精品解析：广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年 下学期八年级数学期末试卷

2025~2026学年度春季学期综合评价四 初二数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2. 考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3. 不能使用计算器． 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测，间的距离：先在外选一点，然后测出，的中点分别为，，并测出的长约为米，由此可算得，间的距离约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在函数中，自变量的取值范围是______． 14. 在方程中，小金解得，则______． 15. 在一次数学测验中，五位同学的成绩分别是90、x、80、85、85，若这五位同学成绩的众数与平均数恰好相等，则他们成绩的中位数是 _______． 16. 如图1，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，连结．如图2，连接，动点M在线段上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E．点M、N在移动过程中，线段的长度是____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 18. （1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）； （2）直接写出．三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上找一点使得最小． 19. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，M是AC延长线上一点． （1）用直尺和圆规：作∠BCM的角平分线CN，过点B作CN的垂线，垂足为E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求证：四边形BECD是矩形． 20. 社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，45，55，60，65，70，80 阅览室 平均 众数 中位数 方差 A a 48 48 B 50 b c 325 （1）上述表中， ， ， ； （2）小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，，并绘制了箱线图；请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； （3）根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 21. 如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车轮半径忽略不计），，均与地面平行．请按要求完成下列任务： （1）判断支架与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，过点F作交的延长线于N，延长交于M，若的长度为，，求购物车把手F到的距离．（结果精确到，，） 22. 【项目式学习】 【知识背景】某校数学兴趣小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学知识可知，用筷子敲击玻璃瓶瓶口时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率随水位高度的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度（） 5 10 15 20 25 频率（） 500 420 340 260 180 兴趣小组通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表，一种音阶代表一个水瓶． 音阶 频率（） 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 【完成任务】根据以上信息，解答下列问题： （1）求出该种水瓶乐器的频率关于水位高度的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） （2）若玻璃瓶中的水的高度为，求此时能敲出哪个音阶； （3）已知玻璃瓶中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃瓶中的水位高度为时，所使用的水量为．玻璃瓶中的水位每升高时，所使用的水量增加，如果兴趣小组想利用4个实验中的玻璃瓶（按图片的音阶从左到右编号为1、2、3、4号）制作水瓶乐器，敲出图片中的旋律，请你帮助兴趣小组计算一下4个瓶子中的水量分别是多少． 23. 【综合与实践】 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为： ． 【初步应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （2）求证：． （3）若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （4）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度春季学期综合评价四 初二数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2. 考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3. 不能使用计算器． 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】如果三角形三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边所对的角是直角． 【详解】解：：，符合题意； ：，：，：，均不符合题意． 2. 下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可． 【详解】最简二次根式的定义为：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，对选项逐一判断： A选项 ，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式． B选项 ，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． C选项 ，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式． D选项 ，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差可进行求解． 【详解】解：由题意得：； ∴成绩最稳定的是丁； 故选D． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和运算法则，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A.，本选项运算错误，不符合题意； B.，本选项运算错误，不符合题意； C.，本选项运算正确，符合题意； D.，本选项运算错误，不符合题意． 6. 如图，，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测，间的距离：先在外选一点，然后测出，的中点分别为，，并测出的长约为米，由此可算得，间的距离约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】利用中位线性质建立与的数量关系即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ， 米， 米． 7. 如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两一次函数图像的交点得到在该点时，两一次函数的函数值相等，再根据题目所求是在该点的左侧还是右侧，在左侧小于该点的横坐标，在右侧大于该点的横坐标． 【详解】解：∵点是一次函数与的交点， ∴当时，， 由图像可知，当时，一次函数在下方， ∴ 即时，． 8. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 9. 某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 10. 如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的判定和性质可判定①，利用平行四边形的判定和性质及等角对等边可判定②，利用三线合一可判定③，利用三角形面积的和差可判定④． 【详解】解：， ， ， ， ，正确； ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，正确； ，， ， ， 平分，正确； ， 点、到的距离相等， ， ， ，正确， 综上，正确的说法有． 11. 青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：，轴，点在直线上， 点， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， 同理得：，，…； 按此作法进行下去，则， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数的自变量，根据分式的分母不等于0求解即可． 【详解】解：在函数中，由得， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：． 14. 在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 解得. 15. 在一次数学测验中，五位同学的成绩分别是90、x、80、85、85，若这五位同学成绩的众数与平均数恰好相等，则他们成绩的中位数是 _______． 【答案】85 【解析】 【分析】此题考查了众数的定义，中位数的定义，平均数的计算公式，正确掌握各定义并分类讨论是解题的关键． 通过已知条件，先求出未知数x的值，再根据众数，平均数和中位数的定义，求出中位数． 【详解】解：因为众数与平均数恰好相等，说明众数是一个数， 则有， 所以， 将这5个数从小到大排列如下： 80，85，85，85，90， 中间的数是85， 所以成绩的中位数是85， 故答案为：85． 16. 如图1，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，连结．如图2，连接，动点M在线段上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E．点M、N在移动过程中，线段的长度是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得出，由勾股定理求出，，过点作交于，由全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，， 将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处， ， ， ， ， 过点作交于， ， ∵， ， ， ， 又， ， 又， ， 在和中 ， ∴， ， ，， ， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 18. （1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）； （2）直接写出．三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上找一点使得最小． 【答案】（1）如图，即为所求： （2），，； （3）即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，根据轴对称的性质画轴对称图形；能够准确找到对称点是解决本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据点，，的位置可得其坐标； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）根据，，的位置可得： ，，； （3）略 19. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，M是AC延长线上一点． （1）用直尺和圆规：作∠BCM的角平分线CN，过点B作CN的垂线，垂足为E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求证：四边形BECD是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）尺规作∠BCM的角平分线CN的作法：先以点C为圆心，某一长度为半径作圆，交射线CM、CN于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径作圆，在角的内部产生交点，连接交点与点C，即为∠BCM的角平分线CN；尺规作过点B作CN的垂线段BE：先以点B为圆心，某一长度为半径作圆，交CN于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径作圆，交CN上方于一点，连接该点与点B，与CN交点即为点E． （２）由CD是线段AB的垂直平分线，可得AC＝BC，∠DCB＝∠ACB，又因为CN平分∠BCM，易证∠DCN＝(∠ACB+∠BCM)＝90°，再结合CD⊥AB，BE⊥CN，即可证明四边形BECD是矩形． 【小问1详解】 如图所示，CN，BE为所求 【小问2详解】 证明：∵CD是AB的垂直平分线 ∴CD⊥BD，AD＝BD ∴∠CDB＝90°，AC＝BC ∴∠DCB＝∠ACB ∵CN平分∠BCM ∴∠BCN＝∠BCM ∵∠ACB+∠BCM＝180° ∴∠DCN＝∠DCB+∠BCN＝(∠ACB+∠BCM)＝90° ∵BE⊥CN ∴∠BEC＝∠DCN＝∠CDB＝90° ∴四边形BECD是矩形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、矩形的判定，要求掌握５类基本尺规作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的角平分线、作已知线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线． 20. 社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，45，55，60，65，70，80 阅览室 平均 众数 中位数 方差 A a 48 48 B 50 b c 325 （1）上述表中， ， ， ； （2）小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，，并绘制了箱线图；请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； （3）根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）B 阅览室四分位数：，绘制箱线图如图所示： （3）解：社区应该挑选A阅览室，理由如下： 从平均数和方差看，两个阅览室的平均数相差不大，但A阅览室的方差小于 B 阅览室，即A阅览室预约人数比较稳定；基于四分位数或箱线图，可以发现A的中位数与B的中位数相差不大，但A阅览室预约人数明显比B的波动小，所以社区应该挑选A阅览室． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【小问1详解】 解：A阅览室预约人数的平均数； B 阅览室预约人数为 25 的出现次数最多，因此众数； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第 5 个数为 45 ，第 6 个数为 55 ，因此中位数为； 【小问2详解】 解：方法一：，∴为从小到大顺序排列第3个数，即， ，∴为从小到大顺序排列第5个数和第6个数的平均数，即， ，∴为从小到大顺序排列第8个数，即； 方法二：为前5个数据的中位数，即， 为后5个数据的中位数，即， 为中位数，即； 综上，B阅览室预约人数的四分位数为； 同时B的最小值为25，最大值为80， 绘制箱线图略． 【小问3详解】 略． 21. 如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车轮半径忽略不计），，均与地面平行．请按要求完成下列任务： （1）判断支架与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，过点F作交的延长线于N，延长交于M，若的长度为，，求购物车把手F到的距离．（结果精确到，，） 【答案】（1），理由如下： ， ∴是直角三角形，且， ． （2） 【解析】 【分析】（1）通过已知的线段的长，利用勾股定理的逆定理说明是直角三角形，即证垂直关系； （2）利用平行关系得到，利用特殊角求出对应高度，再通过等面积法求出，加上的长即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由题意，可知， ∴，点到的距离等于， ， ， ， ， 即购物车把手到的距离约为． 22. 【项目式学习】 【知识背景】某校数学兴趣小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学知识可知，用筷子敲击玻璃瓶瓶口时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率随水位高度的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度（） 5 10 15 20 25 频率（） 500 420 340 260 180 兴趣小组通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表，一种音阶代表一个水瓶． 音阶 频率（） 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 【完成任务】根据以上信息，解答下列问题： （1）求出该种水瓶乐器的频率关于水位高度的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） （2）若玻璃瓶中的水的高度为，求此时能敲出哪个音阶； （3）已知玻璃瓶中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃瓶中的水位高度为时，所使用的水量为．玻璃瓶中的水位每升高时，所使用的水量增加，如果兴趣小组想利用4个实验中的玻璃瓶（按图片的音阶从左到右编号为1、2、3、4号）制作水瓶乐器，敲出图片中的旋律，请你帮助兴趣小组计算一下4个瓶子中的水量分别是多少． 【答案】（1） （2）音阶是． （3）水量分别是，，，． 【解析】 【分析】（1）先确定频率与水位高度满足一次函数关系，再由待定系数法求解即可． （2）先求出水位高度所对应的频率，再查音阶与频率对照表，即可求解． （3）根据已知条件，求出总用水量的公式，再计算每个音阶对应的水位高度，得到4个瓶子中的水量即可． 【小问1详解】 解：频率与水位高度满足一次函数关系， 设， ，；，， 解得 频率与水位高度满足一次函数关系式为 ． 【小问2详解】 解：已知频率与水位高度满足一次函数关系式为 则当时，， 当水瓶乐器的频率为，此时能敲出的音阶为． 【小问3详解】 解：由，解出， 的频率为， 水位高度为； 的频率为， 水位高度为； 的频率为， 水位高度为． 已知水位高度为时，所使用的水量为． 水位每升高时，所使用的水量增加， 总水量公式为， 4个瓶子中的水量分别为 1号瓶：； 2号瓶：； 3号瓶：； 4号瓶：． 23. 【综合与实践】 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为： ． 【初步应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （2）求证：． （3）若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （4）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）5 （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，进而可得出，由等角对等边得出． （2）由折叠的性质可得出，由矩形的性质得出，进而可得出，又，即可得出． （3）设，则，在中，，利用勾股定理求出x，进而求出． （4）由折叠的性质得出，，， ，得出，由全等三角形的性质得出，然后分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴ ∴． 【小问4详解】 解：由折叠的性质得：，，， ， ∴， 又， ∴， ∴， 分两种情况： 当点Q在线段上时， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点Q在线段上时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $