5.4.2用二元一次方程组确定一次函数表达式（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用二元一次方程组确定一次函数表达式”核心知识点，通过A、B两地骑行相遇的实际情境导入，衔接上节“方程变函数”内容，引导学生从几何坐标回归代数表达式，构建“设、代、解、写”四步学习支架。 其亮点在于分层练习覆盖基础两点求解析式、中档坐标轴交点到提升表格信息题，易错点精准总结格式遗漏等问题，结合蛇长与尾长、汽车加油等实际情境，培养学生几何直观、运算能力和模型意识。采用待定系数法系统教学，小结逻辑清晰，助力学生掌握数形结合方法，教师可高效开展分层教学。

# 北师大版八年级上册数学5.4.2用二元一次方程组确定一次函数表达式专项练习 ## 一、核心知识点梳理 用二元一次方程组确定一次函数表达式，是数形结合思想的逆向运用，也是本章核心必考考点。上一节实现了“方程变函数、代数转图像”，本节反之，通过函数图像上的已知点，利用二元一次方程组**求未知系数**，最终确定完整的一次函数解析式，是从几何坐标回归代数表达式的重要方法。 核心原理：一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，式中有两个未知参数$k$、$b$。根据“两点确定一条直线”，已知一次函数图像上**两个不同点的坐标**，即可代入解析式得到两个二元一次方程，联立组成二元一次方程组，解出$k$、$b$的值，即可锁定唯一的一次函数表达式。 标准解题四步法：第一步，设式，先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$；第二步，代点，将图像上两个已知点的坐标分别代入解析式，得到二元一次方程组；第三步，求解，用代入或加减消元法解方程组，求出$k、b$；第四步，写式，将系数回代，写出最终的一次函数表达式。 常见题型来源：已知两点坐标、已知函数图像与坐标轴交点、已知表格对应值、已知实际情境两组对应量，本质均为提供两组(x、y)数值，用于列方程组求参。 ## 二、易错点总结 1. 格式遗漏：设解析式时忘记标注$k≠0$，书写不规范。2. 代点错乱：代入坐标时x、y对应颠倒，导致方程组列式完全错误。3. 计算失误：解方程组求k、b时，符号出错、分数运算出错，是最高频易错点。4. 结论不回代：求出k、b后，未代入原式写出完整函数表达式，解题步骤不完整。5. 特殊情况忽略：误将正比例函数当成普通一次函数，漏判b=0的特殊题型。6. 数据看错：表格、图像读数时坐标取值错误，导致后续全部计算偏差。 ## 三、分层专项练习题（含完整解析） ### 基础题（两点求解析式） 1. 已知一次函数图像经过点$(1,3)$和$(2,5)$，求该一次函数表达式。 解析：设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标分别代入得：$\begin{cases} k+b=3 ①\\ 2k+b=5 ② \end{cases}$。②-①得$k=2$，把$k=2$代入①，得$2+b=3$，解得$b=1$。∴一次函数表达式为$y=2x+1$。 ### 中档题（坐标轴交点题型） 2. 已知一次函数图像经过点$(0,-2)$，且经过点$(3,4)$，求该一次函数解析式。 解析：设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入两点得：$\begin{cases} b=-2 ①\\ 3k+b=4 ② \end{cases}$。将①代入②得$3k-2=4$，解得$k=2$。∴函数表达式为$y=2x-2$。 点拨：图像与y轴交点坐标可直接读出$b$的值，简化计算过程，是考试常用简便技巧。 ### 提升题（表格信息综合题） 3. 已知某一次函数中x与y的对应关系如下表： $\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 2 \\ \hline y & -5 & 4 \\ \hline \end{array}$ 求该一次函数的表达式，并求x=0时y的值。 解析：设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格两组值代入：$\begin{cases} -k+b=-5 ①\\ 2k+b=4 ② \end{cases}$。②-①得$3k=9$，解得$k=3$。将$k=3$代入①，得$-3+b=-5$，解得$b=-2$。函数表达式为$y=3x-2$。当$x=0$时，$y=-2$。 ## 四、专项总结 本节核心方法为**待定系数法**，是初中数学求函数解析式的通用核心方法，整套流程可概括为：设、代、解、写。其本质是利用几何点坐标满足代数解析式的数形结合关系，将求函数问题完全转化为解二元一次方程组问题。解题关键是准确代入坐标、规范列写方程组、细心求解系数。无论题目给出点坐标、图像、表格还是实际数据，核心逻辑不变，只需提取两组有效对应值即可求解。本节是一次函数压轴题、综合应用题的基础，熟练掌握待定系数法，可彻底打通方程与函数的关联体系，为后续复杂函数学习做好铺垫。 北师大版（新教材）数学八年级上册 5.4.2用二元一次方程组确定 一次函数表达式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程组 1．知道待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式，发展运算能力． 学习目标 A，B 两地相距 100 km ，甲、乙两人骑车同时分别从A，B 两地相向而行. 假设他们都匀速骑行，则他们各自与 A 地之间的距离 s（单位：km）都是骑行时间 t（单位：h）的一次函数.骑行 1 h 乙距离 A 地 80 km，骑行 2 h 甲距离 A 地 30 km. 问：经过多长时间两人相遇？你是怎样做的？与同伴进行交流. 新知探索 3 甲：t=0，s=0. t =2，s=30. 乙：t=0，s=100. t =1，s=80. A 甲 乙 B 30km （2h） 80km （1h） 100km 4 s/km t/h 小亮： 可以分别画出两人 s 与 t 之间关系的图象，找出两个图像交点的横坐标就行了！ 结果准确吗？ 5 小明： 对于甲和乙，s 分别是 t 的一次函数， 设甲： ，乙： 6 小明： 甲： 代入 得方程组 解得 所以甲的 s 关于 t 的函数表达式为 同理乙的 s 关于 t 的函数表达式为 7 小明： 联立 求得 用二元一次方程组 确定一次函数表达式 8 小颖： 乙的速度 （km/h） 两人的速度和为 （km/h） 两人相遇的时间为 （h） 甲的速度 （km/h） 想想是 为什么 9 知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式 1.［教材尝试·思考变式］ 已知一次函数 的图象经过点 ， ，则该一次函数的表达式为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2.已知是的一次函数，下表中列出了与的部分对应值，则 ___。 … 0 3 … … 5 … 2 返回 举一反三 11 3.［2025岳阳月考］如图，直线与 轴交于点，点关于轴的对称点为 ，经过 点和轴上的点 的直线对应的函数表 达式设为 。 （1）求点 的坐标； 解：对于，令，则，所以 ，所以 。因为点关于轴的对称点为，所以 。 举一反三 12 （2）确定直线 对应的函数表达式。 解：因为直线对应的函数表达式为，且，， 所以解得 所以直线对应的函数表达式为 。 返回 举一反三 13 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费 y（单位：元）是行李质量 x（单位：kg）的一次函数. 已知李明带了 60 kg 的行李，交了行李费 5 元；张华带了 90 kg 的行李，交了行李费 10 元. （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？ 超过该质量需购买行李票，且行李费 y（单位：元）是行李质量 x（单位：kg）的一次函数 14 解:（1）设 ，根据题意，得 所以 解这个方程组，得 15 令 ，即 解得 ； 当 时， 所以每名乘客最多可免费携带 30 kg 的行李. 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法. （2） 一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件！ 16 已知一次函数 的图象经过点 （a，7）和（-2，a），求这个函数的表达式. 解得 这个函数的表达式是 尝试·思考 1.已知方程组 的解是 试求直线 y=3x－3与 y=-x+3的交点坐标. 【教材P132 习题5.4 第1题】 解：交点坐标为（，1）. 当堂检测 18 2.已知直线 y=3x－5与 y=2x+b的交点坐标是（1，-2）, 试确定方程组 的解和b的值. 【教材P132 习题5.4 第2题】 解：该方程组的解为 b=-4. 当堂检测 19 3.已知直线 y=2x与 y=-x+b的交点坐标是（1，a）, 试确定方程组 的解和a,b的值. 【教材P132 习题5.4 第3题】 解：该方程组的解为 a=2，b=3. 当堂检测 20 4.（1）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解.（2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征. 【教材P132 习题5.4 第4题】 解：（1） （答案不唯一） （2）可以，如 等. 共同特征：两个一次方程未知项的系数对应成比例. 当堂检测 5.生物学研究表明，某种蛇的长度y（单位：cm）是其尾长x（单位：cm）的一次函数. 当尾长为6cm时，蛇长为45.5cm；当尾长为14cm时，蛇长为105.5 cm. （1）写出y与x之间的关系式； （2）当一条这种蛇的尾长为10cm时，这条蛇的长度是多少？ 【教材P132 习题5.4 第5题】 当堂检测 解:（1）设 ，根据题意，得 所以， 解这个方程组，得 （2）当x=10时，y=7.5×10+0.5=75.5 所以，当一条这种蛇的尾长为10cm时，这条蛇的长度是75.5cm. 当堂检测 23 6.对于密闭容器内的气体，其压强p（单位：kPa）是温度t（单位：℃）的一次函数. 现测得某密闭容器内气体的压强p与温度t之间的关系如图所示. （1）求60 ℃时该容器内气体的压强； （2）通常情况下，当压强不超过 1200 kPa时，该容器是安全的（否 则会有破裂甚至爆炸的风险），求 该容器的安全温度（超过该温度就 有安全风险）. 【教材P132 习题5.4 第6题】 当堂检测 解:（1）设p与t之间的关系式为p=kt+b， 根据题意，得 所以， p与t之间的关系式为p=2t+550. 解这个方程组，得 （2）令p=1200，即2t+550=1200，解得 t=325. 所以，该容器的安全温度为325 ℃. 当t=60时，p=2×60+550=670. 所以，60 ℃时，该容器内气体的压强为670kPa. 当堂检测 25 7.汽车出发前油箱内有油50L，行驶一段时间在加油站加油若干升. 汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示. （1）汽车行驶了____h在加油站加油，加油_____L. （2）求加油前油箱中剩余油量у与行驶时间 t之间的关系式. （3）如果加油前、加油后汽车都以70km/h 的速度匀速行驶，加油站距离目的地210km， 那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？ 请说明理由. 【教材P133 习题5.4 第7题】 3 31 当堂检测 解：（3）油箱中的油够用. 理由：由题意，加油前汽车行驶了210 km，耗油 36 L，加油后从加油站到目的地还有 210 km，而此时油箱中余油 45 L，45>36，所以油箱中的油够用. 当堂检测 27 8.回顾本书第四章第4节的有关例题、习题，你能利用二元一次方程组求解吗? 【教材P133 习题5.4 第8题】 当堂检测 知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题 4.某公司销售部营销人员的个人收入 （元）与 其每月的销售量 （万件）成一次函数关系，其 图象如图，营销人员没有销售量时的个人收入是 ( ) B A.1 000元 B.2 000元 C.3 000元 D.4 000元 返回 举一反三 29 5. 物理实验技能考核前，小亮对“探究凸透镜成像规律” 的实验进行了反复练习，在练习的过程中，他发现“蜡烛在燃烧过程中， 其剩余高度与燃烧时间 之间成一次函数关系”，已知蜡烛 燃烧后，蜡烛剩余高度为；蜡烛燃烧 后，蜡烛剩余 高度为。若蜡烛燃烧一段时间后还剩 ，则蜡烛燃烧了____ 。 50 返回 举一反三 30 6.［2025长沙月考］某水果商店推出的一款水果拼盘套餐受到广大消费 者的喜爱，每天销售量（盒）与销售单价 （元/盒）之间存在一次函 数关系（如表所示）。已知水果拼盘套餐的成本为30元/盒。 销售单价 （元/盒） 40 50 60 销售量 盒 220 200 180 举一反三 31 （1）求出与 的函数关系式； 解：设与的函数关系式为 ， 由题意得 解得 所以与的函数关系式为 。 举一反三 32 （2）当销售单价为65元/盒时，求当天的销售利润。（销售利润 销售 额-成本） 解：因为，所以当 时， ， 所以 （元）。 答：当销售单价为65元/盒时，当天的销售利润为5 950元。 返回 举一反三 33 7.如图，在平面直角坐标系中放置3个长为2,宽为1的长方形。已知一次 函数的图象经过点,,则__， __。 返回 举一反三 34 课堂小结 借助图像可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果. 为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 设 代 解 写 把已知条件代入，得到关于k，b的方程组 解方程组，求出k，b的值 写出一次函数表达式 设出函数表达式： 35 谢谢观看 THANKS $