湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期暑假作业过关练习数学试题

2026年秋季高二年级暑假作业过关练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. 1 B. C. D. -1 2. 数据4，4，5，7，7，8，8，8，9，10的第80百分位数为（ ） A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 10 3. 点在所在平面内，且满足，则点是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 4. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，.设平面向量，，则向量，能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 的内角A，B，C所对的边分别为，，，，，，则边长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，E为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 在复数集C中，方程有两个根，分别为， B. 若空间中的O，A，B，C满足，则A，B，C三点不共线 C. 是空间的一组基底，若，，则能为空间的一组基底 D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线，若，则______________. 13. 如图，在边长为2的正方体中，点到平面的距离为______________. 14. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：），绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计位居民某年的月均用水量的众数； （2）已知该市有万居民，估计全市居民中月均用水量低于的人数； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值. 16. 在锐角中，，，分别是角A，B，C的对边，若且. （1）求B； （2）求周长的取值范围. 17. 如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：，都有； （2）当时，求不等式的解集； （3）是否存在实数，对任意一个整数，关于的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 2026年秋季高二年级暑假作业过关练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），众数为 （2）万 （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. （2）存在点Q为PB的中点， 【18题答案】 【答案】（1） （2）要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3） 【19题答案】 【答案】（1）因为，所以，都有. （2） （3）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $