精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期开学检测数学试题

北师大实验中学2026-2027学年度暑假数学作业反馈练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象与轴交点是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 5. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 6. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 7. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，8，10．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 29 29 第2个间隔 第3个间隔 4.7 第4个间隔 21 0 21 因此，按组内离差平方和最小的分法为（ ） A. 第1个间隔 B. 第2个间隔 C. 第3个间隔 D. 第4个间隔 8. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于，两点．以下结论中： ①关于的方程的解是； ②关于的不等式的解集是； ③过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为、，当点位于点下方时，； ④是直角三角形． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ③④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 函数有意义，则自变量的取值范围是__________． 10. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 11. 已知一次函数，若的值随的值的增大而减小，则的取值范围是__________． 12. 在中，，，则的长为__________． 13. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 14. 已知，代数式的值为_________． 15. 某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的中位数是70； ③这个月空气质量指数在40至80之间的占数据总数的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 16. 如图，在平行四边形中，，，、分别是边、的中点，点、分别在边、上，且，，连接、，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，，，，，． （1）若，则四边形是_________； （2）若四边形是矩形，则_________． 三、解答题（共60分） 17. 二次根式计算 （1） （2） 18. 解一元二次方程： （1） （2） （3） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 21. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 22. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． （3）过点作轴的垂线，交函数于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，点，之间的距离随的长的增大而增大，直接写出的取值范围． 24. 在正方形中，是一条对角线．点在射线上（与点，不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作射线于点，连接． （1）若点在线段上，如图， ①依题意补全下左图； ②直接写出与的数量关系：_____________． （2）若点在线段的延长线上，判断上述关系是否成立，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，对于任意一点与原点的“坐标距离”，给出如下定义： 若，则点与原点的“坐标距离”为： 若，则点与原点的“坐标距离”为． （1）点与原点的“坐标距离”为_____________； （2）若直线上存在与原点的“坐标距离”为1的点，直接写出的取值范围； （3）直线分别与轴、轴交于不重合的两个点、，若线段上任意点与原点“坐标距离”都不大于4，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026-2027学年度暑假数学作业反馈练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意． 2. 如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 3. 一次函数的图象与轴交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：令，得，解得， 故直线与轴的交点为. 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 5. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图中人数最多的年龄求解即可． 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 6. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 7. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，8，10．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 29 29 第2个间隔 第3个间隔 4.7 第4个间隔 21 0 21 因此，按组内离差平方和最小的分法为（ ） A. 第1个间隔 B. 第2个间隔 C. 第3个间隔 D. 第4个间隔 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，补全各间隔的组内离差平方和，比较大小后取最小值对应的间隔． 【详解】解：将数据从小到大排序得，，，，， 第1个间隔组内离差平方和为， 第2个间隔：第一组为，平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； 第3个间隔：第二组为，平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； 第4个间隔：组内离差平方和为； 比较得， 故答案为第3个间隔． 8. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于，两点．以下结论中： ①关于的方程的解是； ②关于的不等式的解集是； ③过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为、，当点位于点下方时，； ④是直角三角形． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ③④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由图象得，关于的方程的解是，即可判断①错误；将变形为，结合图象即可判断②错误；根据图象即可判断③正确；求出，，再结合勾股定理与勾股定理逆定理计算即可得出结果． 【详解】解：①由图象得，关于的方程的解是，故①错误，不符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∴由图象得，关于的不等式的解集是，故②错误，不符合题意； ③由图象得，过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为、，当点位于点下方时，，故③正确，符合题意； ④当时，，即， 当时，，即， ∵， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 函数有意义，则自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】函数同时包含二次根式和分式，需分别满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：二次根式的被开方数需非负，分式的分母不能为0， 要使函数有意义，可列出不等式组 ， 解得且． 自变量的取值范围是且． 10. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，可得和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得，， ∴． 11. 已知一次函数，若的值随的值的增大而减小，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，可知一次项系数小于0，据此列出不等式求解k的范围即可． 【详解】解：∵一次函数中，的值随的值的增大而减小， ∴， 解得． 12. 在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 13. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由旋转的性质得出，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点落在上， ∴， ∴． 14. 已知，代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简所求代数式，再利用已知等式变形，整体代入计算结果． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴原式． 15. 某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的中位数是70； ③这个月空气质量指数在40至80之间的占数据总数的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据箱线图读取最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数及最大值，结合箱线图的统计意义逐一判断． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的最小值为，第一四分位数为，中位数为，第三四分位数为，最大值为． 对于①，观察图形最右端的数据，最大值为，故①正确； 对于②，观察图形箱体中间的竖线，中位数为，不是，故错误； 对于③，数据在至之间，即从第一四分位数到第三四分位数，根据箱线图的性质，这部分数据占总数据的，即一半，故③正确． 综上所述，正确的结论是①③． 16. 如图，在平行四边形中，，，、分别是边、的中点，点、分别在边、上，且，，连接、，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，，，，，． （1）若，则四边形是_________； （2）若四边形是矩形，则_________． 【答案】 ①. 菱形 ②. 【解析】 【分析】延长交于点P，先证出四边形是平行四边形，再证出是等边三角形，即可得四边形是菱形；求出，得，再求出，即可得． 【详解】解：延长交于点P，如下图 由对称性质得，， ， ， 四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， ， 四边形是平行四边形， E，F分别是边的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形 是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形； 四边形是矩形， ， ， 设， ， ， ． 三、解答题（共60分） 17. 二次根式计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 即 ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得，. 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 21. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600； （2）每个A商品的售价为37元 （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【小问1详解】 解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； 【小问2详解】 解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； 【小问3详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． （3）过点作轴的垂线，交函数于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，点，之间的距离随的长的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）函数解析式为，点的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法即可确定函数的解析式，把代入函数解析式即可求点C坐标； （2）把代入得，，根据题意可知，当时函数的值在3和4之间，据此即可求解； （3）根据题意得，，则，当从0到m变化时增大，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把和分别代入函数得 ，解得， 函数解析式为． 过点且平行于轴的直线为， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：把代入得，， 把代入得， 把代入得， ． 【小问3详解】 解：根据题意得，， 则， 点P从点运动到点， 当时，t从0增加到m， ，随t的增大而增大， 从减小到1，不符合题意； 当时，t从0减小到m， ，随t的增大而减小， 从增加到1，符合题意， 此时t的最大值为0，，即， 故的取值范围为． 24. 在正方形中，是一条对角线．点在射线上（与点，不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作射线于点，连接． （1）若点在线段上，如图， ①依题意补全下左图； ②直接写出与的数量关系：_____________． （2）若点在线段的延长线上，判断上述关系是否成立，并证明． 【答案】（1）①补全下左图如下： ； ②； （2）成立，证明如下： 如图，连接， 由平移可得，，， ，即， 四边形是正方形，是一条对角线， ，， 又， ， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接、，由平移可得，，根据正方形的性质可得，，证明推出，，证明是等腰直角三角形，，得到，，进而可证，推出，，得到是等腰直角三角形，推出，即可求解； （2）连接，由平移可得、，推出，根据正方形的性质可得，，证明推出，，证明是等腰直角三角形，，得到，，可证明，推出，，得到是等腰直角三角形，推出，即可得证． 【小问1详解】 解：①略； ②如图，连接、， 由平移可得，，， 四边形是正方形，是一条对角线， ，， 又， ， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ，即， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ； 【小问2详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，对于任意一点与原点的“坐标距离”，给出如下定义： 若，则点与原点的“坐标距离”为： 若，则点与原点的“坐标距离”为． （1）点与原点的“坐标距离”为_____________； （2）若直线上存在与原点的“坐标距离”为1的点，直接写出的取值范围； （3）直线分别与轴、轴交于不重合的两个点、，若线段上任意点与原点“坐标距离”都不大于4，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义直接解答即可； （2）结合图形分析，若直线上存在与原点的“坐标距离”为1的点，则图象过点或，分别计算即可； （3）求出点A，B的坐标，根据题目中的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 点与原点的“坐标距离”为； 【小问2详解】 解：如图： 把点代入得， 把点代入得， 的取值范围为． 【小问3详解】 解：当时，，， 当时，，， 根据题意可得，， 解得或， 又， 故的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $