5.3.2应用二元一次方程组——增收节支（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决增收节支问题，涵盖收支、增长率等核心公式及解题六步模板，通过复习列方程组步骤与视频微课堂导入，结合表格梳理量的关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是用表格直观呈现数量关系培养几何直观与抽象能力，借工厂利润、商品调价等实例训练推理与运算能力，解题口诀和模板强化模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可高效开展教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 5.3.2应用二元一次方程组 ——增收节支 第五章 二元一次方程组 5.3.2 应用二元一次方程组——增收节支 同步知识点+练习题 【核心知识点精讲】 一、本节核心题型 增收节支问题是二元一次方程组经典应用题，主要包含：利润盈亏、增长率、降低率、收入支出、成本利润五类实际问题，核心是通过两组收支、增减的等量关系列方程组求解。 二、必考基础公式（解题万能依据） 1. 收入、支出、结余关系 $$\text{收入}-\text{支出}=\text{结余}$$ 2. 增长率公式 $$\text{新量}=\text{原量}\times(1+\text{增长率})$$ 3. 降低率公式 $$\text{新量}=\text{原量}\times(1-\text{降低率})$$ 4. 利润公式 $$\text{利润}=\text{总收入}-\text{总成本}$$ 三、标准解题六步模板（考试满分） 1. 审题：梳理原收入、现收入、原支出、现支出、增长率、降低率等已知条件； 2. 设元：通常设原来的收入为x，原来的支出为y（最通用设元方式）； 3. 找双等量：① 原来的收支结余关系 ② 增减后的收支结余关系； 4. 列方程组：根据两组收支、增减关系列二元一次方程组； 5. 求解：用代入/加减消元法解方程； 6. 验答：收入、支出必为正数，舍去不合理结果，规范作答。 四、两类核心出题模型（必考） 模型1：基础收支结余模型 已知：原收入、原支出、原结余；收入增加、支出减少，得到新结余。 核心两组关系： ① 原收入 − 原支出 = 原结余 ② 现收入 − 现支出 = 现结余 模型2：增长率/降低率增收节支模型（重难点） 收入增长一定百分比，支出降低一定百分比，已知新旧结余，求原收入、原支出。 现收入 = $$x(1+\text{增长率})$$ 现支出 = $$y(1-\text{降低率})$$ 五、高频易错扣分点 1. 混淆增长率和降低率公式，符号用反； 2. 误将“增长后总量”当成“增长量”，概念混淆； 3. 漏找两组等量关系，只列单个方程无法求解； 4. 设元不规范，不带单位，作答不完整； 5. 忽略实际意义，出现负数收支不检验舍去。 六、解题口诀 增收加、节支减，原量乘率得新量；收支结余两组式，二元消元求原值；正数合理负数舍 --- 【经典满分例题（课本原题）】 例题：增长率增收节支问题 某工厂去年总收入、总支出共结余50万元，今年总收入比去年增加10%，总支出比去年节约20%，今年结余100万元。求去年的总收入、总支出各是多少万元？ 解：设去年总收入为$$x$$万元，总支出为$$y$$万元。 根据题意列方程组： $$\begin{cases} x-y=50 \\ (1+10\%)x-(1-20\%)y=100 \end{cases}$$ 整理得：$$\begin{cases} x-y=50 \\ 1.1x-0.8y=100 \end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases} x=200 \\ y=150 \end{cases}$$ 答：去年总收入200万元，总支出150万元。 --- 【同步专项练习题】 一、填空题 1. 收支核心公式：________ − ________ = 结余。 2. 增长后总量 = 原量 × ________，降低后总量 = 原量 × ________。 3. 增收节支问题需找________组独立等量关系，列二元一次方程组求解。 二、解答题（规范步骤解题） 1. 某公司去年结余30万元，今年收入增加20%，支出减少10%，今年结余66万元，求去年的收入和支出。 2. 商店经营某种商品，上月总收入比总支出多8000元，本月收入增加15%，支出减少5%，本月比上月多结余9500元，求上月收入、支出各多少元。 3. 农户养殖，去年收支相抵结余4000元，今年收入提高35%，支出降低10%，今年结余11800元，求去年收入与支出。 --- 【参考答案与详细解析】 一、填空题答案 1. 收入、支出 2. $$(1+\text{增长率})$$、$$(1-\text{降低率})$$ 3. 两 二、解答题标准解析 1. 解：设去年收入$$x$$万元，支出$$y$$万元 $$\begin{cases} x-y=30 \\ 1.2x-0.9y=66 \end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases} x=130 \\ y=100 \end{cases}$$ 答：去年收入130万元，支出100万元。 2. 解：设上月收入$$x$$元，支出$$y$$元 $$\begin{cases} x-y=8000 \\ 1.15x-0.95y=8000+9500 \end{cases}$$ 整理：$$\begin{cases} x-y=8000 \\ 1.15x-0.95y=17500 \end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases} x=20000 \\ y=12000 \end{cases}$$ 答：上月收入20000元，支出12000元。 3. 解：设去年收入$$x$$元，支出$$y$$元 $$\begin{cases} x-y=4000 \\ 1.35x-0.9y=11800 \end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases} x=20000 \\ y=16000 \end{cases}$$ 答：去年收入20000元，支出16000元。 【本节满分总结】 1. 增收节支核心：原收支结余 + 增减后收支结余两组等量； 2. 牢牢记住增减率公式，区分增长量和现总量； 3. 通用设元：设去年/原来的收入、支出为x、y，计算最简便； 4. 所有收支数值必须为正，解题后结合实际检验。 能借助表格、线段图等方法直观分析较为复杂问题中的数量关系，并建立方程组解决问题. 会列二元一次方程组解决“增收节支”“配制(或配套)”类问题. 通过问题的解决进一步感受数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本，有效、合理地利用资源的意识． 复习导入 列二元一次方程组解应用题的步骤： (1)审清题意，设未知数； (2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系； (3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组； (4)解二元一次方程组； (5)作答. 一级标题：黑体， 3 视频导入 一级标题：黑体， 4 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (1) 这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (1) 已知量：前年总利润、去年总利润、去年的总收入增加的百分率，去年的总支出减少的百分率. 未知量：前年的总收入、前年的总支出、去年的总收入、去年的总支出. 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (1) 这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 等量关系：总收入-总支出=总利润. 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (2) 你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗? 利用表格梳理题目中的关键信息，是一种常用的方法. 知识点1 “增收节支”类问题 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ 知识点1 “增收节支”类问题 总收入/万元 总支出/万元 总利润/万元 前年 去年 x (1+20%)x y (1-10%)y 200 780 知识点1 “增收节支”类问题 解：设前年的总收入和总支出分别为 x 万元和 y 万元， 根据题意，得 所以，前年的总收入为、总支出0万元. 跟踪训练 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价. 知识点1 “增收节支”类问题 甲/元 乙/元 合计/元 原来的单价 现在的单价 x y 100 (1 - 10%)x (1 + 40%)y 100×(1+20%) 知识点1 “增收节支”类问题 解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元. 根据题意可列出方程组： 解方程组，得 所以，甲商品原来的单价为 40 元，乙商品原来的单价为 60 元. 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 分析：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有 知识点2 “配制（或分配）”类问题 成分 甲原料x g 乙原料y g 配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x 0.7y 35 x 0.4y 40 解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要. 知识点2 “配制（或分配）”类问题 跟踪训练 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成的，要求原料中含二氧化硅70%.已知石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.在3.2t原料中，需石英砂和长石粉各多少? 知识点2 “配制（或分配）”类问题 石英砂/t 长石粉/t 重量/t 需要量 含二氧化硅 x 99%x y 67%y 3.2 70%×3.2 知识点2 “配制（或分配）”类问题 解：设需石英砂 x t，长石粉 y t. 根据题意可列出方程组 解方程组， 所以，在 3.2 t 原料中，需石英砂 0.3 t，长石粉 2.9 t. 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会? 常常采用表格梳理关键信息， 能够将各个量之间的关系直观展现出来，便于列方程组. 知识点2 “配制（或分配）”类问题 知识点1 百分率问题 1.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余1 140元.设小明家去年收入x元，支出y元，则下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 返回 C 基础提优题 2.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3％，乙种贷款每年的利率为3.5％，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为　　　 　. 返回 30万元、20万元 基础提优题 3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60％的利润率标价出售，乙玩具按50％的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元. 返回 基础提优题 (1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是　　　元，甲玩具的售价是　　　　元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是　　　　元，乙玩具的售价是　　　　元.(用含x，y的式子填空) 返回 1.6x 1.44x 1.5y 1.35y 基础提优题 (2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元. 【解】依题意，得 解得 所以甲玩具每个的成本是100元，乙玩具每个的成本是200元. 返回 基础提优题 (3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 【解】设购进m个甲玩具，n个乙玩具， 依题意，得100m＋200n＝1 000，化简得m＝10－2n. 又因为m，n均为正整数， 所以或或或 返回 基础提优题 所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具. 返回 基础提优题 知识点2 配比问题 4. 用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示： 返回 种类 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/(单位•kg－1) 600 100 原料价格/(元•kg－1) 8 4 基础提优题 现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料　　kg，乙种原料　　kg. 8 2 返回 基础提优题 5.某种合金是由A，B两种金属熔炼而成，根据不同用途的需要，两种金属原材料所选的比例也不相同.当A，B两种原料按5∶4配料时，该合金材料价格为5 000元/吨；当A种原料占合金的60％时，该合金材料价格为4 860元/吨.则A种金属每吨的价格是　　　　元 . 返回 3 600 基础提优题 6. ［2026北京大兴区模拟］某公园门票价格如下表，某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为a和b (a＞b).若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1 560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1 170元，那么这两个社团的人数为a＝　　　　，b＝　　　　. 返回 购票人数 1～40 41～80 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 60 30 综合应用题 二元一次方程组的应用 配制问题 配套问题 “增收节支”类问题 收入增长： 现收入=原收入×(1+增长率) 支出节约(负增长)： 现支出=原支出×(1-节约率) 1. 总量不变关系 2. 成分含量不变关系 混合前甲成分含量+混合前乙成分含量=混合后总成分含量 核心是围绕“物品之间的配套比例”建立等量关系 课堂小结 Lavf57.71.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $