3.2.1 双曲线及其标准方程预习导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕双曲线及其标准方程展开，引导学生通过“温故”回顾椭圆几何性质，“知新”类比椭圆探究双曲线定义、标准方程及a,b,c关系，构建圆锥曲线知识学习支架。 资料以类比迁移为核心学习方法，通过预习提要引导自主探究，课前自测涵盖选择、填空、多选等多样题型，反思环节联系天文、建筑等实际应用，培养学生数学眼光、数学思维与数学语言表达能力，提升严谨求真与应用意识。

3.2.1 双曲线及其标准方程 预习提要 1.类比椭圆的探究思路，感知双曲线上点满足的几何等量关系，体会坐标法研究圆锥曲线的思想，做好预习铺垫. 2.阅读课本内容，探究双曲线标准方程的推导，掌握两种位置的标准方程，理清a，b，c的关系，能够根据已知条件求双曲线的标准方程. 【温故】 椭圆的简单几何性质 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ___________，___________， ， ，， ___________，___________ 长、短轴长 长轴长________，短轴长________ 离心率 ___________ 【知新】 1.双曲线的定义：一般地，平面内与两个定点的距离的___________的绝对值等于非零常数（小于___________）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的___________，两焦点间的距离叫做双曲线的___________． 2.双曲线的标准方程： 焦点在轴上：方程________________叫做双曲线的标准方程．焦点分别是，的双曲线，这里___________． 焦点在轴上：方程为________________．焦点分别是__________，__________，． 课前自测 1.已知，为双曲线的两个焦点，双曲线上一点P满足，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 2.设点P在双曲线上，若为双曲线的两个焦点，且，则的周长为( ) A.22 B.16 C.14 D.12 3.（多选）已知方程表示曲线C，则下列为真命题的是( ) A.当时，曲线C一定是椭圆 B.当或时，曲线C一定是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则 D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 4.已知双曲线的焦距为6，则实数m的值为______. 5.双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为______. 反思 对称与差异并存，方显数学辩证之美. 椭圆求和、双曲线求差，一字之差、轨迹迥异. 双曲线以双向延展的曲线形态，诠释了数学边界与范围的严谨性. 类比迁移、对比辨析、溯源定义，能帮助我们构建完整的圆锥曲线思维体系，培养举一反三、严谨求真的数学素养. 双曲线在天文探测、导航定位、光学设备、建筑设计中应用广泛. 声呐、雷达双曲线定位系统利用双曲轨迹差值原理精准定位目标；光学透镜、望远镜镜片设计依托双曲线折射特性；冷却塔、穹顶建筑采用双曲线造型，兼具结构稳定、通风高效与外形美观的优势；天体运行、粒子运动轨迹中也存在大量双曲线运动模型. 答案及解析 【温故】 【知新】 1.差 焦点 焦距 2. 课前自测 1.答案：B 解析：依题意得，，则由可得，，所以双曲线的标准方程为. 2.答案：A 解析：由题意知.由双曲线的定义知，又，所以，，所以的周长为. 3.答案：BD 解析：当，即时，曲线C是圆，A为假命题.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则解得，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得，B，D为真命题，C为假命题. 4.答案： 解析：由题意得，则双曲线的焦点在y轴上，故，，，由，得，解得. 5.答案： 解析：设，，因为，所以，，因为，所以，得.因为解得，所以双曲线C的标准方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $