精品解析：山西省长治市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由虚数单位的周期性将复数化简，再由复数的除法运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 2. 数据5.9，7.8，7.2，8.4，8.9，8.3，9.5，9.1的第80百分位数为（ ） A. 8.3 B. 8.9 C. 9.1 D. 9.3 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为， 所以这组数据的第百分位数为. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由可得，然后利用即可得到答案. 【详解】. 由，得，即=0，解得. 在方向上的投影向量是. 故选：B. 4. 已知事件， 互斥，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】对于A：因为事件， 互斥，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，事件，满足， 互斥， 但是，，显然，不互斥，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：C 5. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B. 概率是随机的，在试验前不能确定 C. 事件，满足，则 D. 天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的定义及性质判断即可. 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 6. 已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据且与不共线，可求出结果. 【详解】根据题意可得且与不共线， 则， 所以，解得， 当与共线时，即存在，使得， 解得， 因为与不共线，所以， 所以且， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7. 在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据求出C，然后利用余弦定理求出b. 【详解】由 得 , , , , 又, 所以 所以， , ,解得, 故选：B. 8. 四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解，即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接， 又因为，所以， 又因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 设的中心为，球心为，则平面, 于是，. 设四棱锥的外接球半径为，其表面积为,故. 过作，则四边形为矩形， 故,， 在和中， ， ，, 所以，，. 当在平面的上方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 当在平面的下方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 故选:C. 【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考问题要周密. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有三个小孩的家庭．随机选择一个家庭，记该家庭中是“三个男孩”“两个男孩一个女孩”“两个女孩一个男孩”“三个女孩”分别为事件，，，，则（ ） A. 事件，，两两互斥 B. 该家庭既有男孩又有女孩的概率为 C. 事件与互为对立事件 D. 事件，相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，C；利用古典概型可判断选项B；利用独立事件概率乘积公式判断选项D. 【详解】有三个小孩的家庭按老大老二老三排列的样本空间可记为： Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，共计8种情况， 事件A={（男，男，男）}，1种情况 事件B={（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}，3种情况， 事件C={（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）}，3种情况 事件D={（女，女，女）},1种情况 对于A：A与C无公共元素，即A与C互斥，A与B无公共元素，即A与B互斥，C与B无公共元素，即C与B互斥，A正确； 对于B：家庭既有男孩又有女孩的概率为，B错误； 对于C：互斥，且，即与对立，C正确； 对于D： ，所以相互独立，D选项正确. 故选：ACD 10. 某学校为了解学生英语口语情况，在学校组织了一次口语测试，高一、高二、高三的参考人数分别为300，400，300，采用样本量比例分配的分层随机抽样从三个年级中抽取容量为50的样本，经计算三个年级口语成绩的样本平均数分别为90，85，90，方差分别为2，1，2，则（ ） A. 三个年级分别抽15，20，15人 B. 总样本平均数为88 C. 总样本方差为 D. 估计该校学生的口语成绩平均数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求出各年级抽取的人数，再由平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意高一年级抽取人， 高二年级抽取人， 高三年级抽取人，故A正确； 所以总样本平均数为，故B正确； 则估计该校学生的口语成绩平均数为，故D错误； 总样本方差为，故C正确. 故选：ABC 11. 已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面半径分别为，且，则（ ） A. 球的体积为 B. 圆台的体积大于 C. 圆台的侧面积小于 D. 圆台母线与底面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出圆台的截面图，由几何知识确定球的半径判断A，利用A中结论和圆台的体积公式、侧面积公式，结合基本不等式判断BC，根据余弦的定义和二倍角公式判断D即可. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径为， 因为，所以与全等，所以平分， 同理可得平分，所以， 所以由得， 同理可得，所以， 所以，球的体积，A说法正确； 由圆台体积公式得该圆台的体积， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，故B说法正确； 因为， 所以，，当且仅当时等号成立， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以由圆台的侧面积公式可得圆台的侧面积，当且仅当时等号成立，C说法错误； 因为， 所以圆台母线与底面所成角的余弦值， 又因为，所以，即圆台母线与底面所成角的余弦值为，D说法正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：由该几何体的轴截面，利用几何关系可知，进而得到内切球半径与上、下底面半径的关系，再逐项判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从一个三棱锥的6条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】如图：从三棱锥的6条棱中任取2条,所有的基本事件有：共15种， 互为异面直线的有共3种， 故概率为， 故答案为： 13. 已知复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 中，，角的平分线交于点，若，则外接圆的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设，则，利用等面积法推出，即可求出，从而得到，再由正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的面积. 【详解】因为角的平分线交于点，所以， 又，所以， 设，则， 所以，即， 即， 所以，即，又，所以，所以， 则，所以，所以， 所以外接圆的半径， 则外接圆的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由等面积法推导出，从而求出. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 梯形中，，，，分别为，的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）若，，求，的夹角． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）利用垂直关系可得，由数量积的运算，即可根据夹角公式求解. 【小问1详解】 , 故， 又，故， 故, 【小问2详解】 由可得， 故， ，故，故 故， 由于，故 16. 大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉水”之称．一果农从果园中随机抽取100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这100颗大黄梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图． （1）估计该批大黄梨的平均评分及标准差； （2）若将评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果四个不同的等级，果农现有5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量； （3）用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 方案2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示： 等级 普通 良果 优果 特优果 售价（元/千克） 7 8 12 15 若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 【答案】（1）， （2）普通果的质量为千克，良果的质量为千克，优果的质量为千克，特优果的质量为千克； （3） 选用方案2，理由如下： 若按方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 若按方案2：分类卖出，则单价的平均值为（元/千克）， 因为，所以从果农的角度，采用方案2较好. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数、方差计算规则计算可得； （2）首先求出各级果的频率，即可求出相应的质量； （3）求出方案2单价的均值，即可判断. 【小问1详解】 依题意评分的平均值， 方差， 所以标准差； 【小问2详解】 由（1）可得评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果， 则评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 又果农现有千克大黄梨， 所以普通果的质量为千克， 良果的质量为千克， 优果的质量为千克， 特优果的质量为千克. 【小问3详解】 略 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，分别求周长与面积的最大值． 【答案】（1）2 （2）6； 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换结合正弦定理，余弦定理化简可得解； （2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算求得周长，面积的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以，由正弦定理可得， 又结合余弦定理可得， 所以得，即. 【小问2详解】 由（1）结合，可得， 所以三角形的周长， 当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为6. 由（1）得，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以， 所以， 当，即时，面积取得最大值. 18. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． （1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； （2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据：） 【答案】（1）乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得； 【小问1详解】 记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 依题意，，所以， ，所以， 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； 【小问2详解】 记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； 【小问3详解】 设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. 19. 如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． （1）求； （2）证明，，三线共点，并求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，，二面角的大小为，求三棱台的体积． 【答案】（1） （2）证明：显然与相交，设， 因为平面，平面，因为平面平面， 所以，所以，，三线共点， 由（1）可得，所以，所以， 则，所以， 所以，设四棱柱的底面积为，高为，体积为， 所以棱台的体积， 则另一部分的体积， 所以四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质得到，同理可证又，即可得到，从而得解； （2）设，再由平面平面，即可证明三线共点，设四棱柱的底面积为，高为，体积为，求出棱台的体积，即可得解； （3）作于，连接，即可证明，从而得到二面角的平面角为，求出，即可求出，从而求出四棱柱的体积，结合（2）即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 在四棱柱中，所以，， 所以，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 所以二面角的平面角为，即， 所以，所以， 所以，，所以， 所以四棱柱的体积， 所以三棱台的体积. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用整体思想，根据三角形相似得到线段比、从而得到面积、体积之比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据5.9，7.8，7.2，8.4，8.9，8.3，9.5，9.1的第80百分位数为（ ） A. 8.3 B. 8.9 C. 9.1 D. 9.3 3. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件， 互斥，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B. 概率是随机的，在试验前不能确定 C. 事件，满足，则 D. 天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 6. 已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有三个小孩的家庭．随机选择一个家庭，记该家庭中是“三个男孩”“两个男孩一个女孩”“两个女孩一个男孩”“三个女孩”分别为事件，，，，则（ ） A. 事件，，两两互斥 B. 该家庭既有男孩又有女孩的概率为 C. 事件与互为对立事件 D. 事件，相互独立 10. 某学校为了解学生英语口语情况，在学校组织了一次口语测试，高一、高二、高三的参考人数分别为300，400，300，采用样本量比例分配的分层随机抽样从三个年级中抽取容量为50的样本，经计算三个年级口语成绩的样本平均数分别为90，85，90，方差分别为2，1，2，则（ ） A. 三个年级分别抽15，20，15人 B. 总样本平均数为88 C. 总样本方差为 D. 估计该校学生的口语成绩平均数为 11. 已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面半径分别为，且，则（ ） A. 球的体积为 B. 圆台的体积大于 C. 圆台的侧面积小于 D. 圆台母线与底面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从一个三棱锥的6条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为______． 13. 已知复数满足，则的取值范围是______． 14. 中，，角的平分线交于点，若，则外接圆的面积是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 梯形中，，，，分别为，的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）若，，求，的夹角． 16. 大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉水”之称．一果农从果园中随机抽取100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这100颗大黄梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图． （1）估计该批大黄梨的平均评分及标准差； （2）若将评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果四个不同的等级，果农现有5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量； （3）用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 方案2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示： 等级 普通 良果 优果 特优果 售价（元/千克） 7 8 12 15 若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，分别求周长与面积的最大值． 18. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． （1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； （2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据：） 19. 如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． （1）求； （2）证明，，三线共点，并求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，，二面角的大小为，求三棱台的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $