12.5 分式方程的应用 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册12.5分式方程的应用同步练，以A/B/C三级分层设计构建从基础步骤到综合应用的巩固路径，强化模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|列方程步骤、单一问题（工程/行程/购买）|选择填空夯实概念，解答题强化双重检验| |B组能力提升|综合问题（多量关系/变式情境）|增加条件限制，培养等量关系推理能力| |C组拓展探究|跨情境综合（方案决策/利润问题）|多问设计渗透优化思想，发展创新意识|

冀教版八年级数学（上） 第十二章 分式和分式方程 12.5 分式方程的应用 12.5 分式方程的应用 课时作业 冀教版·八年级数学（上册） 第十二章 分式和分式方程 一、课时学习目标 1. 能分析实际问题中的数量关系，会列分式方程解决工程、行程、购买等实际问题。 2. 掌握列分式方程解应用题的一般步骤，理解双重检验（既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际意义）。 3. 会用列表、画线段图等方法整理数量关系，提高分析问题与建模的能力。 二、知识梳理 知识点 1 列分式方程解应用题的一般步骤 ①审：审清题意，找出已知量、未知量和等量关系； ②设：设适当的未知数（可直接设，也可间接设），注意写清单位； ③列：根据等量关系列出分式方程； ④解：解这个分式方程； ⑤验：双重检验——一验是否为增根（代入最简公分母），二验是否符合实际意义（如时间、速度、人数必须为正数，人数还必须为整数）； ⑥答：写出完整的答语。 易错提醒：应用题的检验比解方程多一步。即使不是增根，如果得到“速度为负”“人数为小数”这样的结果，也必须舍去。 知识点 2 工程问题 基本关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。通常把工作总量看作单位 1。 若甲单独完成需 x 天，则甲的工作效率为 ；甲、乙合作 t 天完成的工作量为 t( + )。 知识点 3 行程问题 基本关系：路程 = 速度 × 时间，即 时间 = 。 常见变式：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度；②同一路程下，“快的比慢的少用多少时间”是最常见的等量关系。 知识点 4 购买（销售）问题与工作效率问题 （1）购买问题：数量 = 总价 ÷ 单价，即 数量 = 。 （2）效率问题：所用时间 = 工作总量 ÷ 每天的工作量。 （3）常见等量关系：“数量相同”“时间相同”“多买（多用）几个（几天）”“提前几天完成”等。 建模技巧：题目中出现“相同”“多”“少”“提前”“是……的几倍”等词语时，往往就是列方程的等量关系所在，可以先用表格整理“单量、数量、总量”三者的关系。 三、典例精析 例 1（工程问题）一项工程，甲队单独做 20 天可以完成。现在甲、乙两队合作 12 天完成了这项工程，问乙队单独做需要多少天？ 【解答】设乙队单独做需要 x 天完成。 由题意得 12( + ) = 1，即 + = 1。 去分母（两边同乘 5x），得 3x + 60 = 5x，解得 x = 30。 检验：x = 30 时，5x = 150 ≠ 0，且符合实际意义。 答：乙队单独做需要 30 天完成。 例 2（行程问题）小明骑自行车从 A 地到 B 地，路程为 30 km。已知汽车的速度是自行车速度的 3 倍，汽车比自行车少用 2 h 到达，求自行车的速度。 【解答】设自行车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 3x km/h。 由题意得 - = 2。 去分母（两边同乘 3x），得 90 - 30 = 6x，解得 x = 10。 检验：x = 10 时，3x = 30 ≠ 0，且速度为正，符合实际意义。 答：自行车的速度为 10 km/h。 【方法归纳】行程问题中“少用（多用）几小时”对应的等量关系是：慢的时间 - 快的时间 = 相差的时间。 例 3（购买问题）学校用 720 元购买某种篮球。若该篮球的单价降低 10%，则用同样多的钱可以多买 4 个，求这种篮球原来的单价。 【解答】设篮球原来的单价为 x 元，则降价后的单价为 0.9x 元。 由题意得 - = 4，即 - = 4。 去分母（两边同乘 x），得 800 - 720 = 4x，解得 x = 20。 检验：x = 20 时，x ≠ 0，且单价为正，符合实际意义。 答：这种篮球原来的单价为 20 元。 例 4（工作效率问题）甲、乙两个工程队修同一条公路。甲队每天比乙队多修 20 m，甲队修 400 m 与乙队修 300 m 所用的天数相同，求乙队每天修多少米？ 【解答】设乙队每天修 x m，则甲队每天修 (x + 20) m。 由题意得 = 。 去分母（两边同乘 x(x + 20)），得 400x = 300(x + 20)，解得 x = 60。 检验：x = 60 时，x(x + 20) = 60 × 80 = 4800 ≠ 0，且符合实际意义。 答：乙队每天修 60 m。 例 5（顺逆水问题）一艘轮船在静水中的速度为 x km/h，水流的速度为 3 km/h。已知该船顺流航行 60 km 与逆流航行 40 km 所用的时间相同，求这艘轮船在静水中的速度。 【解答】顺流速度为 (x + 3) km/h，逆流速度为 (x - 3) km/h。 由题意得 = 。 去分母，得 60(x - 3) = 40(x + 3)，即 60x - 180 = 40x + 120，解得 x = 15。 检验：x = 15 时，(x + 3)(x - 3) = 18 × 12 ≠ 0，且 x - 3 = 12 > 0，符合实际意义。 答：轮船在静水中的速度为 15 km/h。 例 6（借助图形分析）如图，甲、乙两地相距 120 km。快车的速度为 x km/h，慢车的速度比快车每小时慢 20 km。若慢车行完全程所用的时间是快车的 1.5 倍，求快车的速度。 【解答】由图可知，快车用时 h，慢车用时 h。 由题意得 = 1.5 × 。 去分母（两边同乘 x(x - 20)），得 120x = 180(x - 20)，即 120x = 180x - 3600，解得 x = 60。 检验：x = 60 时，x(x - 20) = 60 × 40 ≠ 0，且 x - 20 = 40 > 0，符合实际意义。 答：快车的速度为 60 km/h。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 甲单独完成一项工作需 x 天，乙单独完成需 y 天，则两人合作一天完成这项工作的（ ） A. B. + C. D. x + y 2. 某工程队原计划每天铺设管道 x m，实际每天比原计划多铺设 10 m，铺设 300 m 管道实际比原计划少用 2 天，则所列方程正确的是（ ） A. - = 2 B. - = 2 C. - = 2 D. - = 2 3. 用 200 元购买单价为 x 元的笔记本，可以买（ ）本 A. 200x B. C. D. 200 - x 4. 一艘船在静水中的速度为 a km/h，水流速度为 b km/h（a > b），则它逆流航行 s km 所用的时间为（ ）h A. B. C. - b D. 5. 列分式方程解应用题时，求出方程的解后，必须（ ） A. 只检验是否为增根 B. 只检验是否符合实际意义 C. 既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义 D. 不必检验 6. 某班组织植树，原计划 x 人共植树 60 棵，实际参加的人数比原计划多 3 人，结果每人比原计划少植 1 棵，则所列方程为（ ） A. - = 1 B. - = 1 C. - = 1 D. - = 1 （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. 一项工程，甲单独做需要 15 天完成，则甲的工作效率是 ＿＿＿＿；甲做 5 天完成的工作量是 ＿＿＿＿。 8. 某商品的单价是 x 元，用 480 元可以购买 ＿＿＿＿＿＿ 件；若单价提高 5 元，则用 480 元可以购买 ＿＿＿＿＿＿ 件。 9. 一辆汽车行驶 s km 用了 t h，则它的平均速度是 ＿＿＿＿ km/h；若速度提高 10 km/h，行驶同样的路程需要 ＿＿＿＿＿＿ h。 10. 甲、乙两人加工零件，甲每小时加工 x 个，乙每小时比甲多加工 6 个，甲加工 90 个与乙加工 120 个所用时间相同，可列方程 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 11. 轮船顺流航行的速度为 (x + 4) km/h，逆流航行的速度为 (x - 4) km/h，则顺流航行 90 km 所用的时间比逆流航行 60 km 所用的时间少 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ h（用含 x 的式子表示）。 12. 已知某项工程甲单独做需 a 天，乙单独做需 b 天，则两人合作完成这项工程需要 ＿＿＿＿＿＿ 天。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 一项工程，甲队单独做需要 24 天完成。现在甲、乙两队合作 8 天完成了这项工程，求乙队单独做需要多少天完成？ 14. 某人骑电动车从家到单位，路程为 24 km。若他的速度提高到原来的 1.2 倍，则可以比原来早到 10 min。求他原来的速度。（提示：10 min = h） 15. 某商店用 600 元购进一批文具。由于销售良好，商店又用 1500 元购进第二批同样的文具，但进货单价比第一批提高了 5 元，且第二批的数量是第一批的 2 倍。求第一批文具的进货单价。 B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 甲、乙两人分别加工 120 个和 100 个零件，已知甲每小时比乙多加工 4 个零件，两人同时开工且同时完工，设乙每小时加工 x 个零件，则可列方程（ ） A. = B. = C. = D. = 17. 解某个应用题时，某同学求得方程的根为 x = -5 与 x = 8，若 x 表示人数，则符合实际意义的解是（ ） A. x = -5 B. x = 8 C. 两个都符合 D. 两个都不符合 18. 某工程由甲、乙两队合作 6 天完成，且甲队单独完成所需的天数是乙队的 2 倍，则乙队单独完成需要（ ）天 A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 某车间原计划 x 天完成 240 个零件，实际每天比原计划多做 10 个，提前 2 天完成，则可列方程 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 20. 甲、乙两地相距 60 km，一辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 v km/h，返回时的平均速度为 (v + 10) km/h，则往返一次共用 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ h。 21. 一件工作，甲单独做 x h 完成，乙单独做的时间比甲多 2 h，两人合作 h 完成，则可列方程 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 某学校计划购买 A、B 两种图书。已知 A 种图书的单价比 B 种图书的单价高 10 元，用 600 元购买 A 种图书的数量与用 450 元购买 B 种图书的数量相同。 （1）求 A、B 两种图书的单价； （2）若学校计划购买这两种图书共 50 本，且购买 A 种图书的数量不超过 20 本，求最少需要多少元？ 23. 一艘轮船在甲、乙两码头之间航行，已知水流的速度为 3 km/h。若该轮船顺流航行 90 km 所用的时间与逆流航行 60 km 所用的时间相同，求轮船在静水中的速度。 C 组 拓展探究 24. 某商场计划从厂家购进甲、乙两种商品。已知甲种商品的进价比乙种商品的进价每件多 20 元，用 2400 元购进甲种商品的件数与用 1600 元购进乙种商品的件数相同。 （1）求甲、乙两种商品的进价； （2）若商场购进甲、乙两种商品共 100 件，且总进价不超过 5200 元，求最多可以购进甲种商品多少件； （3）在（2）的条件下，若甲种商品每件售价 80 元，乙种商品每件售价 55 元，商场应怎样进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 探究与思考：一项工程，甲、乙两队合作 6 天可以完成。已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 2 倍。 （1）设乙队单独完成需要 x 天，用含 x 的式子表示甲队的工作效率； （2）列出方程，求甲、乙两队单独完成各需要多少天； （3）若甲队每天的施工费用为 0.6 万元，乙队每天的施工费用为 1 万元，现要求工程在 12 天内（含 12 天）完成，有以下三种方案：①甲队单独做；②乙队单独做；③两队合作。请通过计算说明选择哪种方案费用最少。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. B。解析：甲的工作效率为 ，乙的为 ，合作一天完成 + （它也等于 ）。 2. A。解析：原计划用时 天，实际用时 天，实际比原计划少用 2 天，所以原计划时间减实际时间等于 2。 3. C。解析：数量 = 总价 ÷ 单价 = 。 4. B。解析：逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 = a - b，时间 = 。 5. C。解析：列分式方程解应用题必须双重检验：既要看是否是增根，又要看是否符合实际意义。 6. A。解析：原计划每人植 棵，实际每人植 棵，实际每人少植 1 棵，所以 - = 1。 7. 工作效率是 ；5 天完成的工作量是 = 。 8. 件； 件。 9. 平均速度是 ；提速后的速度为 ( + 10) km/h，所需时间为 s ÷ ( + 10) = （h）。 10. = 。解析：时间相同是等量关系，甲用时 ，乙用时 。 11. - 。解析：“少用的时间 = 逆流时间 - 顺流时间”。 12. 。解析：合作效率为 + = ，所需天数为工作总量 1 除以合作效率，即 。 13. 设乙队单独做需要 x 天完成。由题意得 8( + ) = 1， 即 + = 1，去分母（两边同乘 3x），得 x + 24 = 3x，解得 x = 12。 检验：x = 12 时，3x = 36 ≠ 0，且符合实际意义。答：乙队单独做需要 12 天完成。 14. 设他原来的速度为 x km/h，则提速后的速度为 1.2x km/h。 由题意得 - = ，即 - = ， = ，解得 x = 24。 检验：x = 24 时，x ≠ 0，符合实际意义。答：他原来的速度为 24 km/h。 15. 设第一批文具的进货单价为 x 元，则第二批的进货单价为 (x + 5) 元。 第一批数量为 件，第二批数量为 件，由“第二批数量是第一批的 2 倍”得 = 2 × 。去分母，得 1500x = 1200(x + 5)，即 300x = 6000，解得 x = 20。 检验：x = 20 时，x(x + 5) ≠ 0，符合实际意义。答：第一批文具的进货单价为 20 元。 B 组 能力提升 16. B。解析：设乙每小时加工 x 个，则甲每小时加工 (x + 4) 个。甲用时 ，乙用时 ，“同时开工、同时完工”说明两人所用时间相同。 17. B。解析：人数必须是正整数，所以 x = -5 不合题意，应舍去，只有 x = 8 符合实际意义。 18. A。解析：设乙单独完成需 x 天，则甲需 2x 天。由 6( + ) = 1，去分母得 3 + 6 = x，即 x = 9。检验符合题意，故选 A。 19. - = 10。解析：原计划每天做 个，实际每天做 个，实际每天比原计划多做 10 个。 20. + （也可以合并为 ）。 21. ( + ) = 1（或写成 + = 1）。 22. （1）设 B 种图书的单价为 x 元，则 A 种图书的单价为 (x + 10) 元。 由题意得 = 。去分母，得 600x = 450(x + 10)，即 150x = 4500，解得 x = 30。 检验：x = 30 时，x(x + 10) ≠ 0，符合实际意义。所以 B 种图书单价为 30 元，A 种图书单价为 40 元。 （2）设购买 A 种图书 a 本，则购买 B 种图书 (50 - a) 本，总费用 W = 40a + 30(50 - a) = 10a + 1500。因为 10 > 0，所以 a 越小费用越少；又 a ≥ 0 且 a ≤ 20，取 a = 0 时费用最少，W = 1500 元。 23. 设轮船在静水中的速度为 x km/h，则顺流速度为 (x + 3) km/h，逆流速度为 (x - 3) km/h。 由题意得 = 。去分母，得 90(x - 3) = 60(x + 3)，即 90x - 270 = 60x + 180，解得 x = 15。 检验：x = 15 时，(x + 3)(x - 3) ≠ 0，且 x - 3 = 12 > 0，符合实际意义。答：轮船在静水中的速度为 15 km/h。 C 组 拓展探究 24. （1）设乙种商品的进价为每件 x 元，则甲种商品的进价为每件 (x + 20) 元。 由题意得 = 。去分母，得 2400x = 1600(x + 20)，即 800x = 32000，解得 x = 40。 检验：x = 40 时，x(x + 20) ≠ 0，符合实际意义。所以乙种商品进价 40 元/件，甲种商品进价 60 元/件。 （2）设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品 (100 - m) 件。由总进价不超过 5200 元得 60m + 40(100 - m) ≤ 5200，即 20m ≤ 1200，m ≤ 60。所以最多可以购进甲种商品 60 件。 （3）设总利润为 W 元，则 W = (80 - 60)m + (55 - 40)(100 - m) = 20m + 1500 - 15m = 5m + 1500。因为 5 > 0，W 随 m 的增大而增大，所以当 m = 60 时利润最大，此时购进甲种商品 60 件、乙种商品 40 件，最大利润为 5 × 60 + 1500 = 1800 元。 25. （1）设乙队单独完成需要 x 天，则甲队单独完成需要 2x 天，甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 。 （2）由题意得 6( + ) = 1。去分母（两边同乘 2x），得 6 + 12 = 2x，解得 x = 9。 检验：x = 9 时，2x = 18 ≠ 0，符合实际意义。所以乙队单独完成需 9 天，甲队单独完成需 18 天。 （3）方案①：甲队单独做需 18 天 > 12 天，不符合工期要求，舍去； 方案②：乙队单独做需 9 天 ≤ 12 天，费用为 9 × 1 = 9（万元）； 方案③：两队合作需 6 天 ≤ 12 天，费用为 6 × (0.6 + 1) = 6 × 1.6 = 9.6（万元）。 比较可知 9 < 9.6，所以选择方案②（乙队单独做）费用最少，最少费用为 9 万元。 解析：方案决策题的步骤是“先算工期是否满足要求，再算费用，最后比较”，两个条件缺一不可。 六、课时小结 1. 六个步骤：审、设、列、解、验、答，其中“验”是分式方程应用题特有的关键一步。 2. 三种常见模型：工程问题（工作总量记为 1）、行程问题（时间 = ）、购买问题（数量 = ）。 3. 找等量关系的窍门：抓住“相同”“多”“少”“提前”“是……的几倍”等关键词，必要时列表整理。 4. 双重检验：既要排除增根，又要检查速度、时间、人数等是否符合实际（人数还必须是正整数）。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $