第一章 丰富的图形世界章节（10知识点回顾+18题型巩固）同步讲义与测试2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

第一章 丰富的图形世界章节（10知识点回顾+18题型巩固） 目录 知识梳理 1.常见的几何体及其分类 2.棱柱的相关概念及特征 3.图形的构成及其关系 4.正方体的展开与折叠 5.棱柱的展开与折叠 6.圆柱、圆锥的展开与折叠 7.几何体的截面 8.从不同方向看几何体 9.画从三个方向看到的几何体的形状图 10.根据形状图判断几何体的形状 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、点、线、面、体四者之间的关系 六、平面图形旋转后所得的立体图形 七、从不同方向看几何体 八、几何体展开图的认识 九、由展开图计算几何体的表面积 十、由展开图计算几何体的体积 十一、正方体几种展开图的识别 十二、正方体相对两面上的字 十三、含图案的正方体的展开图 十四、求展开图上两点折叠后的距离 十五、补一个面使图形围成正方体 十六、截一个几何体 十七、平面图形形状的识别 十八、用七巧板拼图形 知识梳理 知识点1.常见的几何体及其分类 1. 立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形叫作立体图形，也叫作几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体分为三类 (1)按形状分为三类(柱体、锥体、球 ) 名称 图示 特征 联系或区别 柱体 圆柱 上、下底面是平行且相同的圆，侧面是曲面 有两个面(底面)是互相平行的且它们的形状、大小都相同 棱柱 底面侧面棱顶点 上、 下 底 面 是平行且相同的多 边 形， 侧 面是平行四边形 锥体 圆锥 只有一个底面且底面是一个圆，侧面是曲面 圆锥：有一个顶点； 棱锥：各个侧面有一个公共顶点 棱锥 底面侧面棱顶点 只有一个底面且底面是多边形， 侧 面 是 三角形 球 表面是曲面 (2)按围成几何体的面分类 (3)按有无顶点分类 图示： 知识点2.棱柱的相关概念及特征 1. 棱柱的相关概念  在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱 . 2. 棱柱的特征 (1)棱柱的所有侧棱长都相等； (2)棱柱的上、下底面的形状相同； (3)侧面的形状都是平行四边形 . 3. 棱柱的分类 (1)人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱(如图 1.1-2)……它们底面图形的形状分别为 三角形、四边形、五边形、六边形……长方体、正方体都是四棱柱 . (2) 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱 . 直棱柱的侧面是长方形 . 知识点3.图形的构成及其关系 1. 点、线、面、体的概念 体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，几何体也简称体 . 面： 包围着体的是面，面有平面和曲面两种 . 线： 面和面相交得到线，线有直线和曲线两种 . 点： 线和线相交得到点 . 2. 点、线、面、体的关系 点动成线： 笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时， 就形成线 . 线动成面： 汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面 . 面动成体： 长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周， 形成一个圆柱 . 知识点4.正方体的展开与折叠 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到 11 种不同的展开图 . 类型 图示 口诀 数量 一四一型 中间四方连，两侧各一个 6种 二三一型(或一三二型) 中间三方连，两 侧 各 有 两个、一个 3种 二二二型 中间二方连，两侧各两个 1种 三三型 两排各三个，中间成一“日” 1种 知识点5.棱柱的展开与折叠 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 . 几种常见棱柱的展开图： 名称 三棱柱 长方体 五棱柱 六棱柱 立体图形 展开图 (举例) 知识点6.圆柱、圆锥的展开与折叠 1. 圆柱的表面展开图  由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高 . 侧面展开图如图 1.2-4 ①所示， 表面展开图如图 1.2-4 ②所示. 2. 圆锥的表面展开图  由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 . 侧面展开图如图 1.2-5 ①所示， 表面展开图如图 1.2-5 ②所示. 知识点7.几何体的截面 截面  用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 . 正方体的几种截面形状 圆柱的几种截面形状 圆锥的几种截面形状 三棱柱的几种截面形状 球的截面形状 知识点8.从不同方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看 . 2. 常见的几何体从不同方向看到的形状图 从不同方向看 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 知识点9.画从三个方向看到的几何体的形状图 为了描述几何体的形状，常需要画出从正面、左面、上面看几何体的形状图，其特点如下表所示： 从不同方向看 特点 图例 从正面看 能 看 到 几 何体的长和高 看到的图形有上、下两 层， 排 成 左、 中、右三列，如右图所示 从左面看 能 看 到 几 何体的高和宽 看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示 从上面看 能 看 到 几 何体的长和宽 看到的图形有三列、两行，如右图所示 知识点10.根据形状图判断几何体的形状 1. 由形状图判断几何体形状的一般步骤 2. 由形状图判断由若干个小正方体摆成的组合体的形状的方法 (1)从正面看所得的形状图反映该组合体的左右列数(纵向)和每一列的上下层数 . (2) 从左面看所得的形状图反映该组合体的前后列数和每一列的上下层数 . (3) 从上面看所得的形状图反映该组合体的前后行数和每一行的左右列数 . 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各类球中，不属于球体的是（   ） A．羽毛球 B．篮球 C．足球 D．乒乓球 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查认识球体，掌握球体的定义是解题的关键． 根据球体的定义，判断各选项的几何形状即可得出答案． 【详解】解：球体是三维空间中所有点到中心距离相等的几何体，表面为连续光滑的曲面． A. 羽毛球由半球形底座和圆锥形羽毛组成，整体非球体，不属于球体． B. 篮球：标准球体，符合定义． C. 足球：虽由多块皮革拼接，但整体仍近似球体． D. 乒乓球：体积小但形状为完整球体． 故选A. 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中，属于平面图形的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了认识平面图形和立体图形，熟练掌握平面图形和立体图形的特征进行求解是解决本题的关键． 应用平面图形和立体图形的特征进行判定即可得出答案． 【详解】解：①角是平面图形，②圆是平面图形，③圆锥是立体图形，④三角形是平面图形． 所有属于平面图形的是①②④． 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如下图所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面的立体图形相类似的实物． 【答案】①～d；②～c；③～a；④～b 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查生活中的立体图形，①类似圆柱，②类似正方体，③为球，④类似圆锥，由此可解． 【详解】解：由图可得实物①和d相类似，实物②和c相类似，实物③和a相类似，实物④和b相类似． 题型二、组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）（教材变式）下列几何体中，可以组成如图所示的陀螺的是（   ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题考查的是立体图形的认识，根据立体图形特征直接得出结论即可． 【详解】解：由几何体的特征可知，上面是圆柱，下面是圆锥， 故选：D． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是 ．      【答案】 【知识点】组合几何体的构成 【分析】从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【详解】解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体体积、表面积的计算，明确挖去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 6．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【答案】圆锥和圆柱；四棱锥和四棱柱；球和正方体 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题主要考查了组合几何体的构成，熟练掌握组合几何体的构成是解题的关键． 由题图可直接判断出各组合几何体的构成． 【详解】解：由题图可以看出： 第个组合几何体是由圆锥和圆柱构成的， 第个组合几何体是由四棱锥和四棱柱构成的， 第个组合几何体是由球和正方体构成的． 题型三、立体图形的分类 7．（2025·河南南阳·二模）分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 【答案】②③⑥ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了柱体的定义，属于基础题，掌握基本的概念是解题的关键． 根据柱体的分类：棱柱和圆柱，结合图形进行选择即可． 【详解】下列图形中，是柱体的有②长方体③圆柱⑥三棱柱． 故答案为：②③⑥． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）将下图中的几何体分类． 【答案】见解析 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题主要考查的是基本立体图形的认识，以及立体图形分类，根据立体图形的特点进行分类即可． 【详解】解：按柱体、锥体，球体划分： 柱体：①②④⑤⑦⑧； 锥体：⑥； 球体：③． 题型四、几何体中的点、棱、面 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【答案】A 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据棱柱的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、斜棱柱的侧面是平行四边形，不一定是长方形，故原说法错误，符合题意； B、正方体所有棱长都相等，原说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面可能是平行四边形，原说法正确，不符合题意； D、棱柱的上、下底面形状相同，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的几何体是由5个面组成的，其中平面有 个，曲面有 个；面与面相交形成 条线，其中直线有 条，曲线有 条；线与线相交形成的点共有 个． 【答案】 4 1 9 7 2 6 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查点、线、面、体，根据点、线、面、体的关系解答即可． 【详解】解：如图所示的几何体是由5个面组成的，其中平面有4个，曲面有1个；面与面相交形成9条线，其中直线有7条，曲线有2条；线与线相交形成的点共有6个， 故答案为：4，1，9，7，2，6． 12．（25-26七年级上·全国·随堂练习）一个铁球有下列性质：铁质，坚硬，灰黑色，球形，直径为，质量约为，摸上去较凉，等等．几何研究其中的哪些性质？ 【答案】球形，直径为． 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了球的性质，掌握几何是研究点、线、角、面和立体的性质、度量和关系的学科成为解题的关键． 根据球的性质以及几何研究的内容逐个判断即可． 【详解】解：几何研究其中的球形，直径为． 题型五、点、线、面、体四者之间的关系 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）汽车的雨刮器工作时，可用下面（　　）的数学知识点来解释 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体，利用点、线、面、体的概念解答． 【详解】解：汽车的雨刮器工作时，可用线动成面的数学知识点来解释． 故选：B． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）流星划过天空留下一道光线说明 ；风车旋转时看起来像个圆面，这说明 ． 【答案】 点动成线 线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，解题关键是明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线，线动成面回答即可． 【详解】解：流星划过天空留下一道光线说明点动成线；风车旋转时看起来像个圆面，这说明线动成面； 故答案为：点动成线，线动成面 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 【答案】见解析 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据线的特征（直线、射线、曲线等）以及平移、旋转的性质，判断线经过相应变换后得到的平面图形，然后进行连线．本题主要考查点、线、面之间的关系，以及平移和旋转的性质，熟练掌握线经过平移、旋转后形成平面图形的规律是解题的关键． 【详解】解：竖直的直线，平移后得到矩形（长方形）；斜向的直线，平移后得到平行四边形；曲线（类似“S”形 ），平移后得到与之形状匹配的曲线图形；线段旋转后得到扇形． 连线如下： 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形 16．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）图中的几何体可由平面图形旋转得到，这个平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，是基础题，准确识图是解题的关键． 观察图形，根据面动成体解答即可． 【详解】解：由图可知，几何体是由D选项平面图形沿虚线旋转一周得到． 故选：D． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三角形绕它的一边所在的直线旋转一周后，得到的几何体可以是图中的 （填序号）． 【答案】②③④ 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，旋转体的定义，根据旋转体的定义，直角三角形绕其边为轴旋转一周，形成几何图形，可得答案． 【详解】解：绕一个三角形的一条边所在的直线旋转一周所成的几何体是②③④， 故答案为：②③④． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆锥，面动成体 (2)圆锥的体积为或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）根据圆锥的特征，面动成体即可解答； （2）分两种情况进行计算，即可解答． 本题考查了面动成体，圆锥的体积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为面动成体， 故答案为：圆锥，面动成体； （2）解：①绕直角三角形较长的直角边旋转时，圆锥的体积为； ②绕直角三角形较短的直角边旋转时，圆锥的体积为． 综上所述，圆锥的体积为或． 题型七、从不同方向看几何体 19．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（三视图）用5个同样大小的正方体堆成一个几何体．从上面看是，则从左面看，图形的形状可能有（   ）种情况． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；由题意，画出从上面看的所有可能情况，对应地可以画出从左面看的形状，从而完成解答． 【详解】解：从上面看有以下几种可能： 对应地，从左面看有以下几种形状： 综上，共有4种． 故选：C． 20．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（三视图定个数）一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，搭这样的立体图形，最多需要 个小立方体． 【答案】6 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面和上面看到的图形得到几何体为2行2层，进行判断即可． 【详解】解：如图， 最多需要6（个）小立方体； 故答案为：6． 21．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米． (1)这个几何体的体积是 ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，理解从不同方向看图形的意义是正确解答问题的关键． （1）有6个小正方体，再由正方体体积公式求解即可； （2）利用从不同方向看到的图形，画出图形即可． 【详解】（1）解：这个几何体的体积， 故答案为：； （2）解：从不同方向看到的形状图如图： 题型八、几何体展开图的认识 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①是一个三棱柱，若将其沿某些棱剪开成图②所示的图形，需要剪开棱的条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查三棱柱的展开图，正确知识点是解题的关键． 三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是4条，相减即可求出需要剪开的棱的条数． 【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是： (条)， ∴至少需要剪开的棱的条数是5条， 故选：B． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，分别写出下列图形是哪个几何体的展开图，并写出是表面展开图还是侧面展开图． ①         ②     ③     ④ 【答案】 圆锥的表面展开图 圆柱的表面展开图 圆锥的侧面展开图 圆柱的侧面展开图 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握圆柱、圆锥、三棱柱、四棱柱的展开图的形状是正确解答的关键．根据圆柱、圆锥、棱柱的特征进行解答即可． 【详解】解：①展开图为一个圆和一个扇形，因此是圆锥的表面展开图； 故答案为：圆锥的表面展开图； ②展开图为两个圆一个长方形，因此是圆柱的表面展开图； 故答案为：圆柱的表面展开图； ③展开图为扇形，因此是圆锥的侧面展开图； 故答案为：圆锥的侧面展开图； ④展开图为一个长方形，因此是圆柱的侧面展开图； 故答案为：圆柱的侧面展开图． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，分别折叠下列图形，分别得到什么几何体？ 【答案】圆柱、五棱柱、圆锥、三棱柱 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何体展开图的认识，解题的关键是要掌握几何体展开图的形状．将下列各图形进行折叠即可得出答案． 【详解】解：从左边数第1个图形折叠成一个圆柱； 从左边数第2个图形折叠成一个正五棱柱； 从左边数第3个图形折叠成圆锥； 从左边数第4个图形能折叠成一个三棱柱． 题型九、由展开图计算几何体的表面积 25．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的关键． 【详解】解：棱长是的正方体的表面积是， 故选C 26．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 【答案】 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键．五棱柱有个面为侧面，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵该棱柱是直五棱柱， ∴这个棱柱的所有侧面面积之和为：， 所有棱长和为 故答案为：，． 题型十、由展开图计算几何体的体积 27．（22-23七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 28．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【答案】或 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查求圆柱的体积，分圆柱的高为8和高为4两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意，当圆柱的高为8，底面周长为4时，圆柱的体积为：； 当圆柱的高为4，底面周长为8时，圆柱的体积为：； 故答案为：或． 29．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 【答案】(1)①，②C (2) (3)见解析，当时， 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握长方体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）①根据长方体的体积计算方法进行计算即可；②由表格中对应值的变化关系得出结论； （2）由表格中对应值的变化关系得出结论． （3）利用“夹逼法”分别计算当计算体积V的值，进而得出结论． 【详解】（1）① 故答案为： ②根据表格中数据的对应值的变化关系可知，随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是先增大后减小， 故答案为：C （2）表格中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当（x为整数）时，纸盒的容积最大，为 故答案为： （3）由题意得： 当时， 当时， 当时， 当时， 所以，当时， 30．（24-25七年级上·全国·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 题型十一、正方体几种展开图的识别 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去（   ） A．1或2或3 B．3或4或5 C．4或5或6 D．1或2或6 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据正方体的展开图中每一个面都有唯一的对面，可得答案． 【详解】解：1的对面可能是7，2的对面可能是7，2的对面可能是4，6的对面可能是4， 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去1或2或6， 故选：D． 32．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在图有编号的位置选择一个正方形，使它与图中5个有阴影的小正方形一起，能折叠成一个正方体，则可以选择的编号是 ．（只填一个编号即可） 【答案】①（答案不唯一） 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体．利用正方体的展开图即可解决问题． 【详解】解：在图中有编号的位置选择一个正方形，使它与图中5个有阴影的小正方形一起，能折叠成一个正方体，则可以选择的编号是①、②、③、⑤． 故答案为：①（答案不唯一）． 33．（24-25七年级上·吉林·期末）小志准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图1，图2中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 【答案】见解析 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了作图，利用正方体的展开图中每个面都有对面作出第二层右边的小正方形的对面是解题关键．根据正方体的展开图中每个面都有对面，可得答案． 【详解】如图所示，黑色阴影部分所画的正方形即为所求(答案不唯一) 题型十二、正方体相对两面上的字 34．（2025七年级上·全国·专题练习）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体的展开图以及空间想象能力． 根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点逐一分析各个选项即可． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知， A、“心”“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意； B、“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意； C、“金”与“题”相对，“榜”与“名”是相对的面，故符合题意； D、“马”与“成”是相对的面、但“到”与“功”没有相对的面，故不符合题意； 故选：C 35．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“考”字一面的对面上的字是 ． 【答案】“功” 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，熟记正方体的平面展开图，并会根据展开图还原成正方体是解决问题的关键．根据正方体的平面展开图，还原成正方体，由空间想象能力求解即可得到答案． 【详解】解：将平面展开图还原，则在原正方体中，与“考”字所在面相对面上的汉字是“功”， 故答案为：“功”． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）下图所示的是一个几何体的表面展开图，每个面上都标注了数字．请根据要求回答下列问题： (1)如果1在几何体的上面，那么哪个数字会在几何体的底面？ (2)如果6在前面（面向自己），从左面看是2，那么哪个数字会在上面？ (3)如果从右面看是3，而4又在后面，那么哪个数字会在上面？ 【答案】(1)6会在几何体的底面 (2)3会在上面 (3)1会在上面 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查了正方体相对两个面上的文字，几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．利用长方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，先确定这六个面哪些是相对面，即可解决问题． （1）根据面“1”与面“6”相对，即可获解； （2）根据面“2”与面“4”相对，面“1”与面“6”相对，面“3”与面“5”相对，可确定上面在“1”和“6”中选，再根据6在前面，从左面看是2，即可确定上面的数字； （3）根据面“2”与面“4”相对，面“1”与面“6”相对，面“3”与面“5”相对，可确定上面在“3”和“5”中选，再根据右面看是3，而4又在后面，即可确定上面的数字． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的特征可知，面“1”与面“6”相对，1在几何体的上面，那么数字6会在几何体的底面； （2）解：由正方体表面展开图的特征可知，面“2”与面“4”相对，面“1”与面“6”相对，面“3”与面“5”相对，当6在前面，2在左面，那么确定5在下面，3在上面； （3）解：由正方体表面展开图的特征可知，面“2”与面“4”相对，面“1”与面“6”相对，面“3”与面“5”相对，当3在右面，4在后面，那么确定6在下面，1在上面． 题型十三、含图案的正方体的展开图 37．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图为正方体的展开图，将标在的任意一面上，使得还原后的正方体中与是相对面，则要标在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体展开图形的识别，利用正方体展开图形的特征结合题意求解即可，熟练掌握正方体展开图形的特征是解此题的关键． 【详解】 解：将标在的任意一面上，使得还原后的正方体中与是相对面，则要标在③， 故选：C． 38．如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】根据正方体展开图的特点找出下底面和上底面，再根据涂有黑色漆的部分作出选择即可． 【详解】解：正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，将它展开得到的表面展开图如下： 则不是由正方体纸盒展开得到的表面展开图的是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键． 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ (1) (2) (3) 【答案】(1)左面的图形可能是右面B图形的展开图； (2)左面的图形可能是右面C图形的展开图； (3)左面的图形可能是右面A图形的展开图 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了学生的空间想象能力．根据展开图中四个面上的图案结合各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可． 【详解】（1）解：五角星中间星对的是竖线，排除A；正方形中的三条线在几何体中是平行的，排除C；故左面的图形可能是右面B图形的展开图； （2）解：黄色小正方形的三个顶点相对的是三个黄色三角形的底边，排除A；黄色正方形在几何体中是相对的且只有一个和黄色小正方形相邻，排除B；故左面的图形可能是右面C图形的展开图； （3）解：空白正方形有两个是相对的，排除B；蓝色的小正方形与蓝色的条状相差2个小正方形，排除C；故左面的图形可能是右面A图形的展开图． 题型十四、求展开图上两点折叠后的距离 40．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 41．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【答案】1 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了展开图折成几何体，判断出A、B两点在正方体上的位置是解题关键．由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点，据此即可得到答案． 【详解】解：由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点， 即A、B的距离是正方体的棱长1， 故答案为：1． 题型十五、补一个面使图形围成正方体 42．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 43．（22-23七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有 种添法． 【答案】4/四 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可. 【详解】解：一共有以下4种添法： 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图. 44．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合． 【答案】见解析 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图， 【点睛】本题考查了几何体的展开图：掌握常见几何体的侧面展开图（圆柱的侧面展开图是长方形；圆锥的侧面展开图是扇形；正方体的侧面展开图是长方形；三棱柱的侧面展开图是长方形）是解决问题的关键． 题型十六、截一个几何体 45．（24-25七年级上·全国·课后作业）用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查截一个几何体，掌握各种几何体的截面形状是正确判断的前提．根据不同几何体的截面的形状，进行判断即可． 【详解】解：球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的． 故选：B． 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面周长为，截去一个底面周长为的正三棱柱，截面的形状是 ，截后剩下的几何体的底面周长为 ． 【答案】 长方形 8 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形．根据题意可得截后剩下的几何体的底面是等腰梯形，，，进而得出截后剩下的几何体的底面周长． 【详解】解：由题可得，截面的形状为长方形； 截后剩下的几何体的底面是等腰梯形， 如图， 由题意得是周长为的等边三角形，是周长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即截后剩下的几何体的底面周长为． 故答案为：长方形；8． 47．（2025七年级上·全国·专题练习）下列几何体的截面分别是什么形状？ 【答案】长方形，三角形，圆，五边形，长方形 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了一个几何体的截面问题．理解截面的定义，通过观察平面与几何体的相交情况，准确识别截面的形状，需熟悉常见几何体（如正方体、圆锥、棱柱、圆柱等）不同截取方式下的截面特征是解题的关键．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．当截面的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形．据此求解即可． 【详解】解：由图可知： 各个几何体的截面的形状分别为长方形，三角形，圆，五边形，长方形． 题型十七、平面图形形状的识别 48．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 【答案】C 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，根据平面图形和立体图形的定义逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.球、圆柱是立体图形，故不符合题意； B.体是立体图形，故不符合题意； C.角、三角形、四边形、圆都是平面图形，故符合题意； D.正方体是立体图形，故不符合题意； 故选：C． 49．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）回顾·反思 回顾本学期学习的第四章“基本平面图形”，我们感悟了一些研究图形的基本思路和方法．在今后的学习中我们将继续研究平面图形中的三角形，基于你研究图形的认识，你觉得可以研究三角形的 、 ．（填写两个方面即可） 【答案】 边 角 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了基本平面图形，研究三角形可以从组成三角形的基本元素边、角进行研究． 【详解】解：研究平面图形中的三角形可以研究三角形的边、角，边角之间的关系等； 故答案为边；角． 题型十八、用七巧板拼图形 50．七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】此题主要考查了七巧板问题，分数的定义，解答此题的关键是要明确七块板的图形的特征．把整个图形的面积看作单位“1”，图中①号部分和②号部分的面积占整个图形面积的，图中①号部分和②号部分的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：， ∴图中①号部分的面积是正方形面积的， 故选：B． 51．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 【答案】32 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的特点是解题关键．先求出大等腰直角三角形板的边长为4，再求出大正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵七巧板中的那块小正方形的面积为4， ∴七巧板中的那块小正方形的边长为2， ∴七巧板中的那块大等腰直角三角形的边长为， ∴图中利用七巧板拼成的大正方形的面积为， ∴拼出的“灵蛇开运”图的面积是32， 故答案为：32． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 丰富的图形世界章节（10知识点回顾+18题型巩固） 目录 知识梳理 1.常见的几何体及其分类 2.棱柱的相关概念及特征 3.图形的构成及其关系 4.正方体的展开与折叠 5.棱柱的展开与折叠 6.圆柱、圆锥的展开与折叠 7.几何体的截面 8.从不同方向看几何体 9.画从三个方向看到的几何体的形状图 10.根据形状图判断几何体的形状 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、点、线、面、体四者之间的关系 六、平面图形旋转后所得的立体图形 七、从不同方向看几何体 八、几何体展开图的认识 九、由展开图计算几何体的表面积 十、由展开图计算几何体的体积 十一、正方体几种展开图的识别 十二、正方体相对两面上的字 十三、含图案的正方体的展开图 十四、求展开图上两点折叠后的距离 十五、补一个面使图形围成正方体 十六、截一个几何体 十七、平面图形形状的识别 十八、用七巧板拼图形 知识梳理 知识点1.常见的几何体及其分类 1. 立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形叫作立体图形，也叫作几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体分为三类 (1)按形状分为三类(柱体、锥体、球 ) 名称 图示 特征 联系或区别 柱体 圆柱 上、下底面是平行且相同的圆，侧面是曲面 有两个面(底面)是互相平行的且它们的形状、大小都相同 棱柱 底面侧面棱顶点 上、 下 底 面 是平行且相同的多 边 形， 侧 面是平行四边形 锥体 圆锥 只有一个底面且底面是一个圆，侧面是曲面 圆锥：有一个顶点； 棱锥：各个侧面有一个公共顶点 棱锥 底面侧面棱顶点 只有一个底面且底面是多边形， 侧 面 是 三角形 球 表面是曲面 (2)按围成几何体的面分类 (3)按有无顶点分类 图示： 知识点2.棱柱的相关概念及特征 1. 棱柱的相关概念  在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱 . 2. 棱柱的特征 (1)棱柱的所有侧棱长都相等； (2)棱柱的上、下底面的形状相同； (3)侧面的形状都是平行四边形 . 3. 棱柱的分类 (1)人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱(如图 1.1-2)……它们底面图形的形状分别为 三角形、四边形、五边形、六边形……长方体、正方体都是四棱柱 . (2) 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱 . 直棱柱的侧面是长方形 . 知识点3.图形的构成及其关系 1. 点、线、面、体的概念 体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，几何体也简称体 . 面： 包围着体的是面，面有平面和曲面两种 . 线： 面和面相交得到线，线有直线和曲线两种 . 点： 线和线相交得到点 . 2. 点、线、面、体的关系 点动成线： 笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时， 就形成线 . 线动成面： 汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面 . 面动成体： 长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周， 形成一个圆柱 . 知识点4.正方体的展开与折叠 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到 11 种不同的展开图 . 类型 图示 口诀 数量 一四一型 中间四方连，两侧各一个 6种 二三一型(或一三二型) 中间三方连，两 侧 各 有 两个、一个 3种 二二二型 中间二方连，两侧各两个 1种 三三型 两排各三个，中间成一“日” 1种 知识点5.棱柱的展开与折叠 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 . 几种常见棱柱的展开图： 名称 三棱柱 长方体 五棱柱 六棱柱 立体图形 展开图 (举例) 知识点6.圆柱、圆锥的展开与折叠 1. 圆柱的表面展开图  由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高 . 侧面展开图如图 1.2-4 ①所示， 表面展开图如图 1.2-4 ②所示. 2. 圆锥的表面展开图  由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 . 侧面展开图如图 1.2-5 ①所示， 表面展开图如图 1.2-5 ②所示. 知识点7.几何体的截面 截面  用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 . 正方体的几种截面形状 圆柱的几种截面形状 圆锥的几种截面形状 三棱柱的几种截面形状 球的截面形状 知识点8.从不同方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看 . 2. 常见的几何体从不同方向看到的形状图 从不同方向看 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 知识点9.画从三个方向看到的几何体的形状图 为了描述几何体的形状，常需要画出从正面、左面、上面看几何体的形状图，其特点如下表所示： 从不同方向看 特点 图例 从正面看 能 看 到 几 何体的长和高 看到的图形有上、下两 层， 排 成 左、 中、右三列，如右图所示 从左面看 能 看 到 几 何体的高和宽 看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示 从上面看 能 看 到 几 何体的长和宽 看到的图形有三列、两行，如右图所示 知识点10.根据形状图判断几何体的形状 1. 由形状图判断几何体形状的一般步骤 2. 由形状图判断由若干个小正方体摆成的组合体的形状的方法 (1)从正面看所得的形状图反映该组合体的左右列数(纵向)和每一列的上下层数 . (2) 从左面看所得的形状图反映该组合体的前后列数和每一列的上下层数 . (3) 从上面看所得的形状图反映该组合体的前后行数和每一行的左右列数 . 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各类球中，不属于球体的是（   ） A．羽毛球 B．篮球 C．足球 D．乒乓球 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中，属于平面图形的是 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如下图所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面的立体图形相类似的实物． 题型二、组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）（教材变式）下列几何体中，可以组成如图所示的陀螺的是（   ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 5．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是 ．      6．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 题型三、立体图形的分类 7．（2025·河南南阳·二模）分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）将下图中的几何体分类． 题型四、几何体中的点、棱、面 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的几何体是由5个面组成的，其中平面有 个，曲面有 个；面与面相交形成 条线，其中直线有 条，曲线有 条；线与线相交形成的点共有 个． 12． （25-26七年级上·全国·随堂练习）一个铁球有下列性质：铁质，坚硬，灰黑色，球形，直径为，质量约为，摸上去较凉，等等．几何研究其中的哪些性质？ 题型五、点、线、面、体四者之间的关系 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）汽车的雨刮器工作时，可用下面（　　）的数学知识点来解释 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）流星划过天空留下一道光线说明 ；风车旋转时看起来像个圆面，这说明 ． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形 16．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）图中的几何体可由平面图形旋转得到，这个平面图形是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三角形绕它的一边所在的直线旋转一周后，得到的几何体可以是图中的 （填序号）． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 题型七、从不同方向看几何体 19．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（三视图）用5个同样大小的正方体堆成一个几何体．从上面看是，则从左面看，图形的形状可能有（   ）种情况． A．2 B．3 C．4 D．5 20．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（三视图定个数）一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，搭这样的立体图形，最多需要 个小立方体． 21．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米． (1)这个几何体的体积是 ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 题型八、几何体展开图的认识 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①是一个三棱柱，若将其沿某些棱剪开成图②所示的图形，需要剪开棱的条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，分别写出下列图形是哪个几何体的展开图，并写出是表面展开图还是侧面展开图． ①         ②     ③     ④ 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，分别折叠下列图形，分别得到什么几何体？ 题型九、由展开图计算几何体的表面积 25．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 题型十、由展开图计算几何体的体积 27．（22-23七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 29．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 30．（24-25七年级上·全国·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 题型十一、正方体几种展开图的识别 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去（   ） A．1或2或3 B．3或4或5 C．4或5或6 D．1或2或6 32．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在图有编号的位置选择一个正方形，使它与图中5个有阴影的小正方形一起，能折叠成一个正方体，则可以选择的编号是 ．（只填一个编号即可） 33．（24-25七年级上·吉林·期末）小志准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图1，图2中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 题型十二、正方体相对两面上的字 34．（2025七年级上·全国·专题练习）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“考”字一面的对面上的字是 ． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）下图所示的是一个几何体的表面展开图，每个面上都标注了数字．请根据要求回答下列问题： (1)如果1在几何体的上面，那么哪个数字会在几何体的底面？ (2)如果6在前面（面向自己），从左面看是2，那么哪个数字会在上面？ (3)如果从右面看是3，而4又在后面，那么哪个数字会在上面？ 题型十三、含图案的正方体的展开图 37．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图为正方体的展开图，将标在的任意一面上，使得还原后的正方体中与是相对面，则要标在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 38．如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是 ．（填序号） 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ (1) (2) (3) 题型十四、求展开图上两点折叠后的距离 40．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 41．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    题型十五、补一个面使图形围成正方体 42．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 43．（22-23七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有 种添法． 44．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合． 题型十六、截一个几何体 45．（24-25七年级上·全国·课后作业）用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面周长为，截去一个底面周长为的正三棱柱，截面的形状是 ，截后剩下的几何体的底面周长为 ． 47．（2025七年级上·全国·专题练习）下列几何体的截面分别是什么形状？ 题型十七、平面图形形状的识别 48．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 49．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）回顾·反思 回顾本学期学习的第四章“基本平面图形”，我们感悟了一些研究图形的基本思路和方法．在今后的学习中我们将继续研究平面图形中的三角形，基于你研究图形的认识，你觉得可以研究三角形的 、 ．（填写两个方面即可） 题型十八、用七巧板拼图形 50．七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 51．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$