第二十五章一元二次方程单元练习 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元检测卷，通过基础题与综合应用题结合，全面考查方程定义、解法及实际应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、根的判别式、配方法|如第1题考查定义，第3题根的判别式，夯实基础| |填空题|6/24|根与系数关系、几何应用|第12题根与系数关系，第14题矩形道路面积，体现数学眼光| |解答题|9/86|解方程、实际应用（羊圈面积、商场促销）、几何综合（动点问题）|第20题羊圈面积设计，第23题商场利润计算，培养模型意识与应用能力|

第二十五章一元二次方程单元检测一 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的方程是一元二次方程，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 3.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 6.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为(    ) A. B. C. D. 9.关于的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当点到达点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为(    ) A. B. C. 或 D. 不确定 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.方程的解是          ． 12.若，是方程的两个实数根，则的值为         ． 13.一个长方形的面积为，长比宽多，设长方形的宽为，根据题意，可列方程为          ． 14.如图，在一块长为米、宽为米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分种上草坪，使草坪面积为平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为          ． 15.如果直角三角形三边长分别是，，，那么该三角形的面积是          ． 16.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，的取值范围是          ． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 用适当的方法解下列方程： ； ． 18.本小题分 已知关于 的一元二次方程： ． 求证：方程有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是 ，求另一个根及值． 19.本小题分 已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． 判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； 若方程的两根为、，求的值． 20.本小题分 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料． 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21.本小题分 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒． 无盖长方体纸盒盒底的长为______，宽为______用含的式子表示． 若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 22.本小题分 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． 道路的宽为多少米？ 该停车场共有车位个，每个车位的月租金为元，且可全部租出．据调查分析，若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 23.本小题分 某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元，每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． 若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； 经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件，那么每天要想获得元的利润，每件应降价多少元？ 24.本小题分 已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． 试说明：无论取何值方程总有两个实数根； 当为何值时，四边形是菱形求出这时菱形的边长； 若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ 25.本小题分 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒 当为何值时，为等腰三角形？ 是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由 当为何值时，、间的距离等于？ 第二十五章一元二次方程单元检测一参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程． 选项符合题意； 选项未知数有个，不符合题意； 选项不是整式方程，不符合题意； 化简，得，不含有次项， 选项不符合题意． 故选：． 本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键． 2.已知关于的方程是一元二次方程，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：． 根据一元二次方程定义可得：，且，再解即可． 此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程． 3.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由条件可知：， 即， 解得． 故选：． 由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 4.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ， ， 所以，， 所以， 故选：． 先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，然后计算的值． 本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 5.一元二次方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】D  【解析】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 6.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：将代入，得， ， ， 故选：． 根据方程的解的定义，求出，可得结论． 本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可． 7.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义是解答本题的关键． 将已知根代入方程，即可求出参数的值． 【详解】解：是方程 的根， ， 即， 化简得， ， ． 故选：． 8.有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意得：， 解得：或舍去， 则的值为． 故选：． 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键． 9.关于的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了根与系数的关系，由，，得出，代入方程得到是解决问题的关键． 根据根与系数的关系得出，由得出，即，代入方程得到，代入代数式即可得到，从而求得的最大值是． 【解答】 解：关于的方程有两个不相等的实根、， ， ， ，即， ， ， ， ， 的最大值是， 故选D． 10.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当点到达点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为(    ) A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C  【解析】略 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.方程的解是          ． 【答案】，  【解析】先移项得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，． 【解答】解：， ， 或， ，． 故答案为，． 12.若，是方程的两个实数根，则的值为         ． 【答案】  【解析】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可． 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义． 13.一个长方形的面积为，长比宽多，设长方形的宽为，根据题意，可列方程为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，在一块长为米、宽为米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分种上草坪，使草坪面积为平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为          ． 【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ， 故答案为：． 15.如果直角三角形三边长分别是，，，那么该三角形的面积是          ． 【答案】  【解析】略 16.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，的取值范围是          ． 【答案】或  【解析】【分析】 由于方程有两个实数根，故当时，可直接求出的值，此时三角形是等边三角形当时，可设两个根为，由三角形的三边关系先判断出不存在的是底边为，腰为的等腰三角形，利用根与系数的关系，找到两个根之间的关系即可判断出的取值范围． 【解答】 解：有实数根， ． 当时，，此时三角形为等边三角形，符合题意． 当时，，由边长不能为负数可得， ． 设两根为，， 若要等腰三角形只有一个，需要较小的根为底边，较大的根为腰，且不能为底边，不能为腰， 根据三边关系得． ，， ， ， ， 又， ． ，， ，即． 当或时，这样的三角形只有一个． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 用适当的方法解下列方程： ； ． 【答案】解：， 则， ， ， 或， ，； ， ，，， ， 则， ，．  【解析】利用提公因式法把方程变形，进而解出方程； 利用公式法解出方程． 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18.本小题分 已知关于 的一元二次方程： ． 求证：方程有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是 ，求另一个根及值． 【答案】(1)证明： ，  ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴方程 有两个不相等的实数根；   (2)解：设 的另一个根为x， 则 ， ， 解得： ， ， ∴方程 的另一个根为 ，k的值为1． 【解析】 本题考查二次方程根的判别式，二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程 ，即可判断该方程有两个不相等的实数根；  设 的另一个根为，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 19.本小题分 已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． 判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； 若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形．   (2)解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 【解析】 本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出，，的关系；  根据求出的，的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出． 20.本小题分 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料． 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； 不能， 理由：由题意，得， 化简，得， ， 一元二次方程没有实数根． 羊圈的面积不能达到．  【解析】根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； 先利用矩形面积公式得到，再根据，进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键． 21.本小题分 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒． 无盖长方体纸盒盒底的长为______，宽为______用含的式子表示． 若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】；； 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：剪去的正方形的边长为．  【解析】解：无盖长方体纸盒盒底的长为，宽为． 故答案为：；． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：剪去的正方形的边长为． 用长方形纸板的长和宽减去两个小正方形的边长，即可求出结论； 根据长方形的面积公式结合底面面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.本小题分 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． 道路的宽为多少米？ 该停车场共有车位个，每个车位的月租金为元，且可全部租出．据调查分析，若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】(1)解：根据题意，得（52-2x）（28-2x）＝640． ​​​​​​​整理，得x2-40x＋204＝0，解得x1＝34（舍去），x2＝6． 答：道路的宽为6 m．  (2)设月租金上涨a元．根据题意，得． 整理，得a2-50a＋625＝0， ​​​​​​​解得a1＝a2＝25． 答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．  【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 23.本小题分 某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元，每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． 若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； 经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件，那么每天要想获得元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，不合题意，舍去， 答：该商品连续两次下降的百分率为． 设每件商品应降价元， 根据题意，得， 解得，， 为尽快减少库存， ． 答：每件商品应降价元．  【解析】设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，列一元二次方程，求解即可； 设每件商品应降价元，根据每天要想获得元的利润，列一元二次方程，求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键． 24.本小题分 已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． 试说明：无论取何值方程总有两个实数根； 当为何值时，四边形是菱形求出这时菱形的边长； 若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】证明：关于的方程， ， 无论取何值， 无论取何值方程总有两个实数根； 解：四边形是菱形， ，即， 代入方程得： ，， 即菱形的边长为； 解：由，将代入方程， 解得：， 将代入方程， 得，解得：，， 即， 故平行四边形的周长为．  【解析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． 利用根的判别式求出的符号进而得出答案； 利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案； 将代入方程解得，进而得出的值． 25.本小题分 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒 当为何值时，为等腰三角形？ 是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由 当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)依题意得：AP=2t cm,BQ=t cm, ∴BP=（6-2t）cm, 当△BPQ为等腰三角形时，BP=BQ， ∴6-2t=t, 解得：t=2， ∴当t=2时，△BPQ为等腰三角形  (2)不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；理由如下： 依题意得：， ， 2t2-6t+9=0， ∵Δ=36-72＜0， ∴方程无实根， ∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分  (3)在直角三角形BPQ中，∠B=90°，， 由勾股定理得：PQ2=PB2+BQ2， ∴， 化简得：5t2-24t+16=0， 解得：t=4或， ∵0＜t＜3， ∴t=4不合题意，舍去， 故时，P、Q间的距离等于  【解析】解：依题意得：，， ， 当为等腰三角形时，， ， 解得：， 当时，为等腰三角形； 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；理由如下： 依题意得：， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， ， 化简得：， 解得：或， ， 不合题意，舍去， 故时，、间的距离等于． 依题意得：，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； 依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； 由于，则，代入化简求值即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了几何图形中的动点问题，等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $