重难点专题03 基本不等式求最值及其他应用（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“方法链+变式网”构建基本不等式应用体系，聚焦求最值核心方法，通过分层提炼技巧培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式链求最值|2+2变式|直接应用不等式链，配凑常数/系数转化定值|从不等式链概念到变形配凑，构建“形式识别-条件转化-取等验证”逻辑| |双勾型求最值|3+4变式|双勾函数直接应用，配凑常数/系数及二次商式分离|结合函数性质，建立“标准模型-配凑变形-范围分析”思维链| |常数“1”的替换|5+5变式|乘整体代换、分式整式配凑、换元法/方程组法|从直接代换到复杂变形，形成“定值构造-式子拆分-变量统一”方法体系| |其他应用|5+5变式|条件求值、恒成立问题、比较大小、证明及实际应用|拓展基本不等式工具性，实现“数学语言表达现实问题”的应用迁移|

重难点专题03基本不等式求最值及其他应用 题型概览 不等式链球 重难点一不等式链求最值直接应用 最值及变形 重难点二基于不等式链的变形配凑 重难点一双勾型求最值直接应用 双勾型求最 值及变形 重难点二配凑变形： 直接配凑常数、系数 基本不等式求最值及其他应 重难点三配凑变形：二次商式型 重难点一直接应用：2种类型 重难点二变形一：有和有积无常数 常数1的替 换求最值及 重难点三变形二：直接配凑常数、系数 变形 重难点四变形三：分式的分母和为定值 重难点五变形四：换元法、方程组法配凑变形 重难点一条件求值：有和有积有常数 重难点二 利用基本不等式求解恒成立问题 基本不等式 的其他应用 重难点三利用基本不等式比较大小 重难点四利用基本不等式证明不等式 重难点五基本不等式在实际应用题中的应用 重点强化 【不等式链求最值及变形】 【重难点一不等式链求最值直接应用】 啸方法 利用不等式链求最值 2 a2+b2 2 ≥ b 1.不等式链： 第1页 平方和 算术 几何 调和 2.使用方法：当题目中出现对应形式时，可以直接应用不等式链中的关系求解。 关键是：确定两部分分别是谁（技巧是以符号为分割） 【注意】取等的条件 1.(多选)已知正实数a,b满足a+b=2,则() A.ab≤1 B.Va+Vb≤2C.a2+b2≤2 1+11 D. a b 【变式】已知正实数2a+3b2=V6,则ab的最大值为 2.(多选)已知正实数a,b满足a+2b=2,则 ①ab有最值为 ②a2+4b有最值为 ③2°+4有最值为 第2页 【变式】（多选）已知正实数a,b满足2a+b=8,则() A.ab的最大值为8 B.4a+b的最小值为32 12 4 C.。+的最小值为3 D,而+侣的发大做27 【重难点二不等式链的变形配凑：配凑常数、系数】 ©啸方法基于不等式链的变形配类 1.当不满足标准不等式链的式子特征，当在对应部分简单变形即可转化为不等式链求解 2.常用： 0E类花统，知0*8化为01+8-1 a+1 ②配类系数，如x2-3x化为号3x2-3x刘 【关键】观察两部分的和或积如何配凑能变为定值 3.已知0<X<号求y=x1-3x的最大值及x的值， 第3页 【变式】已知a>0,b>0,2a+b=4,则(a+1)(b+2)的最大值为() A.16 B.8 C.4 D.2V2 4.已知a>b>0,则a+8+1 a+b a-b 的最小值为 【线】已o-0.6-0.a>2b.则和+a26Z万的最小为 第4页 重点强化 【双勾型求最值及变形】 【重难点一双勾型求最值直接应用】 啸方法 双勾型函数求最值（两种基础模型) 1.双勾型函数与基本不等式的关系（直接结论) +≥2ax5-2y0bar>0,br>0） 6 b ax= x= 基本不等式 x 当且仅当 x时取到最小值，即 时，y=2Vab 。即双勾函数顶点的纵坐标为基本不等式取得的最值，横坐标为取得最值时的取等条 癸 2.双勾型函数的图象与性质 a-:totl 当范围不满足【「了 时，则根据函数思想，利用函数图象和性质确定最值 5.(多选)下列命题中正确的是() A.当x≥1时，X+1≥2 B.当x<0时，X+1≤-2 X X c.当0<x1时，收+2 D.当xe2,收+2吃 【变式】函数y=1+2X+8的最小值是（) A.7 B.-7 C.9 D.-9 第5页 6.(多选)下列不等式正确的有() A.若x∈R:则函数y=X+4+1的最小值为2 x2+4 B.函数y=1-2x-3(x<0)最小值为1+26 C.当x>-1,x+1 21 X+1 D.y=X+4(0<X<1)最小值等于4 X 【变式】（多选）下列说法正确的是() A.X+1(x>0的最小值是2 B.X2+5的最小值是2 7x2+4 2X(x<0)的最小值是-1D.若x>0,则2-3x-4的最大值是2-43 C.x+x+1 X 第6页 7.(多选)下列选项正确的是() A.若a>0,则a+二的最小值为2 B.若x∈R则X+2+}的最小值为2 x2+2 C.若ab<0,则+ 刘b+9的最大值为-2 a b D.若正实数X,y满足x+2y=1,则2+L的最小值为8 x y 【变式】（多选）下列不等式中正确的是() A.当x>0时，Vx+≥2 B.当x≥2时，x+1的最小值为2 X b+022 C.当a>0,b>0时， a b D.a2+b2≥4ab 第7页 【重难点二双勾型的配凑变形：直接配凌常数、系数】 方法双勾型的配凑变形：直接配凑常数、系数 b 1.适用情况：形如ax+ X+的最值求解，先变形为标准的双勾型，再求解最值 2.变形配凑方法： ①关键：整式部分与分式的分母部分相乘时可以抵消 ②配凑方法：常常配凑整式部分的常数和系数 8.(多选)下列结论中，所有正确的结论是() A.当x>1时，x+元22 B.当x<0时，X+上的最大值是-2 X 8当x-3时y=x+x十3的最小值为-1 D.当x<三时，y=4x-2+1的最大值是1 4 4x-5 【变式】(1)若x>1,则函数y=2x+8 的最小值为； -1 第8页 (2)当x3 时，求函数y=x+2X。3的最大值 【重难点三双勾型的配凌变形：二次商式型】 啸方法 双勾型的配凑变形：二次商式型 1.,适用情况：形如QX+bx+ 的最值求解，先变形为标准的双勾型，再求解最值 mx+n 2.二次商式的变形方法： ①分离常数法 ②“大除法”：特殊值确定一个因式，再类比数的出发进行除 9.当x>-1时，则y=X+2x+3 的最小值是■ X+1 【变式】已知x>1,则3-5x+5的最小值为() x-1 A.4 B.5 C.6 D.7 第9页 10当x之0时，函数y的最小值为(） A.23B.23-1C.23+1D.4 【变式】当x>-1时，求函数y=X+2x+3的最大值一： x2+1 1.函数y2x+4的最小值为一 x+3 第10页 【变式】(1)当x3时，求函数y=44X-3的最大值： 2 4x2+1 (2)求函数v=+1的最大值： y= 3x2+4 量点强化 【常数“1”的替换求最值及变形】 【重难点一常数“1”的替换：直接应用(2种思路)】 熔 方法 常数“1”的替换 1.适用情况：形如“已知x+y=t(t为常数)，求xy的最值”的问题 2.两种思路方法： + b x+y ①乘整体：将xy转化为x y/ t ，再用基本不等式求最值。 ②将式子中的常数用条件的式子整体代换 12.若x>0,y>0,且+1-1，则4x+y的最小值为（) Xy A.2+2V3 B.3+2/2 C.5 D.9 第11页 【变式】已知a>0,b>0,且a+2b=5,则2+ 的最小值为() a b P 7 c. D. 【变式2】已知正数a,b满足2a+名-1，则8+b的最小值为(） a A.17 B.21 c.25 D.29 13.已知x>0,y>0.且4+-1，则2x+y+2X的最小值为() Xy y A.12 B.13 c.17 D.19 第12页 14.已知正数m、n满足4m+6n=1,则二+2m的最小值为《) m n A.2+43B.4+43 C.7+43 D.7+2V3 【变式】已知a>0,b>0且a+b=1,则 7a+9 的最小值是() ab A.49 B.51 C.53 D.55 【重难点二有和有积无常数】 方法常数“1”的替换变形式：有和有积无常数 1.适用情况：当两部分均为整式，并且其中一个为形如x+y=y的式子（和与乘积在同一个式子中） 2.变形方法：每一项同时除以乘积，将整式变成分式，进而转化为常数“1”替换的标准形式 15.已知x>0,y>0,且x+2y-2y=0,则x+2y的最小值是() A.4 B.5 C.6 D.7 第13页 【变式】若正数x,y满足x+y=y,则x+12y+1的最小值是() A.8+4V3B.8+2V6 C.15 D.8+2V3 16.已知a>0,b>0,且ab-2b+1=0,则日+9b的最小值是() A.4 B.6 C.7 D.8 【变式】设a>0,b>0,且4+9=a,则2a+b的最小值为() A.8 B.6+4V2 C.10 D.9+4V2 第14页 【重难点三直接配凑常数、系数】 ©味方佐常教“1”的替换变形式：直接配凑常数、系数 1.适用情况：当分式的分母与整式部分不一致，整式与分式相乘时没法抵消得到定值时 2.变形方法：通常是配凑整式的系数或常数，使得与分式的分母一致，有时也会利用分式的性质， 将分式的分子分母同时扩大或缩小相同倍数 17.已知a>0,b>0,若a+b=2,则，4+，的最小值为() 1+a1+b A.2 D.2+92 【线式1已知正实数a,6线是a+4h=2,测，2+7的数小伯为() 9 A.1 C.8 D.2 18.已知x>0,y>0,x+y=2,则+上的最小值为《) 4x+1y C.2 D.1 第15页 【重难点四分式分母和为定值】 啸方法 常数“1”的替换变形式：直接配凑常数、系数 1.适用情况：题目中的分式只有一个字母，没有单独再给定值的式子，但分式的分母和为定值 2.变形方法：根据分式的分母特点，可构造一个定值式子，再与分式相乘 19.已知x∈0,4，则fx=1+1的最小值为() X 4-X C.1 D.4 【变式】已知函数f(x=三+，160<x<4,则函数f(x的最小值为一此时x x4-5x 【重难点五复杂分式利用换元法、方程组法配凑变形】 ©妹方法常数“1”的替换变形式：复杂分式换元法、方程组法 1.适用情况：题目中的分式与整式，特征不明显，不能快速确定两者关系 2.变形方法： ①换元法：令分式的分母分别为m,,解出原字母，再代回整式，从而确定定值 ②方程组法：将整式配凑成分式的分母部分的组合，利用相同字母的系数相等，求解出系数，从而 第16页 实现配凑 20.函数f(x)=1 2 +15-2x (1<x的最小值是C) B97 c.g D. 6 【安式】-2x学则4x4授小恒为《) 4 B.5 D.5V2 2L.若x0,y>0,X+1+x+2=1,则3x+y的最小值为(】 A.2+5 B.2V5 C.4+2V5 D.2 【变式1】设m,n为正数，且m+n=2,则2m+3+3n+?的最小值为 m+1n+2 第17页 5m+2n-12 【变式2】已知m>2.n>1,且m+2n=5,则m-2n-的最小值为 22.若实数a,b满足ab>0,a+2b=6,则下列结论中错误的是() 9 A.ab B.a2+4b2≥18 。.日+号的最小值为 9 D件a他 9 第18页 度】E加，为正实数.且2+y-2.则22+的绿为《) A.4 B.3+2V3 C.6 D.3+22 重点强化 【基本不等式的其他应用】 【重难点一条件求值：有和有积有常数】 ©味方法条件求值：有和有积有常数 1.适用情况：形如x+y+xy=C(C非零常数)的式子 2.常用方法： ①求式子中的和或积（系数可成倍变化）：求谁，另一部分留一边，再利用不等式链建立不等关 系，再代入、换元求解想求的部分 ②其他式子（不满足①）：可尝试将已知式子进行因式分解，看是否能化成乘积的形式，再利用不 等式链求解：或者消元，将要求式子转化为一个字母的函数，利用函数思想求值域 23.(多选)已知a>0,b>0,a+b2-ab=2,则() A.ab≤2 B.a2+b2≥4 c.a+b≤2V2 D.1+1s2 a b 第19页 24.(多选)已知a,b为正实数，且ab+2a+b=16,则() A.Qb的最大值为8 B.2a+b的最小值为8 6V2-1 D。品中7的最个道为受 2 Cb+g。的最小值为10 【变式】（多选）已知正实数a,b满足ab+a+b=8,下列说法正确的是() A.ab的最大值为4 B.a+b的最小值为6 C.a+2b的最小值为6V2-3 D.ab++方的最小值为号 。1 第20页 【重难点二利用基本不等式求解恒成立问题】 啸方法 利用基本不等式求解恒成立问题 利用基本不等式求解恒成立问题，通常是进行参变分离，再利用基本不等式求解最值的方法求解最 值 25.若正实数X,y满足X+y=3,且不等式+8m-1+4恒成立，则实数m的取值范围是 x y 【变】已知不等式x+是2x+上。对于任意的x0收立.则正实数。的及大植为《） A.10 B.9 c.4V2+5 D.22+5 26.设a>0,b>0,且3a+4b=1,若abt≤3a+b恒成立，则实数t的最大值为 第21页 【变式】已知m>0,n>0,且m+3n=2.若关于m,n的不等式3m2+4m+12n≥2mn+5n恒成 立，则实数入的取值范围为() A.-0,35+4 B.-0,35+6C.-0,65+4D. -0,V65+6 【重难三利用基本不等式比较大小】 啸方法 利用基本不等式比较大小 1比较大小的常用方法 ①做差法②做商法 2利用基本不等式比较大小 作差（或作商）后，根据式子的特点，利用不等式链中的大小关系，确定所求式子的大小关系 第22页 27.已知x>y>0,则下列不等式成立的是() A.X>X+y>y>/灯 B.x>y>X+y>xy 2 2 C.x>xy>xy 2 D.生，wy 【变式】已知实数a,b满足ab>0,则() A.a+b<ab b+a>2 B. a b c.若a>b,则上s是 a b D.若a<b,m>0,则2<a+m(b+m≠0 bb+m 28.己知0<a<b,a+b=1,则5b,a2+6的大小关系是（) 4是04bb R是b<a+8ca2+b<b2 D.无法确定 第23页 【重难点四利用基本不等式证明不等式】 城 方法 利用基本不等式证明不等式 1适用情况：当题目出现“正数+和与积互化”、倒数结构、轮换对称等特征式，可以考虑利用基 本等式进行证明 2.常用： a2+b2 2 11 2 ≥ ≥ ≥a十6 (当且仅当a=b时全部取等号) ①（二元）不等式链 2 a2+b2+c2≥ ≥≥ (当且仅当a=b=c时全部取等 ②推广：三元不等式链 11,1 十 a b c 号) 【注意】检验取等条件 29.已知a>0,b>0,证明：2ab≤/ab: a+b" 第24页 【变式】对任意实数x>1,y>1.求证： 30.己知a、b、c均为正实数 (1)证明：a+b+c≥V2ab+V2bc: 2)证明a+b+c≥abc并求y=2x+15x>21的最小值 3 x-22 【变式】已知a>0,b>0,c>0 (1)此较a3+b3与ab+ab2大小： 2证明：1++之2+2+2 a b ca+bb+cc+a 第25页 31.关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完 全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变 形)可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：正实数X,y,满足x+y=1,求+4的最小值.求解本问思的方法很多，其中一种求 X y 解方法是：1+4=x+y +4=5++4x≥5+2.4x=9当且仅当义=4x即y=2x且 x y x y x y x y X+y1时.即x=子y号时等号成立。 2 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： 1 ()正数a,b满足a+b=1,求。十6的最小值： 2已知a,b,c均为正实数，且上++L-1,求证：a+b+c≥9： a b c (3)已知abx'y 等若=1求a2-6sx-y 均为正实数，且x_y_ 第26页 【变式】已知X,y,2都是正数，且4+9=1，求证：X+y+2公36. xyZ 【重难点五基本不等式在实际应用题中的应用】 ©煤方法 基本不等式在实际应用题中的应用 1常见类型： ①用料最少（造价最低）→求和的最小值 ②面积/容积/利润最大→求积的最大值 2解题思路及方法： ①思路步骤：审题设元→列约束条件+目标函数→消元得一元函数 ②求值最值的技巧 1)若能配凑出和定/积定，且等号点∈定义域→基本不等式求解 等号取不到/无法凑定值/变量仅限整数→换方法：对勾函数单调性/二次函数) 2) 32.完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为64m的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱 笆的长度是多少？ 第27页 (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大 面积是多少？ 【变式】某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面 使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为Q米，侧面长为b米 (1)若a,b满足a+b=ab,求a+4b的最小值？ (2)己知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造 价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 第28页 33.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层.某建筑物准备建造可使用25年的隔热层， 每厘米厚的隔热层建造成本为5万元.已知该建筑物每年的能源损耗费用C(单位：万元)与隔热 层厚度X(单位：厘米)满足关系CX=一k0≤X≤10.若不建隔热层时，每年能源损耗费用为 5x+3 3万元.记隔热层建造费用与25年的能源损耗费用之和为fx(单位：万元)· (1)求fx的表达式： (2)当x为多少时，fx取最小值？ 第29页 【变式】第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉 祥物以中华白海豚为原型、分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象因其配色被网友亲切地戏 称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥 物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入a万元.现根据市场行情，该工厂代加 x2+x,0<x≤10， 工x万件玩偶，可获得fx万元的代加工费，且fx= 已知该代工厂 4x- 900+160,10<x≤50. X 代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润y(单位：万元)关于代加工量x(单位：万件)的函数解析 式 (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值 第30页 34.某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无 创呼吸机，需要投入成本y(单位：万元)与年产量x(单位：百台)的函数关系式为 5x2+150x,0≤x<20 y= 301x+640-1700,x≥20 据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外 疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完。 (1)求年利润t(单位：万元)关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）： (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 第31页 【变式】2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生 产x(张)(x∈N,30≤x≤100)办公桌需另投入成本y(元)，且 2x2+2760x-50000,30≤x≤65 y= 9160x+300000-7500,66≤x≤100 由市场调研知，每张办公桌售价3000元，且每月生产 3 x+1 的办公桌当月能全部销售完， (1)求出每月销售这种办公桌的利润s(元)关于月产量x(张)的函数关系式（利润=销售额一成 本)； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 第32页 第33页 重难点专题03 基本不等式求最值及其他应用 【不等式链求最值及变形】 【重难点一 不等式链求最值直接应用】 利用不等式链求最值 1.不等式链： ≥ ≥ ≥ 平方和 算术 几何 调和 2.使用方法：当题目中出现对应形式时，可以直接应用不等式链中的关系求解。 关键是：确定两部分分别是谁（技巧是以符号为分割） 【注意】取等的条件 1．（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 【变式】已知正实数，则ab的最大值为________． 【答案】0.5/. 【分析】利用基本不等式计算即可得解. 【详解】因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为. 故答案为：. 2．（多选）已知正实数a，b满足，则 ①有最 值为 ②有最 值为 ③有最 值为 【答案】① ②2 ③4 【分析】结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项. 【详解】 对于①：由基本不等式得，代入得，化简得， 当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确； 对于②：由不等式，代入得， 当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确； 对于③：， 当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误. 【变式】（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 【重难点二 不等式链的变形配凑：配凑常数、系数】 基于不等式链的变形配凑 1. 当不满足标准不等式链的式子特征，当在对应部分简单变形即可转化为不等式链求解 2. 常用： ①配凑常数，如化为 ②配凑系数，如化为 【关键】观察两部分的和或积如何配凑能变为定值 3．已知，求的最大值及的值； 【答案】，； 【分析】由，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 【变式】已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 4．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 【变式】已知，，且，则的最小值为 【答案】 【分析】将拆分成，再利用基本不等式即可判断 【详解】对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 【双勾型求最值及变形】 【重难点一 双勾型求最值直接应用】 双勾型函数求最值（两种基础模型） 1.双勾型函数与基本不等式的关系（直接结论） 基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，。即双勾函数顶点的纵坐标为基本不等式取得的最值，横坐标为取得最值时的取等条件 2. 双勾型函数的图象与性质 当范围不满足时，则根据函数思想，利用函数图象和性质确定最值 5．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．当1时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABCD 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可判断ACD；对B选项，需变换，才能使用基本不等式判断. 【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，故A正确； B中，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以成立，故B正确； C中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，而，所以成立，故C正确； D中，因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以成立，故D正确； 故选：ABCD 【变式】函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 6．（多选）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 【变式】（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 令，则且，因为在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD． 7．（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. 【变式】（多选）下列不等式中正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】对于A，用换元法和基本不等式判断即可；对于B，利用对勾函数的性质判断即可；对于C，利用基本不等式判断即可；对于D，用作差法，通过判断差的符号即可. 【详解】解：对于A，因为，所以，令， 则有 ，当时，即，也即时，等号成立，故正确； 对于B，因为，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以，即的最小值为，故错误； 对于C，因为，所以，所以，当， 即时，等号成立，故正确； 对于D，因为，因为不能确定差的符号，所以不能确定与的大小关系，故错误. 故选：AC. 【重难点二 双勾型的配凑变形：直接配凑常数、系数】 双勾型的配凑变形：直接配凑常数、系数 1. 适用情况：形如的最值求解，先变形为标准的双勾型，再求解最值 2. 变形配凑方法： ①关键：整式部分与分式的分母部分相乘时可以抵消 ②配凑方法：常常配凑整式部分的常数和系数 8．（多选）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时的最小值为 D．当时，的最大值是 【答案】ABCD 【分析】根据基本不等式求最值，需验证“一正，二定，三相等”，即可判断选项. 【详解】A. 当时，，当时等号成立，但，故等号不成立，所以，故A正确； B. 当时，，当，得（1舍去）时等等号成立，故B正确； C. 当时，，，当时，即（舍去）等号成立，故C正确； D. 当时，， ， 当，即（舍去）时，等号成立，故D正确. 故选：ABCD 【变式】（1）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. （2） 当时，求函数的最大值； 【答案】（2）； 【分析】（2）将函数变形为，利用基本不等式求解； 【详解】（2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. 【重难点三 双勾型的配凑变形：二次商式型】 双勾型的配凑变形：二次商式型 1.适用情况：形如的最值求解，先变形为标准的双勾型，再求解最值 2.二次商式的变形方法： ①分离常数法 ②“大除法”：特殊值确定一个因式，再类比数的出发进行除 9．当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 【变式】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 10．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 【变式】当时，求函数的最大值 ； 【答案】; 【分析】将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； 【详解】， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. 11．函数的最小值为 ； 【答案】 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于②, ，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 【变式】（1）当时，求函数的最大值； （2）求函数的最大值； 【答案】（1）1；（2）. 【分析】 （1）利用换元法，以及基本不等式求解；（2）利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】 （1）令，因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为1. （2）令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. 【常数“1”的替换求最值及变形】 【重难点一 常数“1”的替换：直接应用（2种思路）】 常数“1”的替换 1.适用情况：形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题 2.两种思路方法： ①乘整体：将转化为，再用基本不等式求最值. ②将式子中的常数用条件的式子整体代换 12．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 【变式】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 【变式2】已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 13．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 14．已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求解即可. 【详解】因为正数、满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：B. 【变式】已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 【重难点二 有和有积无常数】 常数“1”的替换变形式：有和有积无常数 1.适用情况：当两部分均为整式，并且其中一个为形如x+y=xy的式子（和与乘积在同一个式子中） 2.变形方法：每一项同时除以乘积，将整式变成分式，进而转化为常数“1”替换的标准形式 15．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 【变式】若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 16．已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 【变式】设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】由可得，然后由基本不等式1的妙用可得答案. 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 【重难点三 直接配凑常数、系数】 常数“1”的替换变形式：直接配凑常数、系数 1.适用情况：当分式的分母与整式部分不一致，整式与分式相乘时没法抵消得到定值时 2.变形方法：通常是配凑整式的系数或常数，使得与分式的分母一致，有时也会利用分式的性质，将分式的分子分母同时扩大或缩小相同倍数 17．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【变式】已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 18．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 【重难点四 分式分母和为定值】 常数“1”的替换变形式：直接配凑常数、系数 1.适用情况：题目中的分式只有一个字母，没有单独再给定值的式子，但分式的分母和为定值 2.变形方法：根据分式的分母特点，可构造一个定值式子，再与分式相乘 19．已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【变式】已知函数，则函数的最小值为_______，此时_______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为 ， 当且仅当，即或(舍去)时等号成立. 所以函数的最小值为，此时. 【重难点五 复杂分式利用换元法、方程组法配凑变形】 常数“1”的替换变形式：复杂分式换元法、方程组法 1.适用情况：题目中的分式与整式，特征不明显，不能快速确定两者关系 2.变形方法： ①换元法：令分式的分母分别为m,n,解出原字母，再代回整式，从而确定定值 ②方程组法：将整式配凑成分式的分母部分的组合，利用相同字母的系数相等，求解出系数，从而实现配凑 20．函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B 【变式】已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 21．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【变式1】设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 【变式2】已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】将原式子化简后，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 22．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 【变式】已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先将分式进行化简，然后利用基本不等式的1的妙用求最小值. 【详解】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 【基本不等式的其他应用】 【重难点一 条件求值：有和有积有常数】 条件求值：有和有积有常数 1.适用情况：形如x+y+xy=C（C非零常数）的式子 2.常用方法： ①求式子中的和或积（系数可成倍变化）：求谁，另一部分留一边，再利用不等式链建立不等关系，再代入、换元求解想求的部分 ②其他式子（不满足①）：可尝试将已知式子进行因式分解，看是否能化成乘积的形式，再利用不等式链求解；或者消元，将要求式子转化为一个字母的函数，利用函数思想求值域 23．（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 【答案】AC 【分析】本题考查基本不等式的应用，结合已知等式变形后代入基本不等式，或通过特值法逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由基本不等式得，代入已知， 可得，移项得，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由，结合得； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故不成立，B错误； 选项C：，结合得， 又，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得， 解得，此时，故D错误. 24．（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对A，直接使用基本不等式，构造出关于的基本不等式，解出即可即可判断；对BC，用表示出，从而减少变量，再结合基本不等式即可判断；对D，直接使用基本不等式，再整体代入即可判断. 【详解】对A，因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为8，A正确； 对B，由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； 对C，，结合，解得，则， ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时取等号，即时等号成立， 此时取得最小值，D错误． 故选：ABC. 【变式】（多选）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D， ， 当且仅当时取得等号，故D正确． 【重难点二 利用基本不等式求解恒成立问题】 利用基本不等式求解恒成立问题 利用基本不等式求解恒成立问题，通常是进行参变分离，再利用基本不等式求解最值的方法求解最值 25．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式】已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 26．设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】27 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 【变式】已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 【重难三 利用基本不等式比较大小】 利用基本不等式比较大小 1.比较大小的常用方法 ①做差法 ②做商法 2.利用基本不等式比较大小 作差（或作商）后，根据式子的特点，利用不等式链中的大小关系，确定所求式子的大小关系 27．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 【变式】已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对AD选项用特殊值验证可得，对B选项可用基本不等式可得，对C选项用作差比较法判断可得. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C：因且，所以，即，故C正确； 对于D：若，则，故D错误. 故选：C 28．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 【重难点四 利用基本不等式证明不等式】 利用基本不等式证明不等式 1.适用情况：当题目出现“正数 + 和与积互化”、倒数结构、轮换对称等特征式，可以考虑利用基本等式进行证明 2.常用： ①（二元）不等式链 ≥ ≥ ≥ （当且仅当a=b时全部取等号） ②推广：三元不等式链 ≥ ≥ ≥ （当且仅当a=b=c时全部取等号） 【注意】检验取等条件 29．已知，，证明：； 【答案】见解析 【分析】结合基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. 【变式】对任意实数，.求证： 【答案】证明见解析 【来源】新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一年级第一学期数学竞赛（二试） 第二次期末水平测评 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 30．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明：由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 【变式】已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 31．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解； （2）根据“1”的变形技巧，可得，利用基本不等式证明即可； （3）根据“1”的变形技巧，可得，化简后由基本不等式证明即可. 【详解】（1）, 当且仅当即且时，即时等号成立. （2），当且仅当即且时，即时等号成立. 故可得. （3） ， 当且仅当且时，即时等号成立. 故可得. 【变式】已知都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】，且，      ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 【重难点五 基本不等式在实际应用题中的应用】 基本不等式在实际应用题中的应用 1.常见类型： ①用料最少（造价最低）→ 求和的最小值 ②面积 / 容积 / 利润最大 → 求积的最大值 2.解题思路及方法： ①思路步骤：审题设元 → 列约束条件 + 目标函数 → 消元得一元函数 ②求值最值的技巧 1）若能配凑出和定 / 积定，且等号点∈定义域 → 基本不等式求解 2）等号取不到 / 无法凑定值 / 变量仅限整数 → 换方法：对勾函数单调性 / 二次函数） 32．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【变式】某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，求的最小值？ (2)已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9. (2)当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元. 【分析】（1）将条件变形为，再对使用“乘1法”并结合基本不等式求解； （2）由题意得到总造价，利用题设条件和基本不等式即可求解. 【详解】（1）因且，两边同除以，可得， ， ，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为9. （2）由题意，，设总造价为， 则 由解得，即当时，上式等号成立， 所以当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元. 33．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某建筑物准备建造可使用25年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为5万元．已知该建筑物每年的能源损耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系．若不建隔热层时，每年能源损耗费用为3万元．记隔热层建造费用与25年的能源损耗费用之和为（单位：万元）． (1)求的表达式； (2)当为多少时，取最小值？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得，解得，再根据题意表示出即可； （2）运用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，解得，故， 则； （2）由（1）可知，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此当厘米时，取最小值万元. 【变式】第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 34．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)8000台，1040万元 【分析】（1）分别求出和时的解析式，即可得到年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式； （2）分别求出和时的最大值，比较大小，即可得到最大年利润. 【详解】（1）当时，； 当时，. 所以. （2）当时，， 故当时，t取得最大值，为625， 当时，因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即当时，t取得最大值，为1040， 综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元. 【变式】2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 【答案】(1)； (2)当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 【分析】（1）分且和且两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【详解】（1）当且时， ， 当且时， ， 综上，； （2）当且时， ， 当时，取得最大值，最大值为； 当且时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $