精品解析：山西省长治市部分学校2024-2025学年高一下学期期末考试评估数学试题

山西省长治市部分学校2024-2025学年高一（下）期末考试评估 数学 一、选择题 1. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 2. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是2 B. 众数是17 C. 方差是2 D. 中位数是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、众数、方差、中位数等知识确定正确答案. 【详解】学生读书的册数的众数为，B选项错误. 个数据，中间两个数据是第个与第个， 所以学生读书的册数的中位数是，D选项正确. 学生读书的册数的平均数为，A选项错误. 学生读书的册数的方差为， 所以C选项错误. 故选：D 3. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ） A. 81.5 B. 80 C. 84 D. 83 【答案】D 【解析】 【分析】应用百分位数的定义求数据的第40百分位数. 【详解】数学成绩从小到大为， 所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为. 故选：D 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 5. 设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A. 3，1 B. 4，1 C. 5，2 D. 7，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【详解】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1. 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B 6. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以 7. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论： ①；②若，则； ③；④若，则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义逐个运算可得答案. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，， 若，由定义可得，当时，可得； 若，由定义可得，当时，可得，成立， 所以或，故②错误； 对于③，当时，，所以，， ，故③错误； 对于④，若， 当即时，得，解得，所以； 当即时，得，解得，所以； 综上，的取值范围为，故④正确. 其中正确的是①④. 8. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】，是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以A能作为基底； 对于B，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底； 对于C，因为， 所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立， 所以与不共线，能作为基底. 二、多项选择题 9. 已知，且，，则( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】∵，∴，同理， ∵在时递增，故，故A正确； ∵，∴B错误； ∵，，∴，当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确； ∴，即，∴D正确． 故选：ACD． 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 【答案】AB 【解析】 【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断． 【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使 D不正确； 令，则，即 A正确； 若在上有最小值－1，即对，，使得 当时，，即在上有最大值1 B正确； 根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确； 故选：AB． 11. 已知，，，则（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用对数换底公式连环相乘，中间项消去后可判断；对于B：因为，两边同时取对数可得答案；对于C：构造函数，求导研究单调性可得答案； 对于D：利用倒数换底公式后，代入后可得答案. 【详解】选项A：利用对数换底公式，得： ，所以A正确； 选项B：因为， 根据在上单调递增， 可知，，即，所以B错误； 选项C：我们可以构造函数（其中）， 利用换底公式：， 对其求导： 令（其中）， 对其求导， 因为， 所以，所以， 所以在区间上严格单调递增， 所以， 因此，函数在上单调递减， 因为，所以， 即，也就是，所以C正确； 选项D：， ，所以D错误. 三、填空题 12. 已知向量，满足，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由两边平方，结合数量积的性质及条件可求，再由结合数量积性质求结论. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以． 故答案为：. 13. 设函数的定义域为，，当时，．若，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可求得的周期为12，利用对称性质结合且，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性及对称性求出的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，所以函数周期是， 由可知， 又可知，所以， 由及可知，所以， 所以，结合，求得， 所以当时，． 所以． 故答案为： 14. 已知且，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过指对转化，将已知的指数式转化为对数式，再通过公式将已知式化简得到关于的方程，解方程即可. 【详解】由知. 又，所以，且， 代入得. 所以，即， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 【答案】（1）3， （2）当，不等式解集为，当，不等式解集为，当，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； 【小问2详解】 不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 16. 已知关于x的不等式. （1）若，求该不等式的解集； （2）若，求该不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）代入解不等式即可； （2）整理可得，分、和三种情况，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，， 即，解得， 故该不等式的解集为. 【小问2详解】 . ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知a，b，c分别为的三个内角，，的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）由正弦定理得：， 即，，， 代入已知条件得：， 由三角形内角和定理得：， 代入上式得：， 化简得：； 在中，， 两边同时除以得：， 由辅助角公式得：，即， 因为，所以， 所以，即， 所以为钝角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理边化角，两角和的正弦公式与辅助角公式求解； （2）使用三角形面积公式与余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由三角形面积公式得：， 代入得：，解得； 由余弦定理得：， 代入，，得：， 所以，即， 又因为，所以， 所以的周长为． 18. 已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标运算和向量模的坐标运算，求； （2）由，有，解得，利用向量数量积和向量的模求向量与向量的夹角． 【小问1详解】 由向量，，得， 所以． 【小问2详解】 由，， 得，解得， 由，得， 所以， 又，所以， 所以向量与向量的夹角为． 19. 在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得， ，， 在中，由正弦定理得， 所以的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省长治市部分学校2024-2025学年高一（下）期末考试评估 数学 一、选择题 1. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是2 B. 众数是17 C. 方差是2 D. 中位数是2 3. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ） A. 81.5 B. 80 C. 84 D. 83 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A. 3，1 B. 4，1 C. 5，2 D. 7，2 6. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论： ①；②若，则； ③；④若，则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多项选择题 9. 已知，且，，则( ) A. B. C. D. 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 11. 已知，，，则（） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，满足，，且，则________． 13. 设函数的定义域为，，当时，．若，且，则______． 14. 已知且，则的值是__________. 四、解答题 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 16. 已知关于x的不等式. （1）若，求该不等式的解集； （2）若，求该不等式的解集. 17. 已知a，b，c分别为的三个内角，，的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 18. 已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 19. 在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $