第04讲 有理数的加减法 复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数的加减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、运算律（交换律、结合律）、运算技巧（相反数先算等）、减法法则及混合运算步骤，构建从基础法则到综合应用的学习支架。 资料通过多样化题型（如实际气温计算、游客人数统计）培养数学眼光，以运算技巧训练提升运算能力与推理意识，结合生活实例强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后查缺补漏与作业助力学生巩固，实用性强。

第04讲：有理数的加减法 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、有理数的加法法则 1. ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ⑵异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ⑶一个数同0相加，仍得这个数． 知识点二、运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变；即：． 2. 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即：． 知识点三、运算技巧 运算技巧 举例 1. 相反数先运算． 例如，． 2. 同符号的数先结合． 例如， 3. 同分母先运算． 例如，． 4. 小数化为分数． 例如，． 5. 分数化为小数． 例如，． 6. 带分数化为假分数． 例如，． 7. 小数凑整． 例如，． 知识点四、有理数的减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数；即：． 知识点五、有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转换为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 三、常考的题型 考点一、有理数加法运算 1．下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【详解】解：∵ 两数之和为，其中一个加数为， ∴ 另一个数为， 观察四个选项，只有选项B符合题意． 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据有理数加法法则，异号两数相加时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可得解． 本题主要考查了有理数加法法则，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键． 【详解】解：∵ 3 和 符号不同，且， ∴ 结果取负号，并计算 ， ∴． 故选：D． 3．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）首先利用有理数加法运算律将原式转变为，然后根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)－2 (2)－10 (3)4 (4)5 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（）先将分数化为小数，再按照交换律和结合律变换为[－（1.5＋8.5）＋（4.25＋3.75）]，然后按照有理数加法法则计算即可； （2）先将分数化为小数，再按照交换律和结合律变换为[－（2.4-0.4）－（4.7+3.3）]，然后按照有理数加减混合运算法则计算即可； （3）先按照交换律和结合律变换为，然后按照有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先按照交换律、结合律以及有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ＝－1.5＋4.25＋3.75－8.5 ＝－（1.5＋8.5）＋（4.25＋3.75） ＝－10＋8 ＝－2； （2）解：原式 ＝－2.4－4.7＋0.4－3.3 ＝－（2.4-0.4）－（4.7+3.3） ＝－2－8 ＝－10； （3）解：原式 ＝10－6 ＝4； （4）解：原式 ＝3＋2 ＝5． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算以及化简绝对值，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键． 考点二、有理数的加法中的符号问题 5．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、有理数加法中的符号问题 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 6．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数加法运算、有理数加法中的符号问题 【详解】解：由数轴可得， ∴． 7．将写成省略加号后的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查有理数的加减运算，通过将减法转化为加法并省略加号来简化表达式，关键点是理解负负得正，以及减去一个数等于加上它的相反数． 【详解】解：， 故选：B． 8．把写成统一成加法的形式是　 ，写成省略加号的和形式　 ，读作：　 ，或　 ． 【答案】，，的和，或负2减4加8加1． 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：++得+，--得+，-+得-，+-得- 【详解】统一成加法的形式是， 省略加号的和形式， 读作：，或负2减4加8加1． 故答案为，，的和，或负2减4加8加1． 【点睛】正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 9．下列省略加号 和括号的形式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】根据有理数加减法的关系判断即可． 【详解】解： 故选B． 【点睛】此题考查的是改写有理数的加法运算，掌握有理数加减法的关系是解决此题的关键． 考点三、有理数加法运算律 10．下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算律 【分析】利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键． 11．下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 12．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数加法交换律进行解答即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数加法交换律，熟练掌握相关运算律是解本题的关键． 13．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】根据有理数加法的交换律，结合律，有理数的加法法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． 考点四、有理数的减法运算 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【详解】解：A. ，此选项错误； B. ，此选项正确； C. ，此选项错误； D. ，此选项错误． 16．计算的结果是（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关键．根据减法法则计算即可． 【详解】解： 故选：B． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的减法运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 考点五、有理数加减法的实际应用 20．某地区去年冬季某天最高气温为6 ℃，最低气温为℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低_______℃． 【答案】9 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】直接用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴该地区这天的最低气温比最高气温低9℃， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 21．九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（    ） A．95分 B．90分 C．85分 D．75分 【答案】D 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法，整数和负数的定义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量，以及有理数的加法法则．根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：（分）， 故选：D． 22．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“__________站台”． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】分点在点的左侧和右侧，求出点表示的数即可． 【详解】解：∵A、B站台分别位于，处， ∴， ∵， ∴当点在点的左侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故P站台用类似电影的方法可称为或6站台． 23．某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 【答案】(1) 队员 A B C D E F 身高 179 182 180 174 183 182 身高与平均身高的差 0 (2)E最高，D最矮 (3) 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【详解】（1）解：B身高：；C身高：；D身高与平均身高的差：；E身高：；F身高与平均身高的差：， 填表略； （2）解：， 故E最高，D最矮； （3）解： 答：最高与最矮的队员身高相差． 24．在刚刚过去的国庆假期中，全国高速公路免费通行，各地景区游人如织．在沂州古城售票处，月1日的游客人数约为5万人，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）. 日期 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 人数变化（万人） (1)与月2日相比，月6日的客流量是___________（填“上升”或是“下降”）了，变化量是___________万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是月___________日，达到___________万人．游客人数最少的是月___________日，达到___________万人． (3)请问沂州古城景区在这七天内一共接待了多少游客？ 【答案】(1)下降；． (2)3；6；7；． (3)万人 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正数和负数，有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键， （1）分别求出月2日和月6日的客流量，比较即可得到答案； （2）根据月1日至7日每天的游客人数并找出最大值，最小值及对应的日期即可； （3）求出月1日至7日每天的游客人数之和即可． 【详解】（1）解：∵月1日的游客人数约为：5万人， ∴月2日的游客人数约为：万人， 月3日的游客人数约为：万人， 月4日的游客人数约为：万人， 月5日的游客人数约为：万人， 月6日的游客人数约为：万人， 月7日的游客人数约为：万人， ∵万人， ∴与月2日相比，月6日的客流量是下降的，下降了万人． 故答案为：下降；． （2）解：由（1）知： 七天假期里，游客人数最多的是月3日，达到6万人．游客人数最少的是月7日，达到万人． 故答案为：3；6；7；． （3）解：由（1）得：（万人）， 答：沂州古城景区在这七天内一共接待了游客万人． 考点六、有理数的加减法混合计算与简便运算 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 26．计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）小题采用裂项相消法，将每个分数拆分为两个单位分数之差，中间项相互抵消后简化运算； （2）小题采用凑1拆分法，把每个真分数写成1减去一个单位分数，再结合等比数列裂项抵消计算剩余分数和． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： = = = = = = =． 28．计算： (1)； (2) 【答案】(1)21 (2)5055 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】（1）把代分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加； （2）把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，计算分数部分的和时，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】（1）解：方法： ； 方法2： ； （2）解： ． 考点七、有理数加减法混合计算的应用 29．某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（长度单位：）为：．收工时，检修小组在A地的哪一边？距离A地多远？ 【答案】 收工时，检修小组在地东侧，距离地 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】将所有行驶记录求和，根据和的符号判断方向，和的绝对值为距地的距离． 【详解】解： （千米）， ∵， ∴收工时，检修小组在地东侧，距离地， 答：收工时，检修小组在地东侧，距离地． 30．振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】质量最多相差就是质量最重的－质量最轻的．千克的意思是大米的标准重量是25千克，但是或有轻微的误差，即最轻是（千克），最重就是（千克）．则这三种品牌的大米最重比25千克多0.3千克，最轻比25千克少0.3千克．最多相差0.6千克． 【详解】解： （千克） 即这两袋米的质量最多相差0.6千克． 31．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】5台分给四家且每家至少1台，仅一家分2台，比较各经销商第二台的利润增量即可得到结果；7台按分配经销商数量分类，计算各情况最大总利润后比较得到最终最大值； 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台. 计算各经销商第二台的利润增量： A的增量：万元 B的增量：万元 C的增量：万元 D的增量：万元 应向经销商分配2台设备； 按分配经销商的数量分类计算最大总利润： 当分配给1家经销商时：最大利润为D分配7台，总利润为万元； 当分配给2家经销商时：最大利润为A分配1台加D分配6台，总利润为万元； 当分配给3家经销商时：最大利润为A分配1台，B分配2台，D分配4台，总台数和为，总利润为万元； 当分配给4家经销商时：四家各分1台，剩余3台选增量最大的3个，总利润为万元； 比较得，因此总利润最大值为万元； 32．十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了千米 (2)第四个动作是下降，下降千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （１）计算即可求解； （２）计算第四个动作是下降，下降千米即可求解； 【详解】（1）解： ∴此时这架飞机比起飞点高了千米 （2）解： ∴第四个动作是下降，下降千米 33．一天，小明在足球场上练习来回跑，从球门的位置出发，向东走记作正数，向西走记作负数，他的记录如下（单位：米） ． (1)小明距离原来的位置多远？在出发地的东边还是西边？ (2)小明离开球门的位置最远是多少米？ (3)小明一共走了多少路程？ 【答案】(1)小明距离原来的位置1米，在出发地的西边 (2)米 (3)米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可作答； （2）算出每次小明离开球门的位置，即可判断； （3）计算即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴小明距离原来的位置1米，在出发地的西边 （2）解：∵，，， ，，， ∴小明离开球门的位置最远是米 （3）解：∵， ∴小明一共走了米的路程 34．如图，一页账单有一部分破损了，该账单记录了2023年5月26日至2023年9月6日支出数、存入数及结余数情况，存入记为正，支出记为负，请根据账单中的信息完成下列问题． (1)该页账单中9月6日的结余数与5月26日的结余数相比，是变多还是变少了？为什么； (2)请根据该页账单中的残余数字计算8月12日的结余数． 【答案】(1) 变多了，理由如下： 因为， 所以变多了． (2)8月12日的结余数是2120 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）算出6月12日至9月6日支出或存入的代数和即可； （2）把6月26日的结余数加上6月12日至8月12日支出或存入的钱数即可． 【详解】（1）略 （2） ， 答：8月12日的结余数是2120． 四、查缺补漏 1．下列计算正确的是(   ) A．（+6）+（-13）=+7 B．（+6）+（-13）=-19 C．（+6）+（-13）=-7 D．（-5）+（-3）=8 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】依据有理数的加法法则判断即可． 【详解】A. (＋6)＋(＋13)=+（6+13）=＋19，故A错误； B. (－6)＋(＋13)=+（13-6）=+7，故B错误； C. (＋6)＋(－13)=-（13-6）=－7，故 C正确； D. (－5)＋(－3)=-（5+3）=-8，故D错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 2．应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．.加法交换律和加法结合律 【答案】D 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】先根据加法的交换律，加法的结合律等知识点进行判断，即可得出答案． 【详解】根据题意得，，用了加法的交换律与结合律， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，解题的关键在于掌握加法的交换律和结合律． 3．若，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，解题的关键是理解题意；因此此题可直接代值进行求解即可 【详解】解：当，，时， ， 故选：D． 4．一天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是_______． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】根据题意结合有理数的加减法进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得这天夜间的气温是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加减的实际应用，读懂题意，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 5．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (2)若|a|＝5，|b|＝2.5，|c|＝7.5，求a+b﹣c的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）利用相反数的定义得出a，b，c相反数的位置； （2）根据|a|＝5，|b|＝2.5，|c|＝7.5结合数轴上三个点的位置，得出a，b，c的值，再代入代数式，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵|a|＝5，|b|＝2.5，|c|＝7.5，，，， ∴a＝﹣5，b＝2.5，c＝7.5， ∴a+b﹣c ＝﹣5+2.5﹣7.5 ＝﹣10 【点睛】本题主要考查了数轴以及相反数的定义，正确利用数形结合得出a，b，c的符号，是解题关键． 6．计算： （1）（－）＋（－）－（－4.8）－0.6     （2）（－2.4）＋（－3.7）＋（－4.6）＋5.7 【答案】（1）3；（2）－5． 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）将分数化为小数，再去括号进行加、减混合运算即可． （2）去括号进行加、减混合运算即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加、减混合运算，注意加、减法中的符号变化是重点． 7．计算下列各题： ①     ② ③     ④ ⑤     ⑥ ⑦     ⑧ 【答案】①8；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧0 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ． 8．在我市创建“卫生城市”过程中，某天市交警大队的一辆警车在东西方向的街上巡视，警车从某广场A处出发，规定向东方向为正，当天行驶纪录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)最后警车是否回到广场A处？若没有，在广场A处何方？距广场A处多远？ (2)若警车行驶1千米耗油0.2升，出发时油箱中有油8升，问在当天巡视中，油箱中的油够不够？若不够，途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)没有；西方；5千米 (2)不够；4.6升 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）将各数相加即可确定警车所在的方向及距离； （2）将所有路程相加，然后乘以每千米油耗，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）没有，（千米）． 答：警车在广场A的西方，距广场A处5千米处． （2）（千米）， （升） （升）． 答：途中还需补充4.6升． 【点睛】题目主要考查正负数的意义及有理数的加减运算及乘法运算的应用，理解题意是解题关键． 五、课后作业 1．下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 【答案】D 【知识点】正负数的定义、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】解：A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数，说法错误，如，故本选项不合题意； B．两个有理数的差一定小于它们的和，说法错误，如，，故本选项不合题意； C．减去一个负数，差大于被减数，故本选项不合题意； D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 2．月球表面白昼平均温度为，夜晚平均温度为，则月球表面昼夜温差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法、正数和负数，熟练掌握用有理数的加减法解决实际问题是解题的关键，温差为最高气温减去最低气温，由此计算即可． 【详解】解：， 即月球表面昼夜温差为， 故选：D． 3．下列各组运算结果符号为负的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据有理数加法和忒覅覅毛将焉附他还不买各式的结果后再进行判断即可． 【详解】解：，是负数； ，既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 所以，结果为负数的有2个， 故选：B． 4．大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，由题意知，每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，则由第三行可得“梦”表示的数，由第一行可得“中”“国”两字表示的数之和，最后求得结果． 【详解】解：由于一条对角线的数分别为，则其和为，第三行“梦”表示的数为，第一行“中”“国”两字表示的数之和为，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是； 故选：B． 5．大于－4且不大于4的所有整数的和是_______． 【答案】4 【知识点】有理数加法运算 【分析】找出大于－4且不大于4的所有整数，相加即可得到结果． 【详解】解：大于－4且不大于4的整数包括：±3，±2，±1，0，4 故大于－4且不大于4的所有整数的和为：2-2+3-3+1-1+0+4=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的加法计算，还涉及到了有理数大小的比较，将指定范围内的有理数求和． 6．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）运用加法交换律与结合律计算即可； （4）运用加法交换律与结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 (5)20 (6) 【知识点】有理数加法运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加； （2）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加； （3）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （4）运用加法交换律和结合律计算即可． （5）运用加法交换律和结合律计算即可． （6）运用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） （3） （4） ； （5） ； （6） 8．一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【答案】(1)2.73，1.78 (2)蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 9．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：-1，+9，-5，+4，-8． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油0.2升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车司机在公司的西方，距离公司1千米 (2)共需32.4元油费 (3)该司机这天下午运营是盈利，盈利了35.6元 【知识点】正负数的实际应用、求一个数的绝对值、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）根据计算出总的里程数，乘以每千米耗油及油价即可求解； （3）根据收费标准计算出乘客所给的总车费即可求解； 【详解】（1）解：（千米）． 答：出租车司机在公司的西方，距离公司1千米． （2）解：（千米）， （元）． 答：共需32.4元油费． （3）解：根据题意，因为，所以第一单营业额元， 因为，所以第二单营业额元， 因为，所以第三单营业额元， 因为，所以第四单营业额元， 因为，所以第五单营业额元， 总营业额为元， 所以总收入元． 该司机这天下午运营是盈利，盈利了35.6元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：有理数的加减法 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、有理数的加法法则 1. ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ⑵异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ⑶一个数同0相加，仍得这个数． 知识点二、运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变；即：． 2. 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即：． 知识点三、运算技巧 运算技巧 举例 1. 相反数先运算． 例如，． 2. 同符号的数先结合． 例如， 3. 同分母先运算． 例如，． 4. 小数化为分数． 例如，． 5. 分数化为小数． 例如，． 6. 带分数化为假分数． 例如，． 7. 小数凑整． 例如，． 知识点四、有理数的减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数；即：． 知识点五、有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转换为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 三、常考的题型 考点一、有理数加法运算 1．下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二、有理数的加法中的符号问题 5．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 6．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 7．将写成省略加号后的形式是（   ） A． B． C． D． 8．把写成统一成加法的形式是　 ，写成省略加号的和形式　 ，读作：　 ，或　 ． 9．下列省略加号 和括号的形式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三、有理数加法运算律 10．下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 11．下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 12．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 13．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 考点四、有理数的减法运算 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 16．计算的结果是（    ） A．6 B．4 C． D． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点五、有理数加减法的实际应用 20．某地区去年冬季某天最高气温为6 ℃，最低气温为℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低_______℃． 21．九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（    ） A．95分 B．90分 C．85分 D．75分 22．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“__________站台”． 23．某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 24．在刚刚过去的国庆假期中，全国高速公路免费通行，各地景区游人如织．在沂州古城售票处，月1日的游客人数约为5万人，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）. 日期 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 人数变化（万人） (1)与月2日相比，月6日的客流量是___________（填“上升”或是“下降”）了，变化量是___________万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是月___________日，达到___________万人．游客人数最少的是月___________日，达到___________万人． (3)请问沂州古城景区在这七天内一共接待了多少游客？ 考点六、有理数的加减法混合计算与简便运算 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．简便计算： (1)； (2) 28．计算： (1)； (2) 考点七、有理数加减法混合计算的应用 29．某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（长度单位：）为：．收工时，检修小组在A地的哪一边？距离A地多远？ 30．振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 31．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 32．十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 33．一天，小明在足球场上练习来回跑，从球门的位置出发，向东走记作正数，向西走记作负数，他的记录如下（单位：米） ． (1)小明距离原来的位置多远？在出发地的东边还是西边？ (2)小明离开球门的位置最远是多少米？ (3)小明一共走了多少路程？ 34．如图，一页账单有一部分破损了，该账单记录了2023年5月26日至2023年9月6日支出数、存入数及结余数情况，存入记为正，支出记为负，请根据账单中的信息完成下列问题． (1)该页账单中9月6日的结余数与5月26日的结余数相比，是变多还是变少了？为什么； (2)请根据该页账单中的残余数字计算8月12日的结余数． 四、查缺补漏 1．下列计算正确的是(   ) A．（+6）+（-13）=+7 B．（+6）+（-13）=-19 C．（+6）+（-13）=-7 D．（-5）+（-3）=8 2．应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．.加法交换律和加法结合律 3．若，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．一天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是_______． 5．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (2)若|a|＝5，|b|＝2.5，|c|＝7.5，求a+b﹣c的值． 6．计算： （1）（－）＋（－）－（－4.8）－0.6     （2）（－2.4）＋（－3.7）＋（－4.6）＋5.7 7．计算下列各题： ①     ② ③     ④ 8．在我市创建“卫生城市”过程中，某天市交警大队的一辆警车在东西方向的街上巡视，警车从某广场A处出发，规定向东方向为正，当天行驶纪录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)最后警车是否回到广场A处？若没有，在广场A处何方？距广场A处多远？ (2)若警车行驶1千米耗油0.2升，出发时油箱中有油8升，问在当天巡视中，油箱中的油够不够？若不够，途中还需补充多少升油？ 五、课后作业 1．下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 2．月球表面白昼平均温度为，夜晚平均温度为，则月球表面昼夜温差为（    ） A． B． C． D． 3．下列各组运算结果符号为负的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 5．大于－4且不大于4的所有整数的和是_______． 6．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 8．一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 9．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：-1，+9，-5，+4，-8． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油0.2升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 学科网（北京）股份有限公司 $