第三章 函数 单元测试培优提升卷-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 2026-2027高一必修一数学第三章函数培优提升卷（人教B版），覆盖函数奇偶性、单调性、图像等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、逻辑推理与数形结合能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数奇偶性、图像识别|第6题结合华罗庚名言与商标图像抽象函数，体现文化传承与数形结合| |多选题|3/18|零点存在性定理|第10题用函数值表判断零点区间，培养推理意识| |填空题|3/15|奇函数解析式|第12题已知奇函数求解析式，考查抽象能力| |解答题|5/77|函数图像、单调性证明|19题偶函数单调性证明，要求规范表达，提升数学语言能力|

2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第三章 函 数 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若函数是定义在上的偶函数，则(     ) A. B. C. D. 2.已知函数，且，则(     ) A. B. C. D. 3.若对于任意实数都有，则(     ) A. B. C. D. 4.函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则(     ) A. B. C. D. 5.定义在上的奇函数满足，当时，，当时，不等式的解集为(     ) A. B. C. D. 6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(     ) A. B. C. D. 7.函数的部分图象大致为(     ) A. B. C. D. 8.定义在区间上的函数的图象如图所示若只有唯一的值对应，则的取值范围为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数满足，下列结论正确的是(     ) A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 10.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 则下列包含的零点的区间是(     ) A. B. C. D. 11.定义在上的函数，对于定义域内任意的，都有，，且当时，，则下列结论正确的是(     ) A. B. 是奇函数 C. D. 在上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则时，           ． 13.已知，那么          ． 14.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 在平面直角坐标系中，画出函数的简图； 根据函数的图象，写出函数的单调区间； 若，求实数的值． 16. 本小题分 已知二次函数满足且，函数． 求函数的解析式； 求函数在区间上的最值； 解关于的不等式． 17. 本小题分 若函数对于一切实数，，都有， 求并证明是奇函数； 若，求． 18. 本小题分 已知二次函数满足，． 求的解析式； ，恒成立，求的取值范围． 19.本小题分 已知定义在上的函数为偶函数，且． Ⅰ求的解析式； Ⅱ判断在上的单调性，并用单调性定义证明． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第三章 函 数 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若函数是定义在上的偶函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 本题考查函数奇偶性以及应用，属于基础题． 由偶函数的定义可得，求得、的值即可． 【解答】 解：因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 则， 所以， 则． 故选：． 2.已知函数，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查由函数值求参或自变量，属于基础题． 根据题意，将代入函数解析式，计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，， 若，解可得， 令，则有，所以． 故选：． 3.若对于任意实数都有，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．由对于任意实数都有，列方程组，求出，由此能求出的值． 【解答】 解：对于任意实数都有， ， 解得， ． 故选：． 4.函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题． 由奇函数的性质直接求出结果即可． 【解答】 解：根据题意， 因为是上的奇函数， 且当时，函数的解析式为， 所以． 故选：． 5.定义在上的奇函数满足，当时，，当时，不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 由奇函数的定义可得，且时，；时，，再对讨论，分，，解不等式可得所求解集． 本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题． 【解答】 解：定义在上的奇函数满足， 可得， 当时，，当时，， 可得时，；时，， 等价为或， 解得或， 即所求解集为． 故选：． 6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点范围的函数取值进行思考，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 【解答】 解：函数的定义域为，排除选项A和， 当时，， 但在选项C中，由于，所以，可排除选项C， 故选：． 7.函数的部分图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查了函数图象的识别，判断函数的奇偶性，属于基础题． 先用函数奇偶性排除选项C、再用，排除选项B． 【解答】 解：函数 的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，不满足 又，所以选项B不满足，符合题意． 故选：． 8.定义在区间上的函数的图象如图所示若只有唯一的值对应，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查求函数的值域，属于基础题． 根据函数图象，即可判断的取值范围． 【解答】 解：由图象可知，若满足唯一的与对应， 则函数的值域． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数满足，下列结论正确的是(    ) A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ABC  【分析】 本题考查抽象函数及其应用，属于基础题． 令，可判断令，，可判断令，可判断，． 【解答】 解：依题意， 令，得，故A选项正确． 令，，则，即，故B选项正确； 令，得，即，即， 所以为奇函数，故C选项正确，D错误． 故选：． 10.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 则下列包含的零点的区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【分析】 本题考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题． 利用零点存在性定理，结合表格中对应的函数值，判断区间端点处的函数值是否异号即可． 【解答】 解：因为的图象是一条连续不断的曲线，且，，， 所以一定包含的零点的区间是，，． 故选BCD． 11.定义在上的函数，对于定义域内任意的，都有，，且当时，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 是奇函数 C. D. 在上单调递增 【答案】AD  【分析】 A.令代入计算即可； B.令，，求出，再令，则有得是偶函数； C.由，即，即可比较与的大小； 任取，，使，则有，，，即可判断． 本题考查了抽象函数的求值、单调性的判断，采用赋值法即可，属于基础题． 【解答】 解：因为， 令，则有，所以A正确； 令，，则有，所以，， 令，则有，故是偶函数，所以B错误； 因为，， 所以，即，故C错误； 任取，，使，则有，， 所以， 所以， 故在上单调递增，所以D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则时，           ． 【答案】  【分析】 本题主要考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 直接根据奇函数的定义求解时的解析式，再根据奇函数，进而求解出的解析式即可． 【解答】 解：设，则根据为奇函数，得 ， 又的定义域为，所以． 综上可得． 故答案为：． 13.已知，那么          ． 【答案】  【分析】 推导出，由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】 解：， ． 故答案为：． 14.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是          ． 【答案】或  【分析】 本题主要考查函数单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题． 由已知结合奇函数的对称性及单调性即可直接求解． 【解答】 解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以当或时，， 当或时，， 由， 得或或， 解得或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 在平面直角坐标系中，画出函数的简图； 根据函数的图象，写出函数的单调区间； 若，求实数的值． 【答案】解：的图象如图所示： 由图可得函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上，当时，或．  16.本小题分 已知二次函数满足且，函数． 求函数的解析式； 求函数在区间上的最值； 解关于的不等式． 【答案】解：已知二次函数满足且， 函数， 因为二次函数满足， 所以二次函数的图象的对称轴为直线， 又，故设，， 因为，所以，则， 所以，则． 由知，的对称轴为直线，且开口向上， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为； 因为， 由知，， 不等式即为， 即，即， 所以，当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为．  17.本小题分 若函数对于一切实数，，都有， 求并证明是奇函数； 若，求． 【答案】证明：令，则， 解得； 令，得，即， 是奇函数； 解：，， ， 又是奇函数； ．  18.本小题分 已知二次函数满足，． 求的解析式； ，恒成立，求的取值范围． 【答案】解：设， 则，则，； ，则； ，恒成立． ， 当时取等号，故． 即的取值范围为  19.本小题7分 已知定义在上的函数为偶函数，且． Ⅰ求的解析式； Ⅱ判断在上的单调性，并用单调性定义证明． 【答案】解：Ⅰ由题意，定义在上的函数为偶函数， 则，则有， 即，必有， 又由，即， 故 Ⅱ在上单调递减，证明如下： 设，， ，，，，， ，即， 故在上单调递减．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $