力常量为k，重力加速度为g。则带电圆环在P点处产生的场强大小为（     ） A．k B．k C． D． 【答案】B 【详解】取圆环上一带电微元，其电荷量记为，后文均以表示该微元电荷量。由题设几何关系，微元到点的距离满足 其中为微元到点的距离。由库仑定律，微元在点产生的场强大小满足 其中表示该微元场强大小。为表示微元场强的方向分解以及圆环对称性下水平方向分量的抵消，示意图如下： 圆环各微元在点的水平方向场强相互抵消，竖直方向分量同向，因此由场强叠加得 其中为圆环在点的合场强大小。又因圆环上各微元的相同且，所以 方向沿向下。 故选B。 2 学科网（北京）股份有限公司 $割补法求电场强度、利用静电平衡求电场强度、微元法求电场强度专项训练 割补法求电场强度、利用静电平衡求电场强度、微元法求电场强度专项训练 考点目录 割补法求电场强度 利用静电平衡求电场强度 微元法求电场强度 考点一 割补法求电场强度 例1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，n个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q（q>0），其余个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E1；若将个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q，其余n个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E2。则等于（　　） A．1 B． C． D． 例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）如图所示，在真空中ABCD是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为d，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷。现在AD中点M处取下足够短的带电量为q的一小段，将其沿OM连线向左移的距离到N点处。设线框的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，O为球心，直线ab是过球壳中心的一条水平线，球壳表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面的对称轴，在轴线上有M、N两点，且，。已知球面在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　） A．E B．2E C． D． 考点二 利用静电平衡求电场强度 例1．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）如图所示，P点有一固定点电荷，不带电的金属导体固定在点电荷附近处于静电平衡状态，a、b、c是金属导体中的三点。关于金属导体中感应电荷在a、b、c三点产生的电场强度大小，下列说法正确的是（　　） A．a点最大 B．b点最大 C．c点最大 D．a、b、c三点一样大 例2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）如图所示，导体棒原来不带电，现将一个带正电的点电荷放在棒左侧的水平中心轴线上。当棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒中点处产生的电场强度（     ） A．方向水平向左 B．方向水平向右 C．大小为零 D．大小与点电荷无关 例3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图中接地金属球A的半径为R，球外点电荷的电荷量为Q，到球心的距离为r。静电平衡后，感应电荷在球心处产生的场强大小等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图所示，一个带负电的金属球放在绝缘的支架上，处于静电平衡状态，金属球内部的电场强度大小为，若增加金属球的带电荷量，再次处于静电平衡状态后，金属球内部的电场强度大小为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 变式2．（25-26高二上·广西百色·阶段检测）如图所示，为一带正电的点电荷，P为原来不带电的枕形金属导体，、为导体内的两点。当导体P处于静电平衡状态时（　　） A．感应电荷在、两点产生的场强大小和的关系是 B．感应电荷在、两点产生的场强方向相反 C．、两点的场强大小、的关系为 D．、两点的场强大小、的关系为 变式3．（25-26高二上·北京·阶段检测）长为的导体棒原来不带电，现将一个电量为的点电荷放在棒的中心轴线上距离棒的左端处，如图所示。已知静电力常量为，当棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒的中点处产生的电场强度大小为（　　）     A．0 B． C． D． 考点三 微元法求电场强度 例1．（26-27高二上·山西·开学考试）如图所示，半径为R的固定绝缘圆环上均匀分布有正电荷，O为圆环的圆心，固定绝缘细直杆MN上也均匀分布有正电荷，直杆与圆环的中心对称轴重合。ON长为R，OM长为L，，且，圆环和直杆上单位长度的电荷量均为q，静电力常量为k。则圆环与直杆间的静电力大小为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）如图所示，一个绝缘圆环，当它的均匀带电且电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电＋2q，而另一半圆ADC均匀带电－2q，则圆心O处电场强度的大小和方向为（     ） A．2E，方向由O指向D B．4E，方向由O指向D C．2E，方向由O指向B D．0 例3．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）如图所示，一半径为R的圆环上，均匀地分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面、过其环心的轴上有一点P，它与环心O的距离为l。静电力常量为k，则P点的电场强度E的表达式是（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·陕西铜川·阶段检测）如图所示，椭圆绕x轴旋转形成一个椭球面，有一个金属椭球壳带正电荷，球壳的外表面有M、N两点，在N点周围取一个面积极小微元，该微元在N点产生的场强沿+x方向，大小为E。关于带电金属椭球形成的电场，下列说法正确的是（　　） A．N点的场强大小为2E B．M点的电势高于N点的电势 C．M点的场强比N点的场强大 D．M、N两点电场强度方向互相平行 变式2．（25-26高二上·福建三明·期中）半径为的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于点，环上均匀分布着总电量为的正电荷，点A、B将圆环二等分。若取走A处弧长为的小圆弧上的电荷，圆环上剩余电荷的分布不变，静电力常量为，则（　　） A．点场强的方向沿OA的反方向 B．点场强的大小为 C．再取走处弧长为的小圆弧上的电荷，点场强减少 D．再取走处弧长为的小圆弧上的电荷，点场强增加 变式3．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）如图，水平面上有一水平均匀带电圆环，带电量为＋Q，其圆心为O点。有一带电量为－q、质量为m的小球，在电场力和重力作用下恰能静止在O点正下方的P点。OP间距为L，P和圆环边缘上任一点的连线与PO间的夹角均为θ。静电力常量为k，重力加速度为g。则带电圆环在P点处产生的场强大小为（     ） A．k B．k C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $