第三章 函数（单元分层自测·能力提升卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学第三章函数单元复习卷，整合多地期末及模拟真题，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识，注重能力提升与数学思维培养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|定义域、奇偶性、单调性|结合广东汕尾等期末真题，考查数学抽象与推理能力| |多选题|3题|二次不等式、函数概念|安徽安庆等期末题，培养批判性思维与逻辑推理| |填空题|3题|函数值域、参数问题|山西阳泉等期末题，提升运算能力与模型意识| |解答题|5题|函数解析式、二次函数、不等式证明|黑龙江绥化等阶段检测题，综合考查数学思维与表达，如含参二次函数最值讨论|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 5．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽安庆·期末）关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式在上恒成立 D．不等式的解集为 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 13．（25-26高二下·天津静海·期末）若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 14．（25-26高一上·广东佛山·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 16．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 19．（25-26高二下·浙江舟山·期末）设，已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)当时，求证：，并指出等号成立的条件； (3)设，若实数满足.求证： 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·能力提升（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A A A C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12．8 13． 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）， ．（5分） （2）当时，由，得，解得，符合题意；（9分） 当时，由，得，解得（舍去）. 故的值为0或2.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或；（5分） （2）令，则，可得；（10分） （3）因为， 所以， 联立方程解得.（15分） 17．（15分） 【详解】（1） 当时，，符合题意；（2分） 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故；（4分） 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故，（6分） 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是．（8分） （2），即，， ，令，（10分） 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或，（12分） 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）已知是二次函数，设，因（3分） 解得，故.（6分） （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为，（8分） ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是；（10分） ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是；（12分） ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是.（15分） 综上，函数的最小值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）若，，，其中，所以.（3分） (2)因为 .（6分） 而，，故，，. 所以. 所以，当且仅当时取得等号.（8分） (3)令，则. 若，则方程化为，故在值域中，（9分） 若，则关于的二次方程有实数解，则. 解不等式得：.（10分） 因为，记. 则，且的值域为 由可知.（12分） 证明： 当时，因为，所以，，则.（13分） 当时，由（2）知. 于是，（14分） 由，得， 因为，故，所以. 而，在时取得最大值为， 因此，所以. 若等号成立，则需要同时满足下列条件：（i）；（ii）；（iii）. 由（i）（ii）得与（iii）矛盾，故等号不能成立， 因此.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 3．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 5．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 7．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 8．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由分段函数在上是减函数求出a的一个范围，然后作出的图象和直线，讨论图象交点的位置，得到方程解的情况，讨论求解即可． 【详解】由在上单调递减可知，参数a需满足 ，解得； 结合函数图象，当时，函数的图象和直线有且只有一个公共点， 即当时，方程只有一个实数解． 因此，只需当时，方程恰有一个实数解． 根据已知条件可得，当时，，即只需方程恰有一个实数解， 即，即， 在上恰有一个实数解， 判别式， 因为，所以． 当，即时，方程有一个正实根、一个负实根，满足要求； 当，即时，方程的一个根为，一个根为，满足要求； 当，即时，因为， 此时方程有两个负实根，不满足要求； 当时，方程有两个相等的负实根，满足要求． 综上可知，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的单调性，考查方程根的分布问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先方程的根的个数转化为函数图象交点个数，然后函数图象交点个数又转化为二次方程根的分布．本题还考查了数形结合思想．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽安庆·期末）关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式在上恒成立 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由已知得且，据此逐项分析判断. 【详解】对于A：因为关于的不等式的解集为， 所以，且，所以，整理得，A正确； 对于B：由上分析可知，所以，B错误； 对于C：因为，，所以不等式即， 对方程，， 所以函数开口向上且与轴无交点，所以不等式的解集为，C正确； 对于D：因为，，所以不等式即， 解得，即不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令代入即可得解；对于B，令化简可得，代入数值判断即可；对于C，由B可得，由A可得，代入数值判断即可；对于D，求出特殊点的值，得到周期性规律，即可得到，即可判断. 【详解】对于A：令，得，则或， 若，令，得，此时，不符合题意， 则，故A正确； 对于B：令得，， 令，则，即，所以，故B错误； 对于C：由B知，， 又令得，，由A选项知， 所以，即， 所以，故C正确； 对于D选项：由C知，， 又，，，， 故， 因此，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 13．（25-26高二下·天津静海·期末）若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 【答案】 【分析】求解函数值为时的自变量取值，结合值域要求选取端点，使区间长度最大即可. 【详解】， 令，解得或， 由该函数在区间上的值域为， 要使得取最大值，则、， 即的最大值为. 14．（25-26高一上·广东佛山·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出分段函数的两段表达式的范围，其并集为，基于此列出关于a的不等式，解出即可． 【详解】①时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，，当时，， 因此，时，，完全覆盖值域要求； ②时，，因此，时，； 结合整体值域为，可知， 则，解得，同时又因为，所以，所以a的范围为， a的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)6 (2)0或2． 【分析】（1）根据分段函数解析式依次求得,; （2）根据分段函数解析式分类求解方程，检验后即得参数的值. 【详解】（1）， ． （2）当时，由，得，解得，符合题意； 当时，由，得，解得（舍去）. 故的值为0或2． 16．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）由待定系数法可得解析式；（2）由换元法可得解析式；（3）由方程组法可得解析式. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，可得； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）已知是二次函数，设，因 解得，故. （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. 19．（25-26高二下·浙江舟山·期末）设，已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)当时，求证：，并指出等号成立的条件； (3)设，若实数满足.求证：. 【答案】(1) (2) 因为 . 而，，故，，. 所以. 所以，当且仅当时取得等号. (3)令，则. 若，则方程化为，故在值域中， 若，则关于的二次方程有实数解，则. 解不等式得：. 因为，记. 则，且的值域为 由可知. 证明： 当时，因为，所以，，则. 当时，由（2）知. 于是， 由，得， 因为，故，所以. 而，在时取得最大值为， 因此，所以. 若等号成立，则需要同时满足下列条件：（i）；（ii）；（iii）. 由（i）（ii）得与（iii）矛盾，故等号不能成立， 因此. 【分析】（1）根据已知有，结合对勾函数的性质求值域； （2）利用作差法、不等式的性质证明不等式，进而确定等号成立条件即可； （3）问题化为关于的方程有实数解，讨论、两种情况，且时，记，从而有，根据已知有，最后应用分类讨论证明不等式. 【详解】（1）若，，，其中，所以. （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 13 / 13 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 5．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽安庆·期末）关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式在上恒成立 D．不等式的解集为 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 13．（25-26高二下·天津静海·期末）若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 14．（25-26高一上·广东佛山·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 16．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 19．（25-26高二下·浙江舟山·期末）设，已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)当时，求证：，并指出等号成立的条件； (3)设，若实数满足.求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $