微专题 基本不等式13大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-方法应用-拓展延伸”为主线，系统构建基本不等式从基础到综合的解题方法体系，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式理解及变形|3题|梳理两个不等式内容及等号条件，总结常见变形|从代数定义到几何解释，建立概念直观| |证明不等式|3题|运用作差法、不等式性质及变形公式|强化逻辑推理，巩固不等式基本性质| |求最值（直接/配凑/分式等8类）|每类3-5题|提炼“一正二定三相等”核心条件，总结配凑、常数代换等8种模型|从简单应用到复杂情境，逐步提升转化能力| |恒成立/实际问题/拓展不等式|每类3-4题|归纳恒成立问题转化策略，拓展权方和、柯西不等式应用|衔接实际与拓展内容，培养数学应用意识|

微专题 基本不等式 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 规律与方法 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 2.基本不等式的常见变形 (1). (2). 1.（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 3.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用基本不等式证明不等式】 规律与方法 1.基本不等式的常见变形 (1). (2). 2.比较大小方法：作差法、不等式性质 1.（25-26高一上·青海·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 3.（25-26高一上·四川·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【题型3 直接法求最值】 规律与方法（条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值） 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 常见模型：，当且仅当时等号成立； 1.（25-26高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 2.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 3.（25-26高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 4.（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【题型4 配凑法求最值】 规律与方法 利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 1，模型一：，当且仅当时等号成 立； 2.模型二：，当且仅当时 等号成立. 1.（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 2已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3.函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 分式求最值】 规律与方法 分式求最值，主要是同除x（或者换元法），转化为下面的模型. 模型1： 当且仅当时等号成立 模型2：，当且仅当时等号成立 1.若，则的最小值是 . 2．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 3.（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 4.（25-26高一上·河南·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 常数代换法求最值】 规律与方法 常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 1.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 2.（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4.已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型7 换元法求最值】 规律与方法 通过换元法（一般是把分母看成m、n）把问题转化为常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 1.（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2.（24-25高一上·广东河源·月考）已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 3.（25-26高一上·山西临汾·月考）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4.（25-26高一上·福建宁德·月考）若，且，则的最小值为 . 【题型8 消元法求最值】 规律与方法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 1.（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 2.已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4.设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【题型9 和积共存求最值】 规律与方法 1.和积共存问题，求谁留谁，最后构造不等式。 2.万能k值法：求谁设谁为k,构造一元二次不等式，考虑判别式和韦达定理。 1.若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 2.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 3．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【题型10 基本不等式的恒成立、有解问题】 规律与方法 1.恒成立问题：a>f(x)，x∈D恒成立⇔a>f(x)max；a<f(x)，x∈D恒成立⇔a<f(x)min. 2.有解问题：a>f(x)，x∈D恒成立⇔a>f(x)min；a<f(x)，x∈D恒成立⇔a<f(x)max 1.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【题型11 利用基本不等式解决实际问题】 规律与方法 实际问题转化为基本不等式问题 1.一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 2.（2026·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 3.一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【题型12 权方和不等式】 规律与方法 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 2．（25-26高一上·江苏·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 3．已知正数，，满足，则的最小值为 【题型13 柯西不等式】 规律与方法 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 1．已知x2＋y2＝10，则3x＋4y的最大值为 ． 2．已知则的最大值为 3.若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 4．存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 基本不等式 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 规律与方法 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 2.基本不等式的常见变形 (1). (2). 1.（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据重要不等式和基本不等式可选出答案. 【解答过程】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立 当时不成立， 故选：D. 2.如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 3.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得． 【解答过程】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【题型2 利用基本不等式证明不等式】 规律与方法 1.基本不等式的常见变形 (1). (2). 2.比较大小方法：作差法、不等式性质 1.（25-26高一上·青海·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 2.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【解题思路】对分别应用基本不等式求解即可. 【解答过程】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 3.（25-26高一上·四川·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【题型3 直接法求最值】 规律与方法（条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值） 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 常见模型：，当且仅当时等号成立； 1.（25-26高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.则的最小值是.故选：D. 2.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为6，故选：A. 3.（25-26高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为2，故选：D. 4.（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 5．已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等，所以的最大值为.故答案为： 【题型4 配凑法求最值】 规律与方法 利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 1，模型一：，当且仅当时等号成 立； 2.模型二：，当且仅当时 等号成立. 1.（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【解题思路】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：C． 2（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】变形应用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得，又， 当且仅当，即时等号成立.故选：A. 3.（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得最值. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立，综上所述的最大值为，故选：D. 【题型5 分式求最值】 规律与方法 分式求最值，主要是同除x（或者换元法），转化为下面的模型. 模型1： 当且仅当时等号成立 模型2：，当且仅当时等号成立 1.若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 3.（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 4.（25-26高一上·河南·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【题型6 常数代换法求最值】 规律与方法 常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 1.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 2.（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 3.（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 4.（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 【题型7 换元法求最值】 规律与方法 通过换元法（一般是把分母看成m、n）把问题转化为常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 1.（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 2.（24-25高一上·广东河源·月考）已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值25． 故选：B. 3.（25-26高一上·山西临汾·月考）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】， 由得， 所以，当且仅当时，即时取到等号， 故，最小值为5， 故选：B 4.（25-26高一上·福建宁德·月考）若，且，则的最小值为 . 【答案】31 【分析】由“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为得， 所以 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【题型8 消元法求最值】 规律与方法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 1.（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【解答过程】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为.故选：D. 2.已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A. 3.（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式可得最值. 【解答过程】根据题意，，可得，则， 设，则，原式为，当且仅当时等号成立，故选：C. 4.设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值. 【详解】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 【题型9 和积共存求最值】 规律与方法 1.和积共存问题，求谁留谁，最后构造不等式。 2.万能k值法：求谁设谁为k,构造一元二次不等式，考虑判别式和韦达定理。 1.若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【解题思路】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【解答过程】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得 ，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即，所以的取值范围为. 2.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 3．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【题型10 基本不等式的恒成立、有解问题】 规律与方法 1.恒成立问题：a>f(x)，x∈D恒成立⇔a>f(x)max；a<f(x)，x∈D恒成立⇔a<f(x)min. 2.有解问题：a>f(x)，x∈D恒成立⇔a>f(x)min；a<f(x)，x∈D恒成立⇔a<f(x)max 1.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解答过程】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需，故选：B. 2.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则，所以 ，当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 3.已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 【题型11 利用基本不等式解决实际问题】 规律与方法 实际问题转化为基本不等式问题 1.一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 【答案】C 【详解】设天平左、右两臂长分别为，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理有，则．由于，且，故．因此，即顾客实际所得黄金大于10克． 2.（2026·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【解题思路】求出，利用基本不等式可得答案. 【解答过程】由可知，且，故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选：A. 3.一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 【题型12 权方和不等式】 规律与方法 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式 2．（25-26高一上·江苏·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 3．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 【题型13 柯西不等式】 规律与方法 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 1．已知x2＋y2＝10，则3x＋4y的最大值为 ． 【答案】5. 【解析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3y＝4x时等号成立， ∴25×10≥(3x＋4y)2， 即 ∴(3x＋4y)max＝5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题. 2．已知则的最大值为 【答案】 【分析】三维柯西不等式的直接应用，凑形式即可. 【详解】由柯西不等式， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3.若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 4．存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【分析】运用柯西不等式计算即可. 【详解】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $