27.2（1）（2）二次函数图像与性质 同步练习 2026-2027学年九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年沪教版九年级数学上册同步练习卷，聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+h图像与性质，通过基础-中档-综合三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|开口方向、对称轴、顶点坐标等单一概念|选择题1-4直接考查对称性，填空题7-10强化函数值计算| |中档|图像比较、翻折变换、最值分析等综合概念|选择题5-6结合图像辨析，填空题15-16涉及图形变换| |综合|图像绘制、实际应用、几何证明等跨情境应用|解答题22空投问题培养应用意识，24题直线与抛物线交点考查推理能力|

2026-2027学年沪教版九年级数学上册同步练习卷 考查范围：二次函数图形与性质27.2（1）---27.2（2）） 考查点：二次函数形如y=ax²和y=ax²+h等特殊类函数图像和性质 1． 选择题 1.在同一平面直角坐标系中，作，，的图像，它们的共同特点是（ ） A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的开口方向向下 C．都是关于x轴对称的抛物线 D．都是关于y轴对称的抛物线 2.函数与的图像可能是（ ） x y x y x y x y O O O O A． B． C． D． 3.如图，四个二次函数图像，分别对应的是1：：；：；：，则a、b、c、d的大小关系为（ ） A． B． C． D． x y 1 2 3 4 4.在函数：；函数：；函数：中，图像开口大小按题号顺序表示为（ ） A．>> B．>> C． >> D．>> 5.已知，点（a – 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数的图像上， 则（ ） A． B． C． D． 6.如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中 的图像大致是（ ） x y O x y O x y O x y O A． B． C． D． 二．填空题 7.若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________． 8.若点P（-1，a）和点Q（1，b）都在抛物线上，则线段PQ的长是 ． 9.将抛物线y= 10.抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是　　．（填“上升”或“下降”） 11.如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②yx2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　　 ． （第11题） （第17题） 12．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　　 ． 13．已知抛物线经过点(－3，0)和(1，0)，则该抛物线的对称轴是_____． 14．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是_____． 15.二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是_____． 16．形状与抛物线相同，顶点为(0，2)，对称轴为y轴的抛物线解析式是_____． 17.二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 三．解答题 18．已知是关于x的二次函数． （1）求满足条件的k的值； （2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ （3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 19.在同一直角坐标系中画出二次函数yx2+1与二次函数yx2﹣1的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 20.二次函数图像经过点（1，）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标． 21.已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y轴的交点的纵坐标是-3，求该抛物线的解析式． 22.某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资．已知空投物资离开飞机后在空y x A B C O P 中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB = 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO = 1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？ 23.已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求△AOB的面积． 24.如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 2026-2027学年沪教版九年级数学上册练习卷（参考答案） （考查范围：二次函数图形与性质27.2（1）---27.2（2）） 考查点：二次函数形如y=ax²和y=ax²+h等特殊类函数图像和性质 2． 选择题 1.在同一平面直角坐标系中，作，，的图像，它们的共同特点是（ ） A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的开口方向向下 C．都是关于x轴对称的抛物线 D．都是关于y轴对称的抛物线 答案:D． 解:二次函数的图像，对称轴为轴；顶点为坐标原点；当时，开口向上，当时，开口向下． 2.函数与的图像可能是（ ） x y x y x y x y O O O O A． B． C． D． 答案:D． 解:当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限， 当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限． 3.如图，四个二次函数图像，分别对应的是1：；：；：；：，则a、b、c、d的大小关系为（ ） A． B． C． D． x y 1 2 3 4 答案:A． 解:∵①、②函数图像开口向上，∴，； ∵③、④函数图像开口向下，∴，； ∵二次函数中，越大，开口越小，∴ 4.在函数：；函数：；函数：中，图像开口大小按题号顺序表示为（ ） A．>> B．>> C． >> D．>> 答案:B． 解:抛物线中，决定开口大小，越大，开口越小． 5.已知，点（a – 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数的图像上， 则（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：当开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大。算出三个横坐标到对称轴直线x=0的距离（绝对值），三个数全是负数，绝对值是他们的相反数也就是 ；，比较大小是 因为此函数开口向上距离越远，y值越大。所以 故选择C 备注：也可以用特殊值解决选择题 6.如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中 的图像大致是（ ） x y O x y O x y O x y O A． B． C． D． 答案:A． 解:当时，抛物线开口向上，顶点为，在轴正半轴上，反比例函数过第二、四象限； 当时，抛物线开口向下，顶点为，在轴负半轴上，反比例函数过三象限． 二．填空题 7.若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________． 答案：． 解：本题考查了二次函数图像上点的坐标特征． 把代入得，解得． 8.若点P（-1，a）和点Q（1，b）都在抛物线上，则线段PQ的长是 ． 答案：． 解：把代入得，∴，同理可得，∴． 9.将抛物线y= 分析：根据向平移规律y=+1得到的顶点坐标是（0，1） 答案：（0，1） 10.抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是　　．（填“上升”或“下降”） 分析：根据二次函数的性质解答即可． 解析∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的， 故答案为：上升． 11.如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②yx2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　　 ． 分析：抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 解：①y＝3x2， ②yx2， ③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1， ∵3＞1， ∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄． 故依次填：①③②． 12．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　﹣2　． 分析：根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值． 解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中， ∵顶点坐标为（0，﹣2）， 且a＝﹣3＜0， ∴抛物线开口向下， ∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2． 故答案为：﹣2． 13．已知抛物线经过点(－3，0)和(1，0)，则该抛物线的对称轴是_____． 答案:直线x=－1. 分析:由条件知：点(－3，0)和(1，0)关于抛物线的对称轴对称，据此求出即可. 解：∵抛物线经过x轴上的点(－3，0)和(1，0)，∴这两点关于抛物线的对称轴对称， 故抛物线的对称轴为：直线； 故答案为直线x=－1. 14．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是_____． 答案：k＞2 分析：根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k﹣2＞0． 解：因为抛物线y＝（k﹣2）x2＋k的开口向上， 所以k﹣2＞0，即k＞2， 故答案为k＞2. 15.二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是_____． 答案： 分析：把抛物线翻折后二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反即可求解. 解：由题意得二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反，故翻折后它的函数解析式为y=−2x2， 故答案为：y=-2x2 16．形状与抛物线相同，顶点为(0，2)，对称轴为y轴的抛物线解析式是_____． 答案： 分析;根据顶点坐标设出抛物线解析式的顶点式，由形状相同可确定解析式中a相等，进而可求出二次函数解析式． 解:∵抛物线顶点为顶点为(0，2)， ∴设抛物线解析式为：， ∵形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式是：． 故答案为：． 17.二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 答案： 分析：本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可． 解：连接交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入， 得， 解得（舍去），， ，， ∴，， ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 三．简答题 18．已知是关于x的二次函数． （1）求满足条件的k的值； （2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ （3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 分析： （1）根据二次函数的定义求出k的值即可解决问题； （2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大． （3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数便有最大值；在对称轴的右侧y随x的增大而减小．”进行解答． 解：（1）根据二次函数的定义得， 解得k＝±2． ∴当k＝±2时，原函数是二次函数． （2）根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上， ∴k+1＞0，即k＞﹣1， 根据第（1）问得，k＝2． ∴该抛物线的解析式为y＝3x2， ∴抛物线的最低点为（0，0）， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大， 故当k＝2时，抛物线有最低点，其最低点坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大； （3）根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下， ∴k+1＜0，即k＜﹣1， 根据第（1）问得：k＝﹣2． ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2， 其函数最大值为0， ∴当k＝﹣2时，函数有最大值为0．当x＞0时，y随x的增大而减小． 故当k＝﹣2时，抛物线有最大值，其最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小． 19.在同一直角坐标系中画出二次函数yx2+1与二次函数yx2﹣1的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 分析:根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 解:如图： （1）yx2+1与yx2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴， yx2+1与yx2﹣1的不同点是：yx2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），yx2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：yx2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； yx2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小． 20.二次函数图像经过点（1，）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标． 答案：，开口向下，顶点坐标． 解：把（1，）、（0，1）代入得，解得， ∴函数解析式为，开口向下，顶点坐标． 21.已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y轴的交点的纵坐标是 -3，求该抛物线的解析式． 答案：． 分析：本题通过已知条件分析出抛物线的图像关于y轴对称，从而能够确定出解析式的形 式，再根据所经过的点的具体坐标，确定出解析式来． 解：∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，∴图像关于y轴对称，设抛物线解析式为， 将点、代入，得，解得，∴抛物线解析式为：． 22.某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资．已知空投物资离开飞机后在空y x A B C O P 中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB = 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO = 1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？ 答案：500米． 解：根据题意得，． 设抛物线表达式为， 把代入得，解得， ∴． 当时，，解得，（舍） ∴飞机到P处的水平距离OP应为500米． 23.已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求△AOB的面积． 答案：(1)，(2)6 分析：本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． （1）解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； （2）解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 24.如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 答案：(1)， 分析：（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 解：（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $