25.3 第1课时 实际问题与一元二次方程课件2026-2027学年人教版数学九年级上学期

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何问题，通过情景导入回顾图形面积公式，衔接已学几何知识与方程应用，搭建从具体图形到抽象方程的学习支架。 其亮点是分层设计典例，从静态几何（直角三角形、车棚问题）到动态几何（动点面积、距离问题），结合生活场景培养数学眼光、思维与语言。学生提升应用能力，教师可直接用分层例题与训练题，提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.3 第1课时 实际问题与一元二次方程 学习目标 1.探索规则几何图形的应用. 2.解决动态几何图形的应用. 重点：规则几何图形 难点：动态几何图形 情景导入 a h a a a b a h h a b r 如图，请计算下列图形的面积. S=ah S=a2 S=ab S=ah S=(a+b)h S= r2 典例解析 题型1 静态几何问题 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：设其三边长依次为x，x+1，x+2 解得x1＝3，x2＝-1（不符合题意，舍去）. 答：三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 得 典例解析 题型1 静态几何问题 例2 用一根长40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设一边长为xm，则邻边长为（20-x）m. 解得 x1＝12，x2＝8. 答：用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 得 x 针对训练 1.如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m),另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成. (1)若围成的面积为180 m2,试求出自行车车棚的长和宽; (2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 解:设AB=x m,则BC=(38-2x)m. 根据题意,得x(38-2x)=180,解得x1=10,x2=9. 当x=10时,38-2x=18; 当x=9时,38-2x=20>19,不合题意,舍去. 答:若围成的面积为180 m2,自行车车棚的长和宽分别为18 m,10 m. 针对训练 1.如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m),另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成. (2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 解:不能,理由如下: 设AB=y m.根据题意,得y(38-2y)=200, 整理,得y2-19y+100=0. ∵Δ=b2-4ac=361-400=-39<0, ∴此方程没有实数根. 答：不能围成面积为200 m2的自行车车棚. 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（1）如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 20 32 x x 解： 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 设道路的宽为 x m. 则 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（2）在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. x 20-x 32-x 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（3）在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 20 32 x 2x 20-x 解：设道路的宽为 x m，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 答：道路的宽为 (18 - ) m. 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（4）在宽为 20 m，长为 32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 1，x2= 25(舍去). 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（5）在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？ （列出方程即可） 32 cm 20 cm 2x 3x 解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m，2x m， (32 − 4x)(20 − 6x) = ×20×32. 典例解析 题型2 动态几何问题 例4 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s的速度移动,同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s的速度移动.试问: (1)几秒后,△PBQ 的面积等于4 cm2? 解:设点P运动x s后,△PBQ的面积等于4 cm2, 则PB=(5-x)cm,BQ=2x cm. 根据题意,得(5-x)×2x=4,即x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4. 当x=4 时,2x=8>7,不合题意,舍去. ∴1 s后,△PBQ的面积等于4 cm2. 典例解析 题型2 动态几何问题 例4 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s的速度移动,同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s的速度移动.试问: (2)几秒后,PQ 的长度等于5 cm? 解:设点P运动t s后,PQ的长度等于5 cm, 则PB=(5-t)cm,BQ=2t cm. 在Rt△PBQ中,由勾股定理,得PB2+BQ2=PQ2, 即(5-t)2+(2t)2=52,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴2 s后,PQ的长度等于5 cm. 针对训练 2.如图,A,B,C,D 为矩形的四个顶点,AB =16 cm,AD =6 cm,动点P,Q 分别从点A,C 同时出发,点P 以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B 为止,点Q 以2 cm/s的速度向点D 移动.(当点P 停止运动时,点Q 也随之停止) (1)P,Q 两点从开始出发到几秒时,四边形PBCQ 的面积为33 cm2? 解:(1)设P,Q两点从开始出发到x s时,四边形PBCQ 的面积为33 cm2,则PB=(16-3x)cm,QC=2x cm. 根据梯形的面积公式,得 (2x+16-3x)×6=33,解得x=5. 答:P,Q两点从开始出发到5 s时,四边形PBCQ的面积为33 cm2. 针对训练 2.如图,A,B,C,D 为矩形的四个顶点,AB =16 cm,AD =6 cm,动点P,Q 分别从点A,C 同时出发,点P 以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B 为止,点Q 以2 cm/s的速度向点D 移动.(当点P 停止运动时,点Q 也随之停止) (2)P,Q 两点从开始出发到几秒时,点P 和点Q 之间的距离是10 cm? 解:设P,Q两点从开始出发到t s时 如图,过点Q作QE⊥AB于点E, 则QE=AD=6 cm,PQ=10 cm. ∵AP=3t cm,BE=CQ=2t cm, ∴PE==cm. 由勾股定理,得PE2+QE2=PQ2, 即(16-5t)2+62=102,解得t1=1.6,t2=4.8. 答:P,Q两点从开始出发到1.6 s或4.8 s时,点P和点Q之间的距离是10 cm. 归纳总结 几何图形问题与 一元二次方程 几何图形 运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系 类 型 围墙鸡场问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移聚零 为整，方便列方程 动点面积问题 作业布置 课堂作业:P24习题25.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $