第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末训练（二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，有效检测逻辑推理与运算能力，适配高中数学第二章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|充分必要条件、不等式性质、命题真假判断|基础题为主，如第1-3题考查逻辑推理| |多项选择|3/18|基本不等式应用、一元二次不等式解集|选项分层，如第10题结合正实数条件综合判断| |填空|3/15|不等式组整数解、参数取值范围|强调运算能力，如第12题通过整数解和推导参数范围| |解答|5/77|基本不等式求最值、含参不等式恒成立|综合应用，如第17题结合正实数条件求最值，体现模型意识与运算能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末训练（二） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 11．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 13．设实数，，满足，则的取值范围是_________． 14．已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 16．（15分）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 17．（17分）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 18．（17分）已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数，. (1)当时，求不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值，并求取最小值时a，b的值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C D B C A BD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 3．C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 4．C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 5．D 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】对于A，因为，， 当且仅当取等号，故A错误； 对于B，当时，满足，但是，B选项错误； 对于CD，利用乘“1”法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确. 6．B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 7．C 【分析】将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 8．A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 9．BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 10．ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 11．ABD 【详解】不等式即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确； 不等式即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 由关于x的不等式 的解集为知， 方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得， 故，即，即， 即的解集是，D正确. 12．或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 13． 【分析】先把条件转化为关于的方程，再用柯西不等式把与联系起来，消去变量，得到只含的不等式，最后解二次不等式确定范围. 【详解】设，原条件可化为. 由基本不等式，对任意实数均有. 将代入得. 若，则，满足； 若，将代入上述不等式. 令，上式可整理为关于的一元二次不等式. 存在实数使此不等式成立，当且仅当该二次函数的判别式且对称轴，. 即，解得. 此时对称轴恒成立. 故取值范围是. 14． 【分析】由条件知与同解，再对分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围. 【详解】由，解得， 由条件知与同解， 当时，显然不符合条件； 所以，或， 即，或， 解得或，综上. 所以的取值范围为. 15．（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 16．(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 17．（1），；（2）的最小值为6，． 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 18．(1) (2) 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求函数在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【详解】（1）若p为真，在恒成立，即． 时，，故 （2）若q为真，方程有实根， 解得或 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得， ②p假q真：，解得， 综上： 19．(1) (2)最小值为，此时， 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案. 【详解】（1）当时，不等式可化为， 即：，解得：， 即原不等式的解集为. （2）由可知，即：. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，此时. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $