精品解析：北京市清华大学附属中学2026-2027学年九年级上学期数学统练1

九年级上学期数学统练1 一．选择题（每题3分） 1. 中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 6. 如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A. B. C. 3 D. 4 7. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，①；②；③；④平分；⑤．以上结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（每题3分） 9. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______． 11. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 14. 抛物线与轴交于两点，分别是是，则的值为__________． 15. 如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 16. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 三．解答题（共52分，第17题8分，第18题12分，第19~20题每题10分，第21题12分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于原点中心对称的，请画出，并直接写出点的坐标． （2）利用无刻度直尺在网格中确定一点，使得交于点． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 19. [如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE． （1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE； （2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长． 20. 二次函数的部分图象和对称轴如图所示. （1）求该二次函数的表达式； （2）若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围. 21. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值； （3）对于这个二次函数，若自变量的值增加4时，对应的函数值增大，求满足题意的自变量的取值范围． 四．附加题（第22~25题每题3分，第26题8分） 22. 如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 23. 已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 24. 如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 25. 已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 26. 在中，，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．若为中点，连接，． （1）如图1，若点在线段上，在上，直接写出的度数并求的大小； （2）如图2，若点在直线的下方，直接写出的大小，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学统练1 一．选择题（每题3分） 1. 中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 5. 二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 【答案】B 【解析】 【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各个选项即可． 【详解】解：抛物线过和， 设抛物线表达式为， 抛物线过， ，解得， 即抛物线表达式为， 由，可知抛物线开口向上，A错误；由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确；由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误；由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误． 【点睛】此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式再求解是最优方法． 6. 如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质与勾股定理，熟练掌握旋转前后对应线段相等以及勾股定理是解题的关键．先根据旋转性质和勾股定理求出相关线段长度，再利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得． 故选：． 7. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答． 【详解】解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是6， 故选：C． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，①；②；③；④平分；⑤．以上结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】依据图形旋转的性质，逐一推导验证五条结论的正误，统计正确结论的数量，匹配对应选项． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，，，，旋转角． ∴结论①、⑤正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴平分，结论④正确． ∵，， ∴，． ∵， ∴，结论②正确． 假设，， ∴， ， ∴不成立，结论③错误． 正确结论为①②④⑤，共4个． 二．填空题（每题3分） 9. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______． 【答案】##31度 【解析】 【分析】由旋转的性质得、，，根据等边对等角求得，据此计算即可求解． 【详解】解：中，，， ∴． 由旋转的性质得、，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 12. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 14. 抛物线与轴交于两点，分别是是，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案． 【详解】解：抛物线与轴交于两点，分别是是， 令，则，为方程的两个根， ， ， 故答案为：3． 15. 如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：，  ，，  ， 是直角三角形，且，  设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称，  ∴点与点关于点对称，  为线段的中点，  ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时，  即，  解得 ，  的最小值为． 16. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 三．解答题（共52分，第17题8分，第18题12分，第19~20题每题10分，第21题12分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于原点中心对称的，请画出，并直接写出点的坐标． （2）利用无刻度直尺在网格中确定一点，使得交于点． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，点的坐标为． （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，中心对称图形的画法，平移的性质，正确掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据关于原点对称点的坐标特征，将点、、的横纵坐标分别乘以，得到对应点、、的坐标，然后顺次连接即可． （2）将点往右平移4格得到点，再向上一格得到点，将点往下4格，得到点，连接，可证明，那么，接着推出，然后再把向左平移2个单位，再向下3个单位长度，得到点，此时，连接交点，则，根据全等三角形的性质与判定，结合平行线的性质即可确定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 【答案】（1），顶点坐标为 （2），与x轴的交点坐标为 （3）所作函数图象如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据配方法配成顶点式，然后可得函数的顶点坐标； （2）根据十字相乘法把函数化成的形式，然后令时进行求解即可； （3）根据二次函数图象的画法进行作图即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，则有，解得：， ∴此函数图象与轴交点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： x ….. 1 …... y ….. 5 0 0 …… 所作函数图象略． 19. [如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE． （1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE； （2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长． 【答案】 （1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB， 即∠DAB＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴DB＝EC； （2）DE＝2 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△DAB≌△EAC，可得BD＝CE； （2）由全等三角形的性质可得∠DBA＝∠ECA，由余角的性质可证∠BEC＝90°，由勾股定理可求EC＝8，即可求解． 【详解】证明：（1） 略 （2）由（1）知△DAB≌△EAB， ∴∠DBA＝∠ECA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC＋∠ACB＝90°， 即∠ABC＋（∠BCE＋∠ACE）＝90°， ∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°， 即∠DBA＋∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵BC＝10，BE＝6， ∴EC2＝BC2−BE2＝102−62＝64， ∴EC＝8， ∴DE＝DB−BE＝DB−CE＝8−6＝2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用性质进行推理是本题的关键． 20. 二次函数的部分图象和对称轴如图所示. （1）求该二次函数的表达式； （2）若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值． （1）直接利用待定系数法求得二次函数解析式为； （2）根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0，结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可得，的图象过点，，对称轴是直线， ， 解得：， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数解析式为，则， 该抛物线的顶点坐标是， 有两个正实数根， 与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0， ． 21. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值； （3）对于这个二次函数，若自变量的值增加4时，对应的函数值增大，求满足题意的自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把A,B代入解析式求出b,c，即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称性即可求得； （3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点和， ∴， 解得， ∴． （2）依题意，点的坐标为， 该二次函数图象的对称轴为， 设点向右平移个单位后，所得到的点为，由于点在抛物线上， ∴，两点关于二次函数的对称轴对称． ∴点的坐标为． ∴． （3）依题意，即当自变量取时的函数值，大于自变量为时的函数值． 结合函数图象，由于对称轴为，分为以下三种情况： ①当时，函数值随的增大而减小，与题意不符； ② 当时，需使得，方可满足题意，联立解得； ③时，函数值随的增大而增大，符合题意，此时． 综上所述，自变量的取值范围是． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 四．附加题（第22~25题每题3分，第26题8分） 22. 如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 23. 已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，先求抛物线与轴的交点，再分情况讨论与轴的交点情况，使得总交点为个. 【详解】解：， 抛物线与轴交于点和， 情况1：与轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 可得方程为， 解得：， 交点坐标为，不与交点重合，成立； 情况2：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得或， 与轴交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点，成立； 情况3：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得：或， 与轴的交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点． 故答案为：或或． 24. 如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先证明，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边三角形 ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上：的度数可以是或或. 25. 已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 26. 在中，，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．若为中点，连接，． （1）如图1，若点在线段上，在上，直接写出的度数并求的大小； （2）如图2，若点在直线的下方，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）， （2） ， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴ ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】对于本题，主要利用中点，进行“倍长中线”的辅助线添加，构造全等三角形进行边角之间的转化． （1）由旋转得，，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，再由直角三角形斜边中线可得，，再根据等腰三角形以及三角形的外角定理即可求解； （2）延长至点，使得，连接，可得四边形是平行四边形，则，可得，然后导角证明，由旋转可得，，故，则，再由等腰三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图1， 由旋转得，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $