第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末素养试题-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配高中数学必修第一册单元复习，强化数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|比较大小、基本不等式求最值|基础概念辨析，突出运算能力| |多选题|3|不等式性质、最值判断|多维度考查推理意识，选项分层| |填空题|3|取值范围、实际应用（衬衫售价）|结合生活情境，体现模型意识| |解答题|5|恒成立问题、参数讨论、证明|综合考查逻辑推理，梯度设计合理|

第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末素养试题 2026-2027学年上学期高中数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．设，，则（    ）． A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 4．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 5．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集是，则 （    ） A． B． C． D． 8．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 9．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．已知，，，则下列判断正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为6 D．的最大值为8 11．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 三、填空题 12．已知，求的取值范围__________． 13．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是__________. 14．某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m) 四、解答题 15．（1）已知，，求的取值范围； （2）比较两个代数式与的大小． （3）若2，4，求的取值范围. 16．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 17．已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 18．已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 19．设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围; (2)解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A B D B B BD ACD 题号 11 答案 AD 1．D 首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. ， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 2．C 由不等式性质即可分析判断AC；举反例即可判断BD. 因为，所以，则，A错误； 当，，时满足，此时，B错误； 由，，得，C正确； 当时，，此时，D错误． 故选：C 3．B 由已知得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 因为正实数x，y满足， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25. 故选：B 4．A 根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 5．B 由题意可得，求得即可. 因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 6．D 先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 7．B 根据题意可知，是方程的两根，根据韦达定理便可求解． 关于的不等式的解集是， ，是方程的两根， ， 解得， ， 故选：B． 8．B 结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. ∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 9．BD 根据不等式的性质可逐项判断. 对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正， 例如：，故A错误； 对于B，，，则，即，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，所以，故D正确； 故选：BD. 10．ACD 利用基本不等式一一计算可得. 对于A：， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：由条件可知，所以，解 得，由，得，， 所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C：由得 ， 当且仅当，即，时取得等号，故C正确； 对于D：由上述条件可知 ， 整理得. 令，则，解得，则， 当且仅当，即，时取得等号，故D正确. 故选：ACD. 11．AD 是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 12． 利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 13． 先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14． 由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可. 假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件， 每天出售衬衫的净收入， 令, ， ， 解得, 故答案为：. 15．（1）；（2）；(3) （1）由不等式的性质即可求解； （2）根据作差法比较大小即可； （2）由不等式的性质即可求解. （1）因为，，所以，所以. （2）， . （3）若2，4，则， 所以. 16．(1)证明： 因为， 所以； (2)证明： 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立． （1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. （1）略； （2）略． 17．(1) (2) （1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， （1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 18．(1)或 (2)（i） （ii）当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为 （1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. （1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 19．(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （1）由题意等价于对于一切实数x恒成立，由可得答案； （2）转化为不等式，分、、讨论解不等式可得答案. （1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2）不等式， 即， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $