12.3 一次函数与二元一次方程（一次函数与实际问题）（题型专练）数学沪科版2024八年级上册

12.3 一次函数与二元一次方程 （一次函数与实际问题） 题型一 行程问题 1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）在一条笔直的公路上有、两地，甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，立刻以原速度沿原路返回地．乙从地步行匀速前往地（甲、乙二人到达地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离（米）与出发时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)、两地之间的距离是　 　米，乙的步行速度是　 　米/分； (2)图中　 　，　 　，　 　； (3)求线段的函数解析式． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到、两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度； （2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论； （3）设线段的函数解析式为，将点，的坐标代入解析式，解关于，的二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由图象知：当时，， ∴、两地之间的距离是米， 由图象知：乙经过分钟到达， ∴乙的速度为（米/分）， 故答案为：；； （2）由图象知：当时，， ∴甲、乙二人的速度和为：（米/分）， 由（1）知：乙的速度为米/分， ∴甲的速度为（米/分）， ∵点的实际意义是经过分钟甲到达地， ∴（分钟）， ∴（米）， ∵点的实际意义是经过分钟乙到达地， ∴（米）， 故答案为：；；； （3）由题意得：，， 设线段的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴线段的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距30千米？ 【答案】(1)250千米 (2) (3)当轿车行驶小时或小时时，两车相距30千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出货车的速度，再用货车的速度乘以时间求出货车行驶的路程即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，货车的速度为：， 轿车在货车行驶5小时时到达乙地， 此时货车离甲地：； （2）设段的函数解析式为：， 把代入，得： ，解得：， ∴； （3）由图象可知：当时，轿车的速度为：， 当时，轿车的速度为：， 设轿车行驶小时，两车相距30千米， 当时，两车相距：， ①当两车相遇前：，解得：； ②当两车相遇后：，解得：； 答：当轿车行驶小时或小时时，两车相距30千米． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快米/分、档比档快米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程（米）与小明跑步时间（分）的函数关系如图所示． (1)求各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，求的值． 【答案】(1)档速度米/分；档速度米/分；档速度米/分 (2)小丽两次休息时间的总和为分钟 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． （1）根据图中的数据求出档速度，计算即可得到答案； （2）根据图中数据求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）根据图中数据列方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图得档速度为（米/分）， 档速度为（米/分）， 档速度为（米/分）， 答： 档速度米/分；档速度米/分；档速度米/分. （2）解：小丽第一段跑步时间为（分钟）， 小丽第二段跑步时间为（分钟）， 小丽第三段跑步时间为（分钟）， 小丽两次休息时间的总和为（分钟）， 答：小丽两次休息时间的总和为分钟. （3）解：根据题意得， 解得：， 的值为. 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)求a的值． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用：行程问题，待定系数法解一次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图象，设直线的表达式为，把代入，计算得，然后再把点代入，进行计算，即可作答． （2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，此时出租车距离乙地，即出租车距离甲地，把代入，解得，即可求出点，根据货车继续出发后，与出租车相遇，所以相遇时货车的速度为，故可设直线的表达式为，将点代入，解出，然后求出点，又因为出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，得点，即可求得出租车从乙地返回甲地的速度为，据此即可作答； （3）设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距，此时货车距离乙地，出租车距离乙地，然后分两种情况：①出租车和货车第二次相遇前，相距时，可得；②出租车和货车第二次相遇后，相距时，可得，分别求出的值，即可作答． 【详解】（1）解：由图象知，点， 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 把点代入， 解得； （2）解：由（1），得， ∴货车卸货时与乙地相距， ∵停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， ∴此时出租车距离乙地， ∴出租车距离甲地， 把代入， 得， 解得， ∴货车装完货物时，， 即点， 根据直线的表达式为， 可得出租车从甲地到乙地的速度为， 根据货车继续出发后，与出租车相遇， 可得（出租车的速度货车的速度）， ∴相遇时，货车的速度为， 故可设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入， 得，解得， ∴点； ∵出租车到达乙地后立即按原路返回 ，结果比货车早15分钟到达甲地， ∴点， ∴出租车从乙地返回甲地的速度为； （3）解：设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距， 此时货车距离乙地，出租车距离乙地， 分两种情况： ①出租车和货车第二次相遇前，相距时， 可得，解得； ②出租车和货车第二次相遇后，相距时， 可得，解得， 综上所述，出租车在返回的过程中，货车出发或与出租车相距． 题型二 工程问题 5．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． (1)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】(1) (2)10天 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数图象得出甲的工作效率，得出前30天是甲乙合作共挖掘，则乙单独挖掘的长度是，再求出甲单独挖掘所用的天数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为：，点，在图象上， ∴， 解得， ∴函数关系式为：． （2）解：由题意可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是，甲的工作效率是每天， 前30天是甲乙合作共挖掘了，则乙单独挖掘的长度是， 当甲挖掘的长度是时，工作天数是（天）， 乙组已停工的天数是：（天）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合求出一次函数解析式． 6．（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 7．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【答案】(1)个月万元 (2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月 【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可． （2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得， 解得， 答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作． 费用为万元 （2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且， 解不等式，得， 得w随x的增大而增大，为确保费用最低， 故x去最小值，此时， 答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意． 8．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 题型三 调运问题 9．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 10．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 700 1000 乙厂 1000 1500 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 台，乙厂运往A地 台，乙厂运往B地 台； (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元 (3) 【分析】本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用，正确理解题意，找出合适的数量关系得到一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设运输费用为a百元，根据题意列出关于x的一次函数，求出x的取值范围，根据一次函数的性质解答即可； （3）设运输费用为b百元，根据题意，在a的基础上列出关于x的一次函数，整理后根据费用最低的调运方案不变可得，进而可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． ∴甲厂运往B地台，乙厂运往A地台， 则 乙厂运往B地台． 故答案为： （2）解：设运输费用为a百元． 根据题意，． ∵， 解得， ∴． ∵a随x的减小而减小， ∴当时，a最小， ∴甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元． （3）解：设部分运输费用变动后运输费用为b，由题意得． ∵b随x的减小而减小， ∴且， 解得． ∴若要使费用最低的调运方案不变，有． 11．（23-24七年级下·河南周口·单元测试）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ (2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为； (2)，调运方案见解析； (3)调运方案见解析． 【分析】（）根据题意，用减可得需要从处调运的数量，用减去可得从调研往处的数量，用减去即为从调运往处的数量； （）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分、和三情况解答即可； 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：（）填表如下：             总计/ 总计/ 依题意得：， 解得， ∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为； （2）解：与之间的函数关系为： 由题意得：， ∴， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，总运费最小， 此时调运方案为： 总计/ 总计/ （3）解：由题意得， ∴当时，（）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变； 当时，总费用最小，其调运方案如下： 总计/ 总计/ 12．（24-25七年级上·山东淄博·期末）今年某县由于前期连续降雨，后期又连续干旱，造成了多数果农的苹果大幅减产，但某镇有甲、乙两村生产苹果，甲村产苹果吨，乙村产苹果吨．先准备将这些苹果运到，两个冷风库储藏．已知冷风库可储存吨，冷风库可储存吨．从甲村运往，两个冷风库的费用分别为每吨元和元；从乙村运往，两个冷风库的费用分别为每吨元和元．设从甲村运往冷风库的苹果为吨，甲、乙两村往两个冷风库运苹果的运费分别为（元）、（元）． (1)填写下表： 甲 吨 ______ 乙 ______ ______ (2)求、与之间的函数表达式； (3)当为何值时，甲村的运费最少？ (4)请问怎样调运，才能使两村的运费之和最少？求出最少运费． 【答案】(1)吨，吨，吨 (2)， (3)当时，甲村的运费最少 (4)甲村运往冷风库的苹果为吨，则从甲村运往冷风库吨，从乙村运往冷风库吨，从乙村运往冷风库吨，才能使两村的运费之和最少，求出最少运费为元 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设设从甲村运往冷风库的苹果为吨，则从甲村运往冷风库吨，从乙村运往冷风库吨，从乙村运往冷风库吨，就可以得出结论； （2）根据（1）结论由甲、乙两村分别运往两冷风库的数量与运费之间的关系就可以求出结论； （3）根据的解析，结合一次函数的性质即可求解； （4）设总运费为元，根据总运费等于运往，两地的费用之和建立关系，然后由解析式的性质求出结论． 【详解】（1）解：设从甲村运往冷风库的苹果为吨， 则从甲村运往冷风库吨， 从乙村运往冷风库吨， 从乙村运往冷风库吨． 故答案为：吨，吨，吨； （2）由题意得：，； （3）， ， 随的增大而减小， ， 时，； （4）设总运费为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，． 甲村运往冷风库的苹果为吨，则从甲村运往冷风库吨，从乙村运往冷风库吨，从乙村运往冷风库吨，才能使两村的运费之和最少，求出最少运费为元． 题型四 计时问题 13．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，铜壶漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足一次函数关系，下表是小明记录的部分数据： （） … 1 2 3 5 … （） … 1.4 1.8 2.2 3 … (1)求与的函数关系式； (2)求时，对应的时间是多少． 【答案】(1) (2)20分 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）根据水位与时间（）满足一次函数关系式，设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式即可； （2）利用（1）的关系式令，求解t值即可． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 将，代入得， 解得， ； （2）解：， ，解得， 答：时，对应的时间是20分钟． 14．（2025·陕西西安·二模）《卜算子·黄州定慧院寓居作》 宋・苏轼 缺月挂疏桐，漏断人初静．谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影． 惊起却回头，有恨无人省．拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷． 《卜算子·黄州定慧院寓居作》中的“漏”字指古人计时用的漏壶．某学习小组在了解漏壶的过程中，按照其原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，研究开始时圆柱容器中已有一部分液体．下表是研究过程中记录的圆柱容器液面高度（单位：cm）与时间（单位：h）的数据． 时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y/cm 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解决以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并判断与之间是我们学过的_____（填“一次”或“反比例”）函数． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到20cm时，所需的时间是多少h？ 【答案】（1）①图见解析；一次；② （2）所需的时间是8h 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意描出各点，然后连线即可；由图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可． 【详解】解：（1）①描点、连线如图所示． 与之间是我们学过的一次函数． 故答案为：一次 ②设函数关系式为． 将和代入， 得 解得 与之间的函数关系式为． （2）当时，， 解得， 当圆柱容器液面高度达到时，所需的时间是． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水． 表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况： 时间（时） … 1 2 3 4 5 … 圆柱容器内水面高度（厘米） … 3 5 7 9 11 … (1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？ (3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明． 【答案】(1)2，1 (2)作图见解析，符合 (3)水不会溢出容器 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格数据即可求解； （2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系； （3）求出函数解析式为，把代入求出的值，与圆柱容器内壁深50厘米比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知每小时上升， ∴刚开始容器内水面的高度为， 故答案为：2，1； （2）解：如图： 从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系； （3）解：设解析式为，当；， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵从早上8时到第二天早上8时经过了24小时， ∴， ∵， ∴水不会溢出． 16．（23-24八年级下·福建厦门·期中）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量，你能得出什么结论． 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中的数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：水面高度观察值的变化量为，结论是水面高度观察值的变化量为定值，；任务2：；任务3：；任务4：在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了 【分析】任务1：根据表中的数据进行解答即可； 任务2：根据每隔水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t是一次函数关系，利用时，；时，，由待定系数法求解； 任务3：把代入函数解析式，求出h的值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，在容器外壁每隔标记一次刻度即可． 【详解】解：任务1：根据表格中的数据可知：每隔水面高度观察值的变化量为： ，，，， 结论：水面高度观察值的变化量为定值； 任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， ∵时，，时，； ∴， 解得：， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 任务3：把代入得： ， 答：当流水时间为时，求水面高度为； 任务4：在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了． 题型五 分配问题 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少． 【答案】(1)、 (2)当时，选方案二较划算；当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；当时，选方案一较划算． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、列函数关系式等知识点．根据题意正确列出两种方案的解析式是解题的关键． （1）分别根据方案一、方案二列出y关于x的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：按优惠方案一：， 按优惠方案二：； 所以两种优惠方案中y与x的函数表达式分别是：、 （2）解：∵， ∴①当，解得， ∴当时，选方案二较划算； ②当时，解得， ∴当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多； ③当时，解得， ∴当时，选方案一较划算． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)，共有6种方案 (2)装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键； （1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆 辆，根据表格可列出等量关系式化简得，根据x为正整数，可得共有6种方案； （2）由利润=车辆数每车水果获利，可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆为辆． ； 由题意得： ， 解得： ， ∵x为正整数， 故共有6种方案； （2）， 即， ， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值198900元， ∴装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元． 19．（22-23九年级下·河南商丘·期中）某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买两种树苗在学校栽种．已知1棵种树苗比1棵种树苗贵5元，用400元购买的种树苗与用300元购买的种树苗的数量相同． (1)求购买1棵种树苗和1棵种树苗各需多少元； (2)若该校计划购买两种树苗共150棵，且种树苗的数量不少于种树苗的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)购买1棵种树苗需要20元，购买1棵种树苗需要15元 (2)当购买种树苗50棵，购买种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元 【分析】（1）设1棵种树苗元，则1棵种树苗元，根据用400元购买的种树苗与用300元购买的种树苗的数量相同，列出分式方程求解即可； （2）设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购买费用为元，先求出的取值范围，再列出关于的一次函数的解析式，取最小值即可得到结果． 【详解】（1）解：设1棵种树苗元，则1棵种树苗元， 由题意得，， 解得，， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买1棵种树苗需要20元，购买1棵种树苗需要15元； （2）解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购买费用为元， 种树苗的数量不少于种树苗的一半， ， ， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，去的最小值，最小值为， 此时，， 答：当购买种树苗50棵，购买种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元． 【点睛】本题主要卡超了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量或不等关系是解题的关键． 20．（22-23八年级上·安徽六安·期中）为了更好服务我县创建“文明城市”工作，市政部门决定购进A、两种新型垃圾处理设备共10台，两种新型设备进价分别为：A型每台10万元，型每台8万元，设购进A种型号垃圾处理设备为台为正整数），购进两种型号垃圾处理设备的总费用为万元． (1)求总费用与的函数表达式； (2)如果购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进种垃圾处理设备的总费用，那么市政部门购买垃圾处理设备有几种方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)一共有四种方案：①购买A种垃圾处理设备1台，购买种垃圾处理设备9台；②购买A种垃圾处理设备2台，购买种垃圾处理设备8台；③购买A种垃圾处理设备3台，购买种垃圾处理设备7台；④购买A种垃圾处理设备4台，购买种垃圾处理设备6台． 【分析】（1）根据题意直接列出函数关系式即可； （2）根据题意列出不等式得出，确定x的取值，然后即可确定方案． 【详解】（1）根据题意得：， 总费用与的函数表达式为； （2）购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进种垃圾处理设备的总费用， ， 解得， 为正整数，且， 可取1，2，3，4， 一共有四种方案： ①购买A种垃圾处理设备1台，购买种垃圾处理设备9台； ②购买A种垃圾处理设备2台，购买种垃圾处理设备8台； ③购买A种垃圾处理设备3台，购买种垃圾处理设备7台； ④购买A种垃圾处理设备4台，购买种垃圾处理设备6台． 【点睛】题目主要考查一次函数及一元一次不等式的应用，理解题意，列出相关函数关系式及不等式是解题关键． 题型六 体积问题 21．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度y（）与她放入容器中的小球个数x（个）之间的关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 【答案】(1) (2)10个 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出函数值为40时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∴， ∴， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴依依放入容器中的小球个数为10个． 22．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是______； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？ (3)若乙容器的底面积为平方厘米（壁厚不计）． ①求甲容器的底面积（壁厚不计）； ②求乙容器中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲，圆柱形铁块的高度为cm (2)注水时，甲、乙两个容器中水的深度相同 (3)①；② 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、圆柱的体积公式是解题的关键． （1）根据甲容器中水的深度逐渐减小、乙容器中水的深度逐渐增加分别判断折线、线段表示哪个容器中水的深度与注水时间之间的关系；从点开始，乙容器中单位时间内水的深度的增加开始变小，由此判断此时水的深度为圆柱形铁块的高度； （2）利用待定系数法分别求出线段和的函数关系式，当甲、乙两个容器中水的深度相同时两函数值相等，据此列关于的方程并求解即可； （3）①设甲容器的底面积为，利用圆柱的体积公式，根据时间从到时，甲容器中水的体积的减少量等于乙容器中水的体积的增加量列关于的方程并求解即可； ②设乙容器中铁块的体积为，利用圆柱的体积公式，根据时间从到时，甲容器中水的体积的减少量与乙容器中铁块的体积之和等于乙容器的底面与水深之积． 【详解】（1）解：图2中折线表示乙容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲容器中水的深度与注水时间之间的关系，点的纵坐标表示的实际意义是圆柱形铁块的高度． 故答案为：乙，甲，圆柱形铁块的高度为cm； （2）解：设线段的函数关系式为（为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 线段的函数关系式为， 设线段的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段的函数关系式为， 当甲、乙两个容器中水的深度相同时，得， 解得， 答：注水时，甲、乙两个容器中水的深度相同； （3）解：①当时间从到时： 乙容器中水的深度增加了， 当时，甲容器中水的深度为； 当时，甲容器中水的深度为； 甲容器中水的深度减少了， 设甲容器的底面积为， 则， 解得， 答：甲容器的底面积为； ②当时间从到时： 当时，甲容器中水的深度为； 当时，甲容器中水的深度为； 甲容器中水的深度减少了， 设乙容器中铁块的体积为， 则， 解得 答：乙容器中铁块的体积为． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为（单位：），容器乙中的液面高为（单位:）．小科绘制了、关于时间x（单位：s）的函数图象如图2所示．回答下列问题：    (1)a的值为________；容器甲的液面下降速度是________： (2)求b的值以及关于x的函数表达式； (3)当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，求此时x的值． 【答案】(1)10；1 (2)； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用， （1）根据题意可得为容器甲有高的水；根据图象可得容器甲的水放完，即可解答； （2）根据图像可得为容器甲放完水时，容器乙中水面高度，根据容器底面积是长方体底面积的4倍，即可解答；再设，利用待定系数法即可解答； （3）得到关于的解析式，分类讨论，即或，两种情况，列方程，即可解答； 观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键． 【详解】（1）解：根据题意可得容器甲有高的水，故， 根据图象可得容器甲的水放完，故容器甲的液面下降速度是， 故答案为：；1 （2）解：根据图像可得为容器甲放完水时，容器乙中水面高度， 设长方形底面积为，则容器底面积为， 水的体积为， 容器乙实际可装水的底面积为， 容器乙中水面高度为，即， 设， 把代入，可得， 解得， ； （3）解：设， 把代入函数解析式可得， 解得， ， ①当时，可得， 解得； ②当时，可得， 解得， 当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，此时x的值为或． 24．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以/的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水时间为（），水箱的水位高度为（），水箱中的水位高度为（）．（抽水水管的体积忽略不计） (1)分别求出，与之间的函数表达式； (2)当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 【答案】(1)（），（） (2)此时两水箱中水位的高度差为 【分析】（1）根据“水箱的水位高度注入水的体积水箱的底面积”得出与之间的函数表达式；“水箱中的水位高度流出水的体积∶水箱的底面积”得出与之间的函数表达式； （2）当水箱与水箱中的水的体积相等时，即水箱中的水还剩下一半，根据的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：（）； （）； 答：，与之间的函数表达式分别为（）； （2）当水箱与水箱中的水的体积相等时，， 即，解得； 当时，． ∴（）． 答：当水箱与水箱中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，注水速度注水体积∶注水时间，圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，掌握这两个公式为解题关键． 题型七 最大利润问题 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)5500元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． 【详解】（1）解：由题知， 与的函数表达式为． （2）解：由题知 由（1）知 ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，（元）． 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情． 某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y （单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． 【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球， 根据题意，， 由得， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：该商场采购x个篮球，设利润为W，根据题意，得， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为2300， 答：商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：该商场采购x个篮球，根据题意，得， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得， 综上，满足条件的m值为． 27．（24-25八年级上·安徽六安·期末）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 (1)求的值； (2)若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1)， (2)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得：， （2）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，由题意得：， 由   解得;   取整数， ∵W随着x的增大而减小，     ∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）. 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． (1)求甲乙两种产品的进价： (2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 【答案】(1)甲乙两种产品的进价分别为160元，120元 (2)共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； (3)13 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及与字母无关的问题，理解题意是解答本题的关键． （1）如果设每个乙种产品进价为x元，由“每个甲种产品的进价比每个乙种产品的进价多40元”，可知每个甲种产品进价为元．题中有等量关系：用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等，据此列出方程； （2）根据题意得、，求得，故得41种方案，当时可得最大利润； （3）根据题意列式，根据与无关，则，求出 【详解】（1）解：设每个乙种产品进价为x元，则每个甲种产品进价为元，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴ 答：甲乙两种产品的进价分别为160元，120元； （2）解：根据题意得，， 解得，； ， ∴， ∴， ∴（种） 当时，有最大值，为， 所以，共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； （3）解：∵， ∴， 根据题意得： ∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， ∴ ∴ 题型八 阶梯计费问题 29．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 【答案】(1)，；， (2)当，甲合算 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出、与x之间的关系式； （2）求出当时x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，； ，． （2）解： 当， 解得：， ∴当时，选择甲公司合算． 30．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 31．（23-24八年级上·江西九江·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元． (1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________； 当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________． (2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时． 【答案】(1)；． (2)小新家十月份应交电费96元 (3)小明家十月份用电240千瓦时 【分析】本题主要考查一次函数的应用， （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第一个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了200千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可； 理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． 【详解】（1）解：当时，与的函数关系式是； 当时，与的函数关系式是，即． 故答案为；． （2）∵， ∴（元）． 答：小新家十月份应交电费96元． （3）∵小明家十月份的电费超过了120元， ∴用电量超过了200千瓦时． 把代入中，得． 答：小明家十月份用电240千瓦时． 32．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某通讯公司手机话费收费有套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设套餐每月话费为（元），套餐每月话费（元），月通话时间为分钟． (1)直接写出与，与的函数关系式； (2)如果某用户使用套餐本月缴费60元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为250分钟时，选择哪种套餐更划算？ 【答案】(1)，； (2)450分钟； (3)选择套餐更划算． 【分析】本题考查一次函数的有应用，根据题意写出函数关系式是本题的关键． （1）根据每月话费=月租费＋通话费解答即可； （2）当时，解方程求出对应x的值即可； （3）当时分别计算和的值，选择计算结果较小的那种套餐更划算． 【详解】（1）解：套餐：月租费15元，通话费每分钟0.1元， ， 套餐：月租费0元，通话费每分钟0.15元， ； （2）解该手机用户使用套餐且本月缴费60元， ， 解得：， 他本月的通话时间为450分钟； （3）解：当时， ，， . 通话时间为250分钟时，选择套餐更划算. 题型九 方案选择问题 33．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)经销商有以下三种进货方案：方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台；方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台；方案三、A品牌和B品牌各购进50台 (3)选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润 y与购进空调x的函数关系式是解题的关键，在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）根据利润（售价进价）乘品牌计算器的数量（售价进价）乘品牌计算器的数量，即可列出关系式，再根据总资金万元得出的取值范围即可； （2）全部销售后利润不少于元，得到一元一次不等式，求出满足题意的的正整数值即可； （3）利用与的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：， 其中，得， 即的取值范围是， 则与之间的函数关系式为； （2）解：令， 解得，， 又， ， 经销商有以下三种进货方案： 方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台； 方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台； 方案三、A品牌和B品牌各购进50台． （3）解：∵对于，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，且最大值为（元）． ∴选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元． 34．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 【答案】(1)甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； (2)综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 【分析】本题主要查了列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； （2）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； （2）解：当，即时，两家企业方案所需费用一样； 当，即时，乙企业方案所需费用购买更合算； 当，即时，甲企业方案所需费用购买更合算； 综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 35．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 (2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． （2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 36．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】(1)共有6种购买方案； (2)，购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； （2）解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，为（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 37．（24-25七年级下·山东济南·期中）2025年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元． (1)求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1380万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利万元，销售1辆B型新能源汽车可获利万元，若汽车全部销售完毕，那么购买并销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型新能源汽车每辆进价24万元，B型新能源汽车每辆进价12万元 (2)当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意累出方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设型新能源汽车每辆进价万元，型新能源汽车每辆进价万元，根据1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元建立方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车辆，则购买B型新能源汽车辆．根据总费用不超过1380万元列出不等式求出m的取值范围，设所获得利润为万元，则，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价万元，型新能源汽车每辆进价万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车每辆进价24万元，B型新能源汽车每辆进价12万元； （2）解：设购买A型新能源汽车辆，则购买B型新能源汽车辆． 根据题意得：， 解得， 设所获得利润为万元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，即当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为： 万元． 答：当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为万元． 题型一 新情境问题 1．（2025·浙江丽水·二模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小明的速度：，， （2）解：（h），（h）， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ， 离山庄的路程为． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）为了庆祝2025年的到来，北白川玉子准备去购买一些花束来和朋友们跨年，她到达花店后发现有两种优惠方案，为前4束花按原价购买，超过4束花时每束花打折，为每束花都打折．其中花束数量（束）和价格（元）之间的函数图象如下，请你根据图象回答下列问题： (1)求出的值以及的函数表达式． (2)请你计算北白川玉子应该如何选择方案更省钱． 【答案】(1)，的函数表达式为，B的函数表达式为 (2)即当买超过束花时，则A的方案更省钱；当买小于束花时，则B的方案更省钱． 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读图象，得出优惠方案：原价是，打折后是，再求出折扣，同理求出，再运用待定系数法求出每条函数的解析式，即可作答． （2）先求出当两个优惠方案价格一样时，列式，解得，然后分情况进行讨论：即当买超过束花时，则A的方案更省钱；当买小于且大于4束花时，则B的方案更省钱；当买小于或等于4束花时，则A的方案更省钱，即可作答． 【详解】（1）解：∵有两种优惠方案，为前4束花按原价购买，超过4束花时每束花打折，为每束花都打折． ∴，， ∴，， ∴， 设的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴， 设的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴； ∴A的函数表达式为， 设B的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴． （2）解：依题意，当两个优惠方案价格一样时，则， 解得， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 即当买超过束花时，则A的方案更省钱；当买小于束花时，则B的方案更省钱． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分．为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用和； (2)若，求出x的值； (3)试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算？ 【答案】(1)；； (2)； (3)当时，选择网店更划算；当时， 选择两个网店都划算；当时， 选择网店更划算． 【分析】（1）本题考查的是列函数关系式；分别根据A、B两家网店的优惠方式列函数关系式即可； （2）本题考查的是方程的应用，由再建立一元一次方程求解即可； （3）本题考查的是利用函数图象比较函数值的大小；先画出两个函数的简易图象，再根据图象的上下位置可得答案． 【详解】（1）解：A店购买可列式：； 在网店B购买可列式：； （2）解：当时， ∴， 解得：； （3）如图，由（2）可得：当时，，    由图象可得：当时，， ∴选择网店更划算； 当时，， ∴选择两个网店都划算； 当时，， ∴选择网店更划算． 题型二 跨学科问题 1．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)学校购买这批仪器至少要花396元 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 【答案】(1) (2)4或5 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）求出点的坐标并利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （2）取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【详解】（1）解：，，且轴， ， 点为平面镜的中点， ， 点的坐标为， 将和分别代入， 得， 解得， 所在直线的解析式为； （2）解：如图，取点关于轴的对称点． ， ， 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得， ， ， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ， 为整数， 或5． 3．（2023·福建厦门·二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务： 年*月*日　　星期日 利用一次函数知识解决化学问题今天我看到一则化学实验材料： 如图1，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．   ① 当和的体积比为时，和恰好完全反应．如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应． ② 化学反应②中参与反应的与生成的的体积比为． 根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题． 设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内乘余气体的体积为． 情况一：由反应①可知，当和的体积比为时，和恰好完全反应，此时． 情况二：当时，由反应①可知全部参加反应，过量，参加反应①的的体积，剩余的体积为． 因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积，即． 在平面直角坐标系中画出当时的函数图象如图2所示．   情况三：当时，由反应①可知全部参与反应，过量，参与反应①的的体积为，剩余的和水发生反应②，产生不溶于水的气体． 任务： (1)根据材料中的内容，求出当时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数图象；    (2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为时，求原混合气体中的体积． 【答案】(1)；图象见解析 (2)或 【分析】（1）当时，进行的反应是②，根据题意可知反应①消耗的，进而得出当时，y与x的函数关系式，根据自变量取值范围画出图象． （2）分情况讨论①当时，②当时，时，分别代入相应的函数关系式计算． 【详解】（1）解：当时，进行的反应是②， 反应①消耗的 ， 剩下的气体满足 ， 当时，y与x的函数关系式为． 函数图象如下图所示：    （2）解：①当时，y与x的函数关系式为， 时，则， ②当时，y与x的函数关系式为， 是，则． 答：原混合气体中的体积为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是理解题意列出函数解析式． 4．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 题型三 新考法问题 45．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）某果农销售一种新鲜水果，采用线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分按每千克3.5元． 购买这种新鲜水果千克，所需费用为元，与之间的函数关系如图所示． 根据以上信息，完成下列任务： (1)请求出两种销售模式对应的函数表达式； (2)求出图中点坐标，并解释它的实际意义； (3)若想购买15千克该种新鲜水果，请问选择哪种模式购买最省钱？ 【答案】(1) (2)图中点坐标的实际意义为当购买12千克产品时，线上线下都花费48元 (3)当时，线上购买比线下购买省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键． （1）由题意，用待定系数法求函数解析式即可； （2）由图象知，点是射线和折线的交点，说明取同一个值时，函数值相等，从而说明点坐标的实际意义； （3）把分别代入和求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，图中射线为线下销售，折线为线上销售， 线下销售：； 线上销售：当时，， 当时，， ； （2）解：根据函数图象，得， 解得：，， ， 图中点坐标的实际意义为当购买12千克产品时，线上线下都花费48元； （3）解：购买15千克该种水果线下需花费：（元）， 线上需花费：（元）， ， 购买该种新鲜水果15千克，线上购买省钱． 46．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，张餐桌摆把椅子，张餐桌摆把椅子，张餐桌摆把椅子，其中餐桌的数量用（张）表示，椅子的数量用（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是______，因变量是______． (2)请写出和之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐人？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能刚好坐人，理由见解析 【分析】（）根据变量之间的关系进行判断作答即可； （）根据时，；时，； 时，，进而即可得出和之间的关系式； （）把代入函数关系式，求出的值即可判断求解； 本题考查了函数的定义，求一次函数解析式，一次函数的应用，正确写出和之间的关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量， 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴椅子的数量和餐桌的数量之间的关系式为； （3）解：不能刚好坐人，理由如下： 将代入得，， 解得， ∵餐桌的数量是整数， ∴不能刚好坐人． 47．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 50 60 70 80 90 100 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 …    (1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象，并直接写出关于的函数表达式； (2)当挎带的长度为时，求此时双层部分的长度； (3)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为，则挎带长度是否满足小林的身高要求？若满足，该如何调节挎带长度；若不满足，请说明理由． 【答案】(1)函数图象见详解， (2)则当挎带的长度为时，求此时双层部分的长度为． (3)满足，需调出长的单层挎带或减少双层挎带到 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用以及二元一次方程组的应用． （1）先描点，然后连线，即可画出函数图象，设，再把，代入利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （3）先根据一次函数的性质求出挎带的长度范围看是否满足小林的身高最合适的挎带长度， 再根据挎带的长度为列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】（1）解：画出一次函数图象，如下图所示：    设， 将，代入， 得： 解得： 则y与x的函数表达式为． （2）解：由题意得：， 解得：， 则当挎带的长度为时，求此时双层部分的长度为． （3）解：满足， 需调出长的单层挎带或减少双层挎带到． 理由如下∶当挎带全为双层，即时，此时挎带的总长度为， 当挎带全为单层，即时，即 ，此时挎带的总长度为， ∴挎带的长度范围为大于等于，且小于等于． ∵． ∴挎带长度可以满足该同学的身高要求， 且由题意得：， 解得：， 则需调出长的单层挎带或减少双层挎带到． 48．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键． 任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可； 任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题； 任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题． 【详解】解：任务1：设， 由表格可知，一次函数经过，两个点， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 任务2：由题意得， 解得， 达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元； 任务3：当时，， 解得， 当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成． 【查阅资料】 自制杆秤 原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离=提纽与秤盘悬挂点的距离． 制作步骤 步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记 步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置． 步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽． 步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度． 【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据． （厘米） （斤）   【解决问题】 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．______； （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加______斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x之间的函数表达式； ②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【答案】（1）画图见解析，；（2）0.7；（3）①与之间的函数表达式为；②秤钩所挂物重是6.2斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为9厘米． 【分析】本题主要考查一次函数的应用； （1）根据数据描点即可判断； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此即可求解； （3）①设与的函数关系式为根据表中数据有当时，，当时，，代入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式； ②把代入函数解析式，求解的值即可解答． 【详解】解：（1）把表中数据描点如下： 观察图象可知：由于是的一次函数，没有位于直线上，所以，这组数据错误， 故答案为：； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此可得： 当每增加厘米时，秤杆所挂物重增加了斤． 故答案为： （3）①是的一次函数， 设与的函数关系式为 根据表中数据有当时，，当时，， ， 解得， 与的函数关系式为． ②当时，， 解得． 答：秤钩所挂物重是9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）综合与实践 【问题背景】 某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分，考试项目增加5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好地开展排球课程，计划购买一批排球，该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九五折再优惠10元出售． 【问题研究】 若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的总价，其函数图象如图所示． 【问题解决】 (1)每个排球的标价是多少元？ (2)当时，甲商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________； 当时，乙商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________． (3)求点C的坐标，并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算． 【答案】(1)100元 (2)； (3)当或时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同；当时，选择乙商店更合算；当时，选择甲商店更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系． （1）根据函数图象可知：甲商店：购买个排球的总价为元；乙商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）先根据函数解析式求出点C的坐标，然后结合图象解答即可． 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【详解】（1）解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； （2）解：当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为； （3）解：由图像可知，点C是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 观察图象可知： 当或时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同； 当时，选择乙商店更合算； 当时，选择甲商店更合算． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出m，n的值． (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，选择B方案最划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得； （2）设函数表达式为，把，代入，再求解即可； （3）B方案超过兆后超出后每兆收费元，当时，设函数解析式为：，把代入可得： ，当时，可得，再解方程，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由图象可得：， ． （2）解：设函数表达式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴y关于x的函数表达式． （3）解：∵B方案超过兆后超出后每兆收费元， ∴当时， 设函数解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴当时，选择B方案最划算． 4．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表： 打印机 利润 商场 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式． (2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． ②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2)①要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台，最大利润为7250元；② 【分析】（1）根据总利润等于单个的利润×总数量列出关系式即可； （2）①根据一次函数的增减性，结合x的取值范围求出结果即可； ②先列出y与x的函数关系式并整理得出，根据销售总利润与调配方案无关，得出，，根据当时，y的值最大，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，根据题意得， ， 即， ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，其最大值为（元）， ∴要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台； ② ∵销售总利润与调配方案无关， ∴，， ∵， ∴当时，y的值最大， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，熟练掌握一次函数的增减性． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 一次函数与二元一次方程 （一次函数与实际问题） 题型一 行程问题 1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）在一条笔直的公路上有、两地，甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，立刻以原速度沿原路返回地．乙从地步行匀速前往地（甲、乙二人到达地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离（米）与出发时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)、两地之间的距离是　 　米，乙的步行速度是　 　米/分； (2)图中　 　，　 　，　 　； (3)求线段的函数解析式． 2．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距30千米？ 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快米/分、档比档快米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程（米）与小明跑步时间（分）的函数关系如图所示． (1)求各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，求的值． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)求a的值． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 题型二 工程问题 5．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． (1)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 6．（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 7．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 8．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 题型三 调运问题 9．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 10．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 700 1000 乙厂 1000 1500 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 台，乙厂运往A地 台，乙厂运往B地 台； (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 11．（23-24七年级下·河南周口·单元测试）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ (2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 12．（24-25七年级上·山东淄博·期末）今年某县由于前期连续降雨，后期又连续干旱，造成了多数果农的苹果大幅减产，但某镇有甲、乙两村生产苹果，甲村产苹果吨，乙村产苹果吨．先准备将这些苹果运到，两个冷风库储藏．已知冷风库可储存吨，冷风库可储存吨．从甲村运往，两个冷风库的费用分别为每吨元和元；从乙村运往，两个冷风库的费用分别为每吨元和元．设从甲村运往冷风库的苹果为吨，甲、乙两村往两个冷风库运苹果的运费分别为（元）、（元）． (1)填写下表： 甲 吨 ______ 乙 ______ ______ (2)求、与之间的函数表达式； (3)当为何值时，甲村的运费最少？ (4)请问怎样调运，才能使两村的运费之和最少？求出最少运费． 题型四 计时问题 13．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，铜壶漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足一次函数关系，下表是小明记录的部分数据： （） … 1 2 3 5 … （） … 1.4 1.8 2.2 3 … (1)求与的函数关系式； (2)求时，对应的时间是多少． 14．（2025·陕西西安·二模）《卜算子·黄州定慧院寓居作》 宋・苏轼 缺月挂疏桐，漏断人初静．谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影． 惊起却回头，有恨无人省．拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷． 《卜算子·黄州定慧院寓居作》中的“漏”字指古人计时用的漏壶．某学习小组在了解漏壶的过程中，按照其原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，研究开始时圆柱容器中已有一部分液体．下表是研究过程中记录的圆柱容器液面高度（单位：cm）与时间（单位：h）的数据． 时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y/cm 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解决以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并判断与之间是我们学过的_____（填“一次”或“反比例”）函数． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到20cm时，所需的时间是多少h？ 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水． 表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况： 时间（时） … 1 2 3 4 5 … 圆柱容器内水面高度（厘米） … 3 5 7 9 11 … (1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？ (3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明． 16．（23-24八年级下·福建厦门·期中）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量，你能得出什么结论． 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中的数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案． 题型五 分配问题 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 19．（22-23九年级下·河南商丘·期中）某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买两种树苗在学校栽种．已知1棵种树苗比1棵种树苗贵5元，用400元购买的种树苗与用300元购买的种树苗的数量相同． (1)求购买1棵种树苗和1棵种树苗各需多少元； (2)若该校计划购买两种树苗共150棵，且种树苗的数量不少于种树苗的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 20．（22-23八年级上·安徽六安·期中）为了更好服务我县创建“文明城市”工作，市政部门决定购进A、两种新型垃圾处理设备共10台，两种新型设备进价分别为：A型每台10万元，型每台8万元，设购进A种型号垃圾处理设备为台为正整数），购进两种型号垃圾处理设备的总费用为万元． (1)求总费用与的函数表达式； (2)如果购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进种垃圾处理设备的总费用，那么市政部门购买垃圾处理设备有几种方案？请列举出来． 题型六 体积问题 21．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度y（）与她放入容器中的小球个数x（个）之间的关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 22．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是______； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？ (3)若乙容器的底面积为平方厘米（壁厚不计）． ①求甲容器的底面积（壁厚不计）； ②求乙容器中铁块的体积． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为（单位：），容器乙中的液面高为（单位:）．小科绘制了、关于时间x（单位：s）的函数图象如图2所示．回答下列问题：    (1)a的值为________；容器甲的液面下降速度是________： (2)求b的值以及关于x的函数表达式； (3)当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，求此时x的值． 24．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以/的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水时间为（），水箱的水位高度为（），水箱中的水位高度为（）．（抽水水管的体积忽略不计） (1)分别求出，与之间的函数表达式； (2)当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 题型七 最大利润问题 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情． 某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y （单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 27．（24-25八年级上·安徽六安·期末）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 (1)求的值； (2)若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． (1)求甲乙两种产品的进价： (2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 题型八 阶梯计费问题 29．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 30．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 31．（23-24八年级上·江西九江·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元． (1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________； 当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________． (2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时． 32．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某通讯公司手机话费收费有套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设套餐每月话费为（元），套餐每月话费（元），月通话时间为分钟． (1)直接写出与，与的函数关系式； (2)如果某用户使用套餐本月缴费60元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为250分钟时，选择哪种套餐更划算？ 题型九 方案选择问题 33．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 34．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 35．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 36．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 37．（24-25七年级下·山东济南·期中）2025年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元． (1)求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1380万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利万元，销售1辆B型新能源汽车可获利万元，若汽车全部销售完毕，那么购买并销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 题型一 新情境问题 1．（2025·浙江丽水·二模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）为了庆祝2025年的到来，北白川玉子准备去购买一些花束来和朋友们跨年，她到达花店后发现有两种优惠方案，为前4束花按原价购买，超过4束花时每束花打折，为每束花都打折．其中花束数量（束）和价格（元）之间的函数图象如下，请你根据图象回答下列问题： (1)求出的值以及的函数表达式． (2)请你计算北白川玉子应该如何选择方案更省钱． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分．为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用和； (2)若，求出x的值； (3)试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算？ 题型二 跨学科问题 1．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 2．（2025八年级下·全国·专题练习）物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 3．（2023·福建厦门·二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务： 年*月*日　　星期日 利用一次函数知识解决化学问题今天我看到一则化学实验材料： 如图1，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．   ① 当和的体积比为时，和恰好完全反应．如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应． ② 化学反应②中参与反应的与生成的的体积比为． 根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题． 设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内乘余气体的体积为． 情况一：由反应①可知，当和的体积比为时，和恰好完全反应，此时． 情况二：当时，由反应①可知全部参加反应，过量，参加反应①的的体积，剩余的体积为． 因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积，即． 在平面直角坐标系中画出当时的函数图象如图2所示．   情况三：当时，由反应①可知全部参与反应，过量，参与反应①的的体积为，剩余的和水发生反应②，产生不溶于水的气体． 任务： (1)根据材料中的内容，求出当时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数图象；    (2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为时，求原混合气体中的体积． 4．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 题型三 新考法问题 45．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）某果农销售一种新鲜水果，采用线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分按每千克3.5元． 购买这种新鲜水果千克，所需费用为元，与之间的函数关系如图所示． 根据以上信息，完成下列任务： (1)请求出两种销售模式对应的函数表达式； (2)求出图中点坐标，并解释它的实际意义； (3)若想购买15千克该种新鲜水果，请问选择哪种模式购买最省钱？ 46．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，张餐桌摆把椅子，张餐桌摆把椅子，张餐桌摆把椅子，其中餐桌的数量用（张）表示，椅子的数量用（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是______，因变量是______． (2)请写出和之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐人？请说明理由． 47．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 50 60 70 80 90 100 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 …    (1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象，并直接写出关于的函数表达式； (2)当挎带的长度为时，求此时双层部分的长度； (3)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为，则挎带长度是否满足小林的身高要求？若满足，该如何调节挎带长度；若不满足，请说明理由． 48．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成． 【查阅资料】 自制杆秤 原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离=提纽与秤盘悬挂点的距离． 制作步骤 步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记 步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置． 步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽． 步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度． 【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据． （厘米） （斤）   【解决问题】 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．______； （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加______斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x之间的函数表达式； ②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）综合与实践 【问题背景】 某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分，考试项目增加5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好地开展排球课程，计划购买一批排球，该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九五折再优惠10元出售． 【问题研究】 若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的总价，其函数图象如图所示． 【问题解决】 (1)每个排球的标价是多少元？ (2)当时，甲商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________； 当时，乙商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________． (3)求点C的坐标，并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出m，n的值． (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 4．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表： 打印机 利润 商场 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式． (2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． ②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$