第一章空间向量与立体几何章末训练（一）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元卷，涵盖向量共线、坐标运算、法向量等核心知识，通过基础巩固与综合应用题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象与几何直观素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|空间向量共线判定（题1）、模长计算（题4）|基础概念辨析，强调空间向量基本运算| |多项选择|3/18|空间向量共面性质（题9）、基底应用（题10）|多角度考查定理理解，培养批判性思维| |填空题|3/15|对称点坐标（题13）、点到直线距离（题14）|聚焦空间坐标运算，强化几何直观| |解答题|5/77|基底表示（题15）、法向量求解（题18）|综合空间几何体情境，提升逻辑推理与运算能力|

第一章 空间向量与立体几何 章末训练（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 3．如图，在平行六面体中，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 5．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 6．已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 10．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 11．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 13．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 14．已知点，点，则点到直线的距离为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 16．（15分）如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 17．（17分）如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 18．（17分）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 19．（17分）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A A D B D ACD ACD 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 2．D 【详解】，故选项D正确. 3．C 【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．A 【详解】向量 ，则. 5．A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 6．D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 7．B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 8．D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 9．ACD 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D即可. 【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； 对于C，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量，故C正确； 对于D，因为，， 所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 11．ABC 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 12．1 【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为E是棱PC上一点，且，即E是棱PC的中点， 所以， 则. 故答案为：1 13． 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 14． 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 15．， 【分析】利用空间向量的加法运算及数乘运算求解即可． 【详解】如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形， 因为是的中点， 所以， 因为是的中点， 所以． 16．(1)； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理即可得解； （2）根据空间向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）， 因为分别是，的中点， 所以 ； （2） . 17．，，，， 【详解】由题可知，，，，，. 18．(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 19．(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $