第二十五讲 抛物线及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线及其标准方程，引导学生从几何情境抽象抛物线定义，类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程推导其方程，构建圆锥曲线知识体系的学习支架。 资料通过易错汇总精准规避定义理解等认知误区，题型归纳覆盖定义应用、最值模型等核心考点，结合定义转化与轨迹推导培养数学抽象与逻辑推理能力，助力学生深化理解并提升用数学语言表达几何关系的能力。

第二十五讲 抛物线及其标准方程 【学习目标】1.能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义； 2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程． 【学习重点】抛物线的定义及其标准方程． 【学习难点】抛物线几何特征的发现． 必掌握知识点 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 三 易错汇总 1.抛物线定义大坑：到定点距离等于到定直线距离，定点如果在这条定直线上，轨迹是直线，不是抛物线。 2.参数：是焦点到准线的距离；焦点坐标是，不要直接写成。 3.焦半径：，；开口方向改变，公式要重新推导，不要死记。 4.焦点弦：弦长，不要漏掉；只适合。 5.方程辨析：，同时存在、两项，不可能是抛物线。抛物线只有一项平方，一项一次。 6.求轨迹：斜率条件求轨迹，记得挖去斜率不存在的点；相关点法注意变量取值范围。 7.直线与抛物线一个交点两种情况 ：切线； 二次项系数等于 0：直线平行对称轴，相交，不是切线。 8.应用题：优先顶点在原点建系；读懂实物数据，区分深度、口径；看清题目安全余量。 9.距离最值：抛物线 + 圆综合，求，先算抛物线上点到圆心距离，再加减半径，不是到原点 必考题型全归纳： 题型一、抛物线定义、标准方程与基本几何量 1．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 题型二、抛物线的最值模型（定义转化距离，高频小题） 5．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三、焦点弦问题（过焦点的直线交抛物线两点） 9．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 11（多选）．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（     ） A． B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程为 D． 题型四、轨迹方程（定义法、代入法、斜率条件求轨迹） 12．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13．设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 14．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 题型五、圆锥曲线区分（椭圆、双曲线、抛物线方程辨析，多选高频） 16．已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C不可能表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 17．曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 18（多选）．已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 巩固提升： 1．已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 5．已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 6．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9   7．已知抛物线的焦点为，点是上异于原点的一点，，则（    ） A． B．4 C．5 D．8 8．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 9．已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 10．抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 11．抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 12．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 14．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 15．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 17．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 18．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 19（多选）．若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 20（多选）．．已知抛物线，点在上，与轴交于，两点，则（   ） A．直线是的切线 B．的半径为6 C．直线与有两个交点 D．截轴所得的弦长为4 21（多选）已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 22（多选）．．设为实数，则曲线可能是（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 23（多选）．．已知方程，则下列结论正确的是（   ） A．方程C表示椭圆的充要条件是 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．方程C不可能表示抛物线 24（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 25．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 26．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 27．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 28．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 29．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 30．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 31．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 32．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 33．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 34．已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 35．若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 36．抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 37．已知抛物线上有一点到准线距离为4，则点到x轴的距离为__________． 38．抛物线与焦点之间的距离为____________． 39．已知点在抛物线上，O为坐标原点，则________； 40．已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五讲 抛物线及其标准方程 【学习目标】1.能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义； 2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程． 【学习重点】抛物线的定义及其标准方程． 【学习难点】抛物线几何特征的发现． 必掌握知识点 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 三 易错汇总 1.抛物线定义大坑：到定点距离等于到定直线距离，定点如果在这条定直线上，轨迹是直线，不是抛物线。 2.参数：是焦点到准线的距离；焦点坐标是，不要直接写成。 3.焦半径：，；开口方向改变，公式要重新推导，不要死记。 4.焦点弦：弦长，不要漏掉；只适合。 5.方程辨析：，同时存在、两项，不可能是抛物线。抛物线只有一项平方，一项一次。 6.求轨迹：斜率条件求轨迹，记得挖去斜率不存在的点；相关点法注意变量取值范围。 7.直线与抛物线一个交点两种情况 ：切线； 二次项系数等于 0：直线平行对称轴，相交，不是切线。 8.应用题：优先顶点在原点建系；读懂实物数据，区分深度、口径；看清题目安全余量。 9.距离最值：抛物线 + 圆综合，求，先算抛物线上点到圆心距离，再加减半径，不是到原点 必考题型全归纳： 题型一、抛物线定义、标准方程与基本几何量 1.抛物线第一定义：平面内，到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）距离的点的轨迹。 重要前提：定点不能在定直线上；若定点落在定直线上，轨迹是一条直线，不是抛物线。 2.焦半径公式：抛物线上任一点到焦点距离 = 该点到准线距离。 以为例：点，焦半径。 3.求抛物线方程常用方法： ①定义法：识别 “到定点距离 = 到定直线距离”； ②待定系数法：分清开口方向，代入点求参数； ③相关点法（代入法）：求动点轨迹，利用已知曲线上点做中间变量代换。 易错点 1.忽略定义前提：定点在定直线上，轨迹是直线，不是抛物线（第 7、9 题）； 2.的含义：是焦点到准线距离，不是焦点到原点距离，错把当成； 3.不看开口方向，直接套用，焦点、准线符号出错； 4.焦半径公式死记硬背，不结合开口方向； 5.轨迹求解，没有识别定点在直线上，误判为抛物线。 1．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 2．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 3．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 4．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 题型二、抛物线的最值模型（定义转化距离，高频小题） 核心思想：利用抛物线定义，把焦半径等价替换为点到准线的垂线段距离，实现距离转化，再结合两点之间线段最短求最值。 常见题型： 1.型：换成到准线距离，过作准线垂线，垂线与抛物线交点即为取等号位置； 2.，抛物线 + 圆综合：圆上动点最值，转化为抛物线上动点到圆心距离，再加减半径； 3.中点到坐标轴最小距离：利用梯形中位线，焦半径之和转化纵坐标 / 横坐标之和； 4.切线长最小值：勾股定理，切线长，转化抛物线上点到圆心距离的最小值。 易错点 1.距离转化后，忽略等号成立条件：垂线必须和抛物线有交点； 2.抛物线与圆综合最值，错误用到原点距离，应当计算到圆心距离再加减半径； 3.求中点到坐标轴距离，忘记梯形中位线性质，暴力联立计算，增大计算量； 4.到轴距离：，注意，所以，这个变形经常考。 5．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 6．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 7．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 8．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 题型三、焦点弦问题（过焦点的直线交抛物线两点） 1.设抛物线，过焦点直线交抛物线 焦半径： 焦点弦总长： 重要结论：联立后韦达定理恒有 ，； 3.过焦点倾斜角：； 4.中点弦：点差法处理中点，求出中点坐标、直线斜率。 易错点 1.焦点弦长公式记错，写成，漏掉； 2.韦达结论只适用于，开口改变，结论要重新推导，不能直接照搬； 3.设直线可以规避斜率不存在讨论，很多同学只设漏掉垂直 x 轴情况。 9．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 11（多选）．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（     ） A． B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程为 D． 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式和中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；由，在直线上及中点坐标公式得到，从而得到，利用抛物线的定义求出，从而得到，判断D正确. 【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线的方程为，抛物线准线方程为，故B错误； 则，． 又是的中点，则，所以， 即，所以直线的方程为．故C正确； ，在直线上，，， ，， ，， ．故D正确. 故选：ACD． 题型四、轨迹方程（定义法、代入法、斜率条件求轨迹） 知识点详解 1. 定义法：题干出现 “点到定点距离等于到定直线距离”，优先用抛物线定义写方程；注意检验定点是否在定直线上。 2. 代入法（相关点法）：一个点在已知曲线上，另一个动点和它有中点、倍数向量关系，把已知点坐标用动点表示，代入原曲线。 3. 斜率条件求轨迹：利用列式化简；要剔除斜率不存在对应的点，挖去无效点。 4. 动圆轨迹：动圆和定圆相切 + 和定直线相切，转化距离等式，识别抛物线定义。 本模块易错点 1.斜率条件求轨迹，忘记剔除使斜率不存在的点，轨迹多了无效点； 2.动圆相切，分不清外切、内切，距离等式写错； 3.不检验定点是否在定直线，把直线轨迹错写成抛物线。 12．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 13．设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 14．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 15．从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是.故选：D 题型五、圆锥曲线区分（椭圆、双曲线、抛物线方程辨析，多选高频） 1.抛物线方程特征：只有一个二次项，另一个是一次项；（均不为 0），有两个二次项，绝对不可能是抛物线 2.： ：椭圆；圆； ：双曲线； 同负：无轨迹。 本模块易错点 1.看到二次二元方程就以为可以是抛物线；两个平方项同时存在，不可能是抛物线； 2.椭圆条件忘记排除（圆）； 3.参数范围讨论不全，漏掉无轨迹的情况。 16．已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C不可能表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 【答案】B 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解． 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误： 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确． 对于C，当且时，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确；故选：B 17．曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 【答案】C 【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程. 【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误； B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误； C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确； D．因为曲线，、不同时为0， 当时， 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是点； 当时，曲线是点； 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时， 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是圆； 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 所以曲线不能是抛物线，故D错误； 故选：C. 18（多选）．已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【答案】BCD 【分析】根据的不同取值情况，结合椭圆、双曲线、直线、抛物线的标准方程特征，判断方程表示的曲线类型. 【详解】当时，与同号，将方程化为. 当且时，该方程表示椭圆，当且时，该方程表示圆. 当时，方程表示的轨迹不存在，故A选项错误. 当时，与异号，当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，故B选项正确. 当或时，该方程表示两条直线，C选项正确. 因抛物线方程中只存在一个二次项，故中有一个为0，而中有一个为0时，此时无一次项，方程就不可能表示抛物线，故D选项正确. 故选：BCD 巩固提升： 1．已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】利用抛物线和椭圆的定义，结合已知等量关系得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】设椭圆长半轴为，半焦距为，离心率，焦点，， 抛物线以为顶点、为焦点，顶点到焦点距离为，因此抛物线准线为， 根据抛物线定义：交点满足等于点到准线的距离，即， 椭圆第二定义：椭圆上点到左焦点的距离满足， 由，则，整理得，即， 因此. 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 3．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 4．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 5．已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 6．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    7．已知抛物线的焦点为，点是上异于原点的一点，，则（    ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】B 【详解】不妨设点在第一象限，，则，，， 由抛物线的定义可得， 因为， 所以，化简可得， 解得，即， 所以. 8．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 9．已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 10．抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将给定抛物线方程转化为开口向上的抛物线标准形式，再结合标准方程对应的焦点坐标公式计算即可． 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式：， 可得，解得， 因此焦点坐标为． 11．抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 故两焦点之间的距离． 12．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】从抛物线的性质得到必要性成立，举出反例得到充分性不成立，从而得到答案. 【详解】从抛物线的某个点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线， 则该点为抛物线的顶点，故必要性成立， 但如果该抛物线经过旋转，如顺时针旋转后得到的抛物线，则从该抛物线的顶点分别作两条坐标轴的平行线， 则不能满足一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线，充分性不成立， 故“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的必要非充分条件. 故选：B 13．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. 14．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 15．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 16．已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】通过对已知等式化简可得关系式，利用两点间距离公式结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】由，得，整理得， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：A． 17．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 18．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 19（多选）．若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 20（多选）．．已知抛物线，点在上，与轴交于，两点，则（   ） A．直线是的切线 B．的半径为6 C．直线与有两个交点 D．截轴所得的弦长为4 【答案】ABC 【详解】设与轴交于点，，则圆心在直线上， 所以，即，不妨设， 对于B，的半径，故B正确； 对于A，圆心到直线的距离，故A正确； 对于C，由A知直线与有两个交点，根据对称性易知直线与有两个交点，故C正确； 对于D，截轴所得的弦长为，故D错误. 21（多选）已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 【答案】AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程逐项分析即可. 【详解】令，解得，此时方程，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确. 抛物线的标准方程中或的指数会出现一次，而曲线中都是二次，故B错误. 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线， 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线，故C正确. 当时，，分母同号，但时曲线表示圆，故D错误. 故选：AC. 22（多选）．．设为实数，则曲线可能是（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 【答案】BCD 【分析】根据已知曲线方程分析参数判断曲线对应图形即可判断. 【详解】A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，不符； B：当时，曲线C为双曲线，符合； C：当时，曲线C为圆，符合； D：当且时，曲线C为椭圆，符合； 故选：BCD 23（多选）．．已知方程，则下列结论正确的是（   ） A．方程C表示椭圆的充要条件是 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．方程C不可能表示抛物线 【答案】BCD 【分析】根据已知方程，结合所表示的曲线或参数范围依次判断各项的正误. 【详解】当，即时，方程表示圆，故A错误； 当时，方程为且，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 当时，方程为，表示轴，故C正确； 方程中不含一次项，所以不可能表示抛物线，故D正确． 故选：BCD 24（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可. 【详解】 抛物线的焦点， 设,由抛物线定义可知：,已知， 即， 又因为的重心为抛物线的焦点，即代入 得或，因为所以，故A对 抛物线. 因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)， 即的周长，故B对. 的三个顶点到轴的距离之和，故C对. 设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为， 联立得，， 所以直线，两条平行线间的距离：， 即动点到直线的距离的最小值为，故D错. 25．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 26．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 27．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义转化已知距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 28．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 29．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据抛物线的定义求得曲线的轨迹方程为，再结合抛物线的定义求解最值即可. 【详解】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 30．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 【答案】3 【详解】由题设，不妨设，所以， 又，则，故准线方程为， 所以点P到C的焦点的距离为． 31．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 32．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 【答案】/ 【详解】 设，满足. 因为，， 所以，， 时，所以. 时 ，， 等号当且仅当时取到，所以. 33．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 34．已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 【答案】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。 【详解】 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ，故所求最小值为. 35．若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 36．抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 【答案】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，利用抛物线的几何性质即可求解. 【详解】将抛物线方程整理为标准形式：，解得， 根据抛物线定义，准线上的点到焦点的最小距离即为焦点到准线的垂线段长度， 由于焦点到准线的距离为，故最小距离为. 37．已知抛物线上有一点到准线距离为4，则点到x轴的距离为__________． 【答案】 【分析】设点，由题意求出，再代入抛物线方程求出即可. 【详解】由可得其准线方程为直线， 设点的坐标为，依题意，可得，解得， 则有，故点到x轴的距离为. 38．抛物线与焦点之间的距离为____________． 【答案】 【详解】由题得，抛物线焦点为，抛物线即的焦点为， 所以两焦点之间的距离为. 39．已知点在抛物线上，O为坐标原点，则________； 【答案】 【详解】因为点在抛物线上，故，故. 40．已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________. 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，设点的坐标为，由条件列方程求，再求，利用两点距离公式求结论即可. 【详解】抛物线的准线为，设点的坐标为， 由抛物线上的点到准线的距离为，可得，解得. 由，所以， 所以，即，故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $