精品解析：山西大同市煤矿第一中学校2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试题

2025―2026学年度第二学期高一年级期末考试 数学试题 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法以及几何意义即可求解. 【详解】由，得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及向量垂直的条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：A． 3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明. 【详解】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 5. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项. 【详解】由正弦定理，又已知， 所以，所以， 因为，所以，， 又，所以，同理可得， 所以是等腰直角三角形. 6. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案. 【详解】由于 分别是 中点，所以 ， 可得是异面直线 与 所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为，则， ， 所以. 7. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 【答案】C 【解析】 【详解】事件，相互独立，， ，; . 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 二.多选题：（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式和对立事件的加法公式注意判定ABC；D根据判定. 【详解】对于A，因是互斥事件，故，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误； 对于D，因为互斥，所以，故， 所以事件不相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用余弦定理计算来判断 B利用三角形的面积公式计算即可； C利用正弦定理计算即可； D利用即可求出内切圆半径. 【详解】解：， 由于在中，则， 故，A正确； ，B错误； 设外接圆半径为，，C正确； 设内切圆半径为，则， 即，解得，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可. 【详解】设正方体棱长为，为中点， 对A：如图： 在正方体中，对角线 平面， 若取动点落在的边上，则平面， 由线面垂直性质得： ，所以存在满足条件的点，故A正确； 对B：如图 建立空间直角坐标系：， ， 设，， ，所以，即， 在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点）， 矩形邻边长：， 轨迹周长，故B错误； 对C：如图： 依次取：为中点，为中点，为中点，为中点，为中点， 顺次连接，得六边形， 由中位线定理：， 所以平面，平面， 又是平面内的两条相交直线， 所以平面平面， 若在六边形边上，则平面，所以平面， 即动点的轨迹为六边形， 因为正方体棱长为，所以， 该六边形六条边长全部相等，每个内角均为， 六边形是正六边形， 所以动点的轨迹是正六边形，故C正确； 对D：如图： 由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为， 设，其中 设，代入距离公式： ，即， 在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧， 因为，，平面， 所以 平面， 又因为平面平面，平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作 延长线，垂足为， 中，， 越大，二面角越大，即最大化， 因为，则当取圆弧上切点时， ，， 所以， 即二面角最大角的正切值为，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数z满足，则的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】几何法思路： 根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为，用圆心距减去半径即可得到最小值． 代数法思路： 设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值． 【详解】方法一：几何法 复数在复平面内对应的点为， 表示点在以为圆心、半径的圆上， 表示点到原点的距离． 圆心到原点的距离为， 因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径， 即． 方法二：代数法 设， 由得，即， 所以， 由圆的范围，得， 当时，． 13. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 14. 已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设，，利用坐标运算化简，最后求一元二次函数的最值即可. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，则， 设，，其中，， 则，， 由，可得，即， 所以， 所以当时，取得最大值5. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，，且 由余弦定理知，即， 解得，所以的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 由四边形为正方形， 可知为中点，为中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差． 【答案】（1），众数为 （2）分． （3）； 【解析】 【分析】（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可； （2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可. 【小问1详解】 依题意可知，， 又，解得， 由图可知样本数据的众数落在区间内， 所以估计样本数据的众数为125． 【小问2详解】 由（1）可知，即成绩落在中的频率为， 成绩落在中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在中． 设获得一等奖学生的最低分为x，则有， 解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分． 【小问3详解】 ， . 18. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明： 连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ， 可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD， 又AB//CD，所以 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE. 又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB， 又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB. （2）； （3） 【解析】 【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. (2) 在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离. (3) 先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解. 【详解】(1)略； (2)因为PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB. 又 PA=2， AB=1，所以. 因为正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中点，所以. 因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB， 所以 因为，PA⊥底面ABCD， 设点D到平面PBE的距离为d， 所以， 而 所以，即点D到平面PBE的距离为. (3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线. 取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI. 由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， 可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以 . 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH. 又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A， 所以BH⊥平面PAD，又平面PAD，所以.BH⊥PF， 又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B， 所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI， 则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角. 因为BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI. 因为菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，. 在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF， 所以，，又， 所以中，，， 即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025―2026学年度第二学期高一年级期末考试 数学试题 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 二.多选题：（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数z满足，则的最小值为_____． 13. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 14. 已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差． 18. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $