25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，核心内容为几何周长面积、动点等问题的建模求解。课堂导入通过复习解一元二次方程的四种方法及“审设列解验答”步骤，搭建知识支架，帮助学生从已有方程知识过渡到实际问题应用。 其亮点在于采用一题多设元对比（如矩形问题常规设元、对称设元等）培养抽象能力与推理意识，通过完整解题流程强化模型意识，结合直角三角形边长判定、动点面积计算等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，提升代数建模与逻辑推理能力，教师可借助结构化内容高效实施素养导向教学。

第二十五章 一元二次方程 第1课时 初中数学人教版九年级上册 01 分析几何周长面积问题的等量关系，列一元二次方程求解，检验舍去不符合实际意义的根. 02 掌握一题多设元思路，对比设元优劣，利用判别式判断实际问题方案是否存在. 03 经历审题建模、求解验根完整流程，提升代数建模、几何转化与逻辑推理能力. 04 感受方程解决现实问题的实用价值，养成严谨验算的解题习惯，体会分类取舍、求真务实的数学理性精神. 我们已经学习了哪些解一元二次方程的方法？这些方法的关键思想或注意事项是什么？ 直接开平方法(平方根的意义) 配方法(配一次项系数一半的平方) 公式法(先比较Δ与0的大小) 因式分解法(提公因式、完全平方公式、平方差公式) 列方程解应用题的基本步骤有哪些? 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系. 设：设未知数. 列：根据等量关系列出方程. 解：解方程. 验：检验解在实际问题中是否有意义. 答：写出实际问题的答案. 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 1 活动一：探究一元二次方程解决几何边长判定问题 等量关系：直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，则a，b，c之间的数量关系为a2+b2=c2. 未知量：直角三角形的三条边长. 设未知数：设较小直角边x，较大直角边x+1，斜边x+2. 列方程：x2 +(x+1)2 = (x+2)2 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 1 建立模型 若存在，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 活动一：探究一元二次方程解决几何边长判定问题 x x+1 x+2 求解与结论 解方程，得x1=3，x2= -1(不符合题意，舍去). 结论：存在且只有一个这样的三角形，其三边长分别为 3，4，5. 应用勾股定理 x2 +(x+1)2 = (x+2)2 x x+1 x+2 设三个连续正整数中间的数为x ，能列出怎样的方程？ 设定边长 设其三边长依次为 x-1，x，x+1 活动一：探究一元二次方程解决几何边长判定问题 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 列出方程(勾股定理) x2 +(x-1)2 = (x+1)2 解方程 整理得：x2-4x=0 解方程，得 x1=4， x2=0(不符合题意，舍去). 利用一元二次方程解决几何边长判定问题的技巧总结： 设元技巧：不能直接设元时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程. 等量关系：直角三角形问题必须明确斜边是最长边，避免将直角边和斜边混淆. 根的检验技巧：几何问题中，边长、长度等物理量必须为正数，所有负根一律舍去. 一般三角形存在性问题按需验证三边关系. 活动一：探究一元二次方程解决几何边长判定问题 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 2 活动二：探究一元二次方程解决矩形周长面积类问题 长×宽=面积=96m² x m (20–x) m 假设细绳能围成面积为 96 m2 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 活动二：探究一元二次方程解决矩形周长面积类问题 设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为 96 m2 ，得 x(20-x) = 96. 解方程，得： x1=12，x2=8 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 方程两根为长、宽互换，对应同一个矩形. 2 活动二：探究利用一元二次方程解决几何图形问题 除了刚才的设法，我们还有其他设未知数的方法吗？ 1 2 你能根据以上设未知数的方法列方程求解吗？ 活动二：探究利用一元二次方程解决几何图形问题 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 从面积出发 活动二：探究利用一元二次方程解决几何图形问题 设矩形的一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10-x) m. 根据题意，得 (10+x)(10-x) =96. 整理方程得： 100-x2 =96. 解方程，得 x1=2，x2= - 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10-2=8m； 当 x=-2 时，边长为10-2=8m，10+2=12m. 因此，用一根长为 40m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 从对称性出发 2 这几种设法有什么不同？哪种设法解方程更简便？为什么？ 活动二：探究利用一元二次方程解决几何图形问题 1 2 3 活动二：探究利用一元二次方程解决几何图形问题 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)审：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系. (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异. (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即一元二次方程. (4)解：求出所列方程的解. (5)验：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义. (6)答：根据题意，选择合理的答案作答. 例题1 数字问题设元技巧： (1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为 x-2， x+2. (2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a+b. (3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示为100a+10b+c. 例题2 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点 A 开始沿边AB向终点 B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒． (1) 用含 t 的式子表示△ PBQ 的面积； 当运动时间为 t 秒时，根据点 P ， Q 的运动方向及运动速度，可用含 t 的代数式表示出各线段的长度，从而表示△ PBQ 的面积. A B C P Q 例题2 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点 A 开始沿边AB向终点 B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒． (1) 用含 t 的式子表示△ PBQ 的面积； A B C P Q 例题2 (2) 是否存在 t 的值，使得△PBQ的面积等于4 cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由． (2) 由(1) 可得S△ PBQ=-t2+5t=4 整理得：t2-5t+4=0. 解得t1=1 ，t2=4 ∵0≤t≤3，∴t2=4不符合题意，舍去. 答：当t=1时，△PBQ的面积等于4 cm2． A B C P Q 解决几何图形中动点问题的方法： (1)审清题意：明确动点的起点、终点、路线和速度等； (2)表示：用含有时间 t 的式子正确表示有关线段的长度； (3)列出方程：根据题目中给出的等量关系(多为图形的面积)列出方程； (4)求解：解出方程并进行验证，舍去不合题意的根. 解：设矩形的一边长为 x m，邻边长为 (20-x) m. 当矩形面积为 75 m2 时，x(20-x)=75， 解方程，得x1=15，x2=5 因此，矩形区域的两邻边长分别为5m，15m时，矩形区域的面积为75m2. 1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域?能围成一个面积为 101m2 的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域?能围成一个面积为 101m2 的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设矩形的一边长为 x m，其邻边长为 (20-x) m. 当矩形面积为 101 m2 时，x(20-x)=101， 方程化为 x2-20x+101=0. ∵Δ=b2-4ac=(-20)2-4×1×101=-4<0，∴方程无实数根. 因此，用一根长为40m的细绳不能围成一个面积为101m2的矩形区域. 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角. 解：设AE=x(0<x<4)，则BE=4-x， 在Rt△AED和Rt△BCE中， 由勾股定理，得： DE2=12+x2，CE2=12+(4-x)2. 若△DEC为直角，则： DE2+CE2=CD2， ∴ 1+x2+1+(4-x)2=42. 解方程，得： A B D C 4 1 E x 4-x 定长线段围矩形的面积规律探究 现有总长 48m 细绳，探究两个问题： 能否围成面积 135m2的矩形，写出两种不同设元方法完整解题过程； 尝试猜想该细绳围成矩形的最大面积，借助一元二次方程判别式分析说理. 完整书写审题、设元、列方程、解方程、验根步骤，规范作答. 对比两种设元列式的繁琐程度，简单写下你的设元心得. 条理清晰写出面积最大值推理过程. 任务 要求 1 2 3 1 2 $